রেখা আঁকো, ছেদবিন্দুতে সহসমীকরণের উত্তর খুঁজে নাও

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. কিছু না ছুঁয়ে আগে দেখো: “একটি রেখা · y = mx + c” মোডে পর্দায় y = ২x − ৪। রেখাটা x-অক্ষকে (২, ০) বিন্দুতে আর y-অক্ষকে (০, −৪) বিন্দুতে কাটছে, কোণ প্রায় ৬৩.৪৩°।
2. ঢাল m-এর স্লাইডার বাড়াও-কমাও: রেখা খাড়া হয় বা শুয়ে পড়ে, m ঋণাত্মক হলে ডান দিকে নিচে নামে। c-এর স্লাইডার রেখাটাকে উপর-নিচ সরায়, ঢাল বদলায় না।
3. “দুটি বিন্দু” মোডে বেছে নিয়ে বিন্দু দুটি আঙুল বা মাউস দিয়ে টানো। ঢাল সাথে সাথে বদলায়। একই x-এ দুটি বিন্দু রাখলে রেখা খাড়া হয়ে যায় আর ঢাল “সংজ্ঞাহীন” লেখা আসে।
4. এবার “দুটি রেখা” মোড। শুরুতে ২x + ৩y = ১২ ও x − y = ১ আঁকা আছে, কমলা বিন্দুটি (৩, ২), সেটাই সমাধান। নিচের “সমাধানের ধরন” ঘরে লেখা “একটি মাত্র সমাধান”।
5. a₂, b₂ স্লাইডার নেড়ে দ্বিতীয় রেখাকে প্রথমটার সমান্তরাল বানাও: ছেদবিন্দু মিলিয়ে যায়, ধরন বদলে “কোনো সমাধান নেই” হয়। এবার c₂ ঠিক করে দুটি রেখাকে এক করে ফেলো, ধরন হবে “অসংখ্য সমাধান”।
6. “হিসাব ধাপে ধাপে দেখাও” চালু রাখো। নিচে তোমার বেছে নেওয়া সংখ্যা দিয়েই ঢাল, ছেদক, কোণ, অনুপাত পরীক্ষা আর বজ্রগুণনের হিসাব আসে। “দৃশ্যমান পরিসর” বাড়িয়ে দূরের ছেদবিন্দুও ধরো।

দুই রিকশাওয়ালা আর একটা বিন্দু যেখানে ভাড়া সমান

বাসার সামনে দুজন রিকশাওয়ালা দাঁড়িয়ে। প্রথমজন বলছেন, “আগে ২০ টাকা ধরো, তারপর কিলোমিটারপ্রতি ১০ টাকা।” দ্বিতীয়জন বলছেন, “আমার কোনো আগাম নেই, কিলোমিটারপ্রতি ১৫ টাকা।” কার রিকশায় উঠলে লাভ?

উত্তর: দূরত্বের উপর নির্ভর করে। কাছে গেলে দ্বিতীয়জন সস্তা, কারণ প্রথমজনের আগামটাই ভারী। কিন্তু দূরে গেলে প্রথমজন সস্তা, কারণ তাঁর কিলোমিটারপ্রতি রেট কম। মাঝখানে একটা দূরত্ব আছে যেখানে দুজনের ভাড়া ঠিক সমান। সেটা বের করতে আমরা ভাড়াকে y আর দূরত্বকে x ধরে দুটি সমীকরণ লিখি: y = ১০x + ২০ এবং y = ১৫x।

দুটোই সরল সমীকরণ, তাই লেখচিত্রে দুটি সরলরেখা। রেখা দুটি যেখানে কাটে, সেখানে একই x-এর জন্য দুটি y-ই সমান, মানে ভাড়া সমান। হিসাব করলে পাই ৪ কিলোমিটারে ভাড়া দুজনেরই ৬০ টাকা। এর কম দূরত্বে দ্বিতীয়জন, বেশি দূরত্বে প্রথমজন সস্তা।

এই পাতা সেই ছেদবিন্দু খোঁজারই পাতা। উপরের সিমুলেশনে তুমি রেখা আঁকবে, ঢাল আর ছেদক বুঝবে, তারপর দুটি সহসমীকরণ লেখচিত্রে ফেলে সমাধান পড়বে। আর শিখবে কেন কখনো দুটি রেখা কাটে না, কখনো একেবারে মিলে যায়।

একদম শুরু থেকে: স্থানাঙ্ক সমতল

একটা সাদা কাগজে একটা আড়াআড়ি সরলরেখা আর একটা খাড়া সরলরেখা টানো, যেখানে দুটি কাটে সেই বিন্দুর নাম মূলবিন্দু, লেখা হয় O দিয়ে। আড়াআড়ি রেখাটি x-অক্ষ, খাড়া রেখাটি y-অক্ষ। মূলবিন্দু থেকে ডানে ও উপরে ধনাত্মক সংখ্যা, বামে ও নিচে ঋণাত্মক।

সমতলের যেকোনো বিন্দুকে দুটি সংখ্যা দিয়ে চেনানো যায়: (x, y)। প্রথম সংখ্যা বলে মূলবিন্দু থেকে কতটা ডানে (বা বামে), দ্বিতীয়টি বলে কতটা উপরে (বা নিচে)। একে ক্রমজোড় বা স্থানাঙ্ক বলে। (৩, ২) মানে ৩ ঘর ডানে, ২ ঘর উপরে। (২, ৩) কিন্তু অন্য বিন্দু, তাই ক্রমটা গুরুত্বপূর্ণ।

অক্ষ দুটি সমতলকে চার ভাগে ভাগ করে, নাম চতুর্ভাগ। প্রথম ভাগে x, y দুটিই ধনাত্মক; দ্বিতীয়তে x ঋণাত্মক, y ধনাত্মক; তৃতীয়তে দুটিই ঋণাত্মক; চতুর্থে x ধনাত্মক, y ঋণাত্মক। x-অক্ষের উপরের যেকোনো বিন্দুতে y = ০, y-অক্ষের উপরের যেকোনো বিন্দুতে x = ০। এই দুটি তথ্য একটু পরেই ছেদক বের করতে কাজে লাগবে।

সিমুলেশনের গ্রাফ পেপারে ঠিক এই ব্যবস্থাই আছে: মাঝখানে মূলবিন্দু, প্রতি ঘর এক একক। “দৃশ্যমান পরিসর” স্লাইডার দিয়ে তুমি পর্দা ছোট-বড় করতে পারো, ঘর বড় করে ছোট সংখ্যা দেখতে অথবা ছোট করে দূরের ছেদবিন্দু ধরতে।

একটি সরল সমীকরণ মানেই একটি সরলরেখা

দুটি অজানা x আর y-সহ সমীকরণ ax + by = c-এর (a ও b একসাথে শূন্য নয়) অসংখ্য সমাধান আছে। যেমন x + y = ৫-এর সমাধান (১, ৪), (২, ৩), (৫, ০), (৭, −২), এমনকি (০.৫, ৪.৫)। যে কোনো x ধরো, y নিজে থেকে ঠিক হয়ে যায়।

এই সমাধানগুলোকে বিন্দু হিসেবে বসালে দেখবে সবগুলো একটি সরলরেখার উপর পড়ছে। উল্টোটাও সত্য: রেখাটির যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণ মানে। তাই সমীকরণ আর রেখা একই জিনিসের দুই রূপ। এজন্যই এই সমীকরণকে বলা হয় সরল (রৈখিক) সমীকরণ।

এতে একটা সুন্দর ফল আসে। রেখা আঁকতে মাত্র দুটি বিন্দু লাগে, কারণ দুটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে ঠিক একটি সরলরেখা যায়। ভুল ধরার জন্য তৃতীয় একটি বিন্দু বের করে মিলিয়ে নেওয়া ভালো অভ্যাস। তিনটি বিন্দু এক সরলরেখায় না পড়লে কোথাও হিসাব ভুল হয়েছে।

দুটি সমীকরণ একসাথে দিলে তাকে সহসমীকরণ বলে। সহসমীকরণের সমাধান হলো এমন (x, y), যা দুটি সমীকরণকেই সিদ্ধ করে। লেখচিত্রের ভাষায়: যে বিন্দু দুটি রেখার উপরেই আছে। দুটি রেখার উপরে থাকা বিন্দু থাকলে সেটা ছেদবিন্দু ছাড়া আর কী হবে?

দরকারি শব্দগুলো এক জায়গায়

সৃজনশীলের জ্ঞানমূলক প্রশ্ন আসে এই পরিভাষা থেকেই, তাই টেবিলটা মাথায় বসিয়ে নাও।

ঢাল: দুটি বিন্দু থেকে পড়ে ফেলো

ঢাল মাপে রেখাটি কতটা খাড়া। একটা সিঁড়ির কথা ভাবো: প্রতি ধাপে সামনে যতটা এগোও তাকে বলে অনুভূমিক ব্যবধান (run), আর উপরে যতটা ওঠো তাকে উল্লম্ব ব্যবধান (rise)। ঢাল = উল্লম্ব ব্যবধান ÷ অনুভূমিক ব্যবধান। সিমুলেশনের ধূসর ড্যাশ-করা ত্রিভুজটিই এই দুটি ব্যবধান দেখায়।

রেখার উপরের যেকোনো দুটি বিন্দু (x₁, y₁) ও (x₂, y₂) হলে ঢাল m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)। শুরুর দুটি বিন্দু (−২, −৩) ও (২, ৫) নিলে উল্লম্ব ব্যবধান ৫ − (−৩) = ৮, অনুভূমিক ব্যবধান ২ − (−২) = ৪, তাই m = ৮/৪ = ২।

বিন্দু দুটির ক্রম বদলালেও ঢাল বদলায় না, কারণ উপর-নিচ দুটিতেই চিহ্ন একসাথে উল্টে যায়। শুধু একটা নিয়ম মানতে হবে: লব আর হরে একই বিন্দু আগে বসাও। (y₂ − y₁) লিখে হরে (x₁ − x₂) লিখলে চিহ্ন ভুল হয়ে যাবে।

ঢালের চিহ্ন বলে দেয় রেখা কোনদিকে। ঢাল যত বড়, রেখা তত খাড়া। ঢাল শূন্য মানে অনুভূমিক রেখা। আর অনুভূমিক ব্যবধান শূন্য হলে ভাগ করা যায় না, তাই খাড়া রেখার ঢাল সংজ্ঞাহীন। সিমুলেশনে দুটি বিন্দু একই x-এ আনলে এটা নিজের চোখে দেখবে।

ঢালের সাথে কোণের সম্পর্কও আছে। রেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ θ তৈরি করে, তার tan θ-ই ঢাল। যেমন m = ১ হলে θ = ৪৫°; শুরুর রেখায় m = ২ তাই θ ≈ ৬৩.৪৩°। ঢাল ঋণাত্মক হলে কোণও ঋণাত্মক, মানে রেখা ডান দিকে নিচে নামছে।

রেখার সমীকরণের রূপগুলো

একই রেখাকে কয়েকভাবে লেখা যায়, আর পরীক্ষায় একটা থেকে আরেকটায় যেতে পারাটাই কাজ। সবচেয়ে বেশি লাগে ঢাল-ছেদক রূপ y = mx + c। এখানে m ঢাল আর c হলো y-ছেদক, অর্থাৎ x = ০ বসালে যে y পাই। রেখা y-অক্ষকে (০, c) বিন্দুতে কাটে।

সহসমীকরণে সাধারণত দেওয়া থাকে আদর্শ রূপ ax + by = c। এটাকে y-এর জন্য সাজালে y = (−a/b)x + c/b। তাই ঢাল −a/b আর y-ছেদক c/b। x-ছেদক পেতে y = ০ বসাও: x = c/a। শুরুর প্রথম সমীকরণ ২x + ৩y = ১২-এ ঢাল −২/৩ = −২/৩; ছেদক দুটি (৬, ০) ও (০, ৪)।

ছেদক রূপ x/p + y/q = ১ আরেকটি সুবিধার রূপ। এখানে রেখা x-অক্ষকে (p, ০) আর y-অক্ষকে (০, q) বিন্দুতে কাটে। আদর্শ রূপকে c দিয়ে ভাগ করলেই এটা পাওয়া যায়। এই রূপে রেখা প্রায় মুখে মুখেই আঁকা যায়: অক্ষের দুই বিন্দু দাগ দিয়ে সোজা টানো।

ঢাল জানা আছে আর একটি বিন্দু (x₀, y₀) জানা থাকলে বিন্দু-ঢাল রূপ y − y₀ = m(x − x₀)। দুটি বিন্দু জানা থাকলে আগে ঢাল বের করে এই রূপ বসাও। আর খাড়া রেখার জন্য আলাদা রূপ x = k, যার কোনো ঢাল নেই। এই রূপ y = mx + c-তে ফেলা যায় না, তাই b = ০ হলে সবসময় আলাদা করে ভাবতে হবে।

লেখচিত্রে সহসমীকরণ সমাধানের ধাপ

ধরো সমাধান করতে হবে ২x + ৩y = ১২ এবং x − y = ১। ধাপগুলো সবসময় একই, তাই একবার শিখলে সব অঙ্কে চলে।

• প্রতিটি সমীকরণের জন্য আলাদা মানের তালিকা বানাও। x-এর এমন কয়েকটি মান নাও, যাতে y পূর্ণসংখ্যা হয়।
• গ্রাফ পেপারে দুই অক্ষ এঁকে একটা সুবিধামতো স্কেল ঠিক করো, যেমন ছোট এক ঘরে এক একক।
• প্রথম সমীকরণের বিন্দুগুলো বসাও আর স্কেল ধরে সরলরেখা টেনে দুই দিকে বাড়িয়ে দাও।
• একই অক্ষে দ্বিতীয় সমীকরণের বিন্দুগুলো বসিয়ে দ্বিতীয় রেখা আঁকো।
• রেখা দুটি কোথায় কাটছে দেখো এবং সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক পড়ো, সেটাই সমাধান।
• সমাধানটি দুটি সমীকরণেই বসিয়ে যাচাই করো।

তিন রকম ফল আর অনুপাত পরীক্ষা

দুটি সরলরেখা সমতলে তিনভাবে থাকতে পারে, আর ঠিক এই তিনটিই সহসমীকরণের তিন রকম ফল। (১) রেখা দুটি একটি বিন্দুতে কাটে: তখন একটি মাত্র সমাধান, সহসমীকরণ সমঞ্জস ও অনির্ভরশীল। (২) রেখা দুটি সমান্তরাল, কখনো মেলে না: কোনো সমাধান নেই, সহসমীকরণ অসমঞ্জস। (৩) রেখা দুটি একই রেখা: অসংখ্য সমাধান, সহসমীকরণ সমঞ্জস কিন্তু পরস্পর নির্ভরশীল।

লেখচিত্র না এঁকেও এটা বলা যায়, সহগের অনুপাত দেখে। সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁ ও a₂x + b₂y = c₂ হলে তিনটি অনুপাত a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ তুলনা করো। a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ হলে রেখা দুটির ঢাল আলাদা, তাই কাটবেই। a₁/a₂ = b₁/b₂ হলে ঢাল সমান, তাই সমান্তরাল বা এক। তখন c₁/c₂ দেখো: সমান না হলে সমান্তরাল, সমান হলে একই রেখা।

শুরুর জোড়ায় a₁/a₂ = ২, b₁/b₂ = −৩। দুটি আলাদা, তাই রেখা কাটবে। সিমুলেশনের পরিমাপ প্যানেলে এই তিনটি অনুপাত আর a₁b₂ − a₂b₁ (এখানে −৫) সব সময় দেখা যায়। নির্ণায়ক শূন্য না হলেই একটিই সমাধান।

বীজগাণিতিকভাবে বজ্রগুণন সূত্র: D = a₁b₂ − a₂b₁ ≠ ০ হলে x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D এবং y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D। শুরুর জোড়ায় D = −৫, x = −১৫/(−৫) = ৩, y = −১০/(−৫) = ২। এটা আগের লেখচিত্রের উত্তরের সাথে মিলে গেল।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

প্রতিটি পরীক্ষা এক-দুই মিনিটের। আগে অনুমান করো, তারপর মিলিয়ে দেখো।

সমাধানকৃত উদাহরণ (সব সংখ্যা হিসাব করে বসানো)

প্রতিটি অঙ্ক পরীক্ষার ধাপ মেনে সাজানো। উদাহরণ ১ সিমুলেশনের শুরুর রেখা, ২ আর ৩ সহসমীকরণ।

যে ভুলগুলো সবাই করে

এই ভুলগুলোতে নম্বর কাটা যায়, তাই আগে থেকে সাবধান।

• ক্রমজোড় উল্টে লেখা: (২, ৩) আর (৩, ২) আলাদা বিন্দু, প্রথমটি x।
• ঢাল বের করতে লব আর হরে বিন্দুর ক্রম গুলিয়ে ফেলা। যে বিন্দু লবে আগে, হরেও আগে।
• ax + by = c থেকে ঢাল −a/b, কিন্তু a/b লিখে ফেলা। চিহ্ন হারিয়ে যায়।
• সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে “অসংখ্য” লেখা। অনুপাত দুটি সমান হলে তৃতীয়টি দেখতে ভুলে যাওয়া।
• x-ছেদক বের করতে x = ০ বসানো, অথচ x-ছেদকের জন্য y = ০ বসাতে হয়।
• সমাধান লেখচিত্র থেকে পড়ে দুটি সমীকরণে বসিয়ে যাচাই না করা।
• গ্রাফ পেপারে দুই অক্ষে ভিন্ন স্কেল নেওয়া, ফলে ঢাল ভুল দেখায়।
• রেখাকে ছোট টুকরো করে আঁকা। রেখা দুই দিকে বাড়িয়ে টানো, না হলে ছেদবিন্দু বাদ পড়তে পারে।
• খাড়া রেখাকে y = mx + c-তে ফেলার চেষ্টা। এর ঢাল নেই, সমীকরণ x = k।

বাস্তব জীবনে সরল সমীকরণ ও সহসমীকরণ

লেখচিত্র আর ছেদবিন্দু আমাদের দৈনন্দিন সিদ্ধান্তের পেছনেই লুকিয়ে আছে:

• মোবাইল প্যাকেজ বাছাই: একটিতে মাসিক ফি বেশি কিন্তু প্রতি মিনিটে কম, অন্যটিতে উল্টো। কোন ব্যবহারে কোনটা সস্তা, ছেদবিন্দু তা বলে দেয়।
• ভাড়া, ট্যাক্সি বা রাইড শেয়ারের হিসাব: আগাম ফি আর কিলোমিটারপ্রতি রেট মিলে একটি রেখা।
• ব্যবসার লাভ-লোকসান: আয়ের রেখা আর খরচের রেখা যেখানে কাটে, সেটাই সমবিন্দু (ব্রেক-ইভেন)।
• পাহাড়ি পথ বা র‍্যাম্পের খাড়াভাব: ঢাল বাড়লে চড়া কঠিন হয়, হুইলচেয়ার র‍্যাম্পের ঢাল তাই কম রাখা হয়।
• দুটি ট্রেনের গতি আর যাত্রাপথ: দূরত্ব বনাম সময়ের রেখা দুটি যেখানে কাটে, ট্রেন দুটি সেখানে একসাথে থাকে। ঢাল এখানে গতি।
• ফোনের ডেটা ব্যবহার বনাম ব্যাটারির চার্জ: সরল সম্পর্কের রেখা দেখে কতক্ষণ চলবে তা আন্দাজ করা যায়।

পরীক্ষার কর্নার: SSC গণিত

এই বিষয়ে সৃজনশীল প্রশ্নে সাধারণত একটি উদ্দীপক থাকে: দুটি সমীকরণ বা একটি বাস্তব পরিস্থিতি। (ক) অংশে সংজ্ঞা বা সহজ হিসাব, যেমন ঢাল বা ছেদক কাকে বলে, কিংবা একটি বিন্দু সমীকরণ সিদ্ধ করে কি না। (খ) অংশে সমীকরণজোড়ার সমাধান বা শর্ত থেকে k নির্ণয়।

(গ) অংশে সাধারণত লেখচিত্র আঁকতে বলা হয়, এবং ছেদবিন্দু থেকে সমাধান লিখতে বলা হয়। (ঘ) অংশে অক্ষের সাথে রেখার তৈরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, বা রেখাদুটির কোনো ফল ব্যাখ্যা করতে বলা হয়। লেখচিত্র আঁকার সময় স্কেল স্পষ্ট লেখো, অক্ষে নাম দাও, বিন্দুগুলো দাগ দিয়ে নাম লেখো।

বহুনির্বাচনিতে দ্রুত মনে রাখো: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ হলে একটি সমাধান; তিন অনুপাত সমান হলে অসংখ্য; প্রথম দুটি সমান ও তৃতীয়টি ভিন্ন হলে নেই। ax + by = c-এর ঢাল −a/b, x-ছেদক c/a, y-ছেদক c/b। খাড়া রেখার ঢাল সংজ্ঞাহীন, অনুভূমিক রেখার ঢাল ০।

এক পাতায় রিভিশন

পরীক্ষার আগের রাতে এটুকু দেখে নাও:

• সরল সমীকরণ ax + by = c-এর লেখচিত্র সরলরেখা; রেখা আঁকতে দুটি বিন্দুই যথেষ্ট, তৃতীয়টি যাচাইয়ের জন্য।
• ঢাল m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ = −a/b।
• y = mx + c-তে m ঢাল, c হলো y-ছেদক। x-ছেদক পেতে y = ০ বসাও।
• সহসমীকরণের সমাধান = দুটি রেখার ছেদবিন্দু।
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂: একটি সমাধান, সমঞ্জস, অনির্ভরশীল।
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂: সমান্তরাল, সমাধান নেই, অসমঞ্জস।
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂: এক রেখা, অসংখ্য সমাধান, নির্ভরশীল।
• বজ্রগুণন: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D, D = a₁b₂ − a₂b₁।
• খাড়া রেখা x = k: ঢাল সংজ্ঞাহীন। অনুভূমিক রেখা y = k: ঢাল শূন্য।

সচরাচর জিজ্ঞাসা