২×২ ম্যাট্রিক্স: পুরো সমতলকে নাড়িয়ে দেওয়া একটা যন্ত্র

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. ম্যাট্রিক্স [[a, b], [c, d]]-এর প্রতিটি ঘরের জন্য একটা করে স্লাইডার আছে। শুরুতে ম্যাট্রিক্সটা [[২, ১], [০.৫, ১.৫]]। হালকা ছকটা আসল সমতল; নীল ছকটা ম্যাট্রিক্স কাজ করার পরের একই সমতল। প্লে বোতাম অভেদ থেকে ম্যাট্রিক্স পর্যন্ত গড়িয়ে যাওয়াটা বারবার দেখায়।
2. হলুদ বর্গটা একক বর্গ, কোণ (০, ০), (১, ০), (১, ১), (০, ১)। ভেতরের ছোট বেগুনি “F”-টা তার সঙ্গেই নড়ে। F নেওয়ার কারণ, আয়নার ছবি হলে সহজেই চোখে পড়ে।
3. সবুজ তীরটা রূপান্তরের পর î (অর্থাৎ (১, ০) তীর), বেগুনি তীরটা ĵ (অর্থাৎ (০, ১) তীর)। এরা পড়ে ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভে: এখানে î যায় (২, ০.৫)-এ আর ĵ যায় (১, ১.৫)-এ।
4. তৈরি রূপান্তর বেছে নাও: ঘূর্ণন (কোণের স্লাইডার দিয়ে), প্রতিফলন, শিয়ার, স্কেল, বা নির্ণায়ক ০ এমন চ্যাপ্টা রূপ। কোনো ঘরের স্লাইডার সরালেই নিজের বানানো ম্যাট্রিক্সে চলে যাবে।
5. বর্গের ওপর লেখা সংখ্যাটা নির্ণায়ক, অর্থাৎ রূপান্তরিত একক বর্গের চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল। এখানে ২.৫। ঋণাত্মক হলে বর্গ লাল হয়ে যায়, F হয়ে যায় আয়নার ছবি।
6. বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকলে রিডিংয়ে পাবে। নির্ণায়ক ০ হলে বর্গ একটা রেখায় চেপে যায়, আর বিপরীত ম্যাট্রিক্স “নেই”।

ম্যাট্রিক্স মানে বিন্দু বদলানোর যন্ত্র

একটা বিন্দু (x, y) নাও। ২×২ ম্যাট্রিক্স [[a, b], [c, d]] তাকে বানিয়ে দেয় নতুন বিন্দু (ax + by, cx + dy)। ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করা মানে আর কিছুই না: x আর y-কে একটা বাঁধা নিয়মে মেশানোর রেসিপি।

এবার সব বিন্দুর সঙ্গে একসাথে এটা করো। ছকের রেখা সোজা থাকে, সমান্তরাল রেখা সমান্তরাল থাকে, মূলবিন্দু জায়গায় থাকে। এগুলোই “রৈখিক” রূপান্তর। সোজা রেখাকে বাঁকা করে দেওয়ার মতো জটিল কাজ ম্যাট্রিক্সের নয়।

দুটো স্তম্ভই সব বলে দেয়

প্রতিটি বিন্দু (x, y) মানে î বরাবর x ধাপ আর ĵ বরাবর y ধাপ। রৈখিক রূপান্তর এই রেসিপি বদলায় না: সে শুধু î আর ĵ-কে সরায়, বাকি সব তাদের সঙ্গে সঙ্গে চলে। তাই পুরো রূপান্তর জানতে হলে শুধু দেখো î = (১, ০) আর ĵ = (০, ১) কোথায় পড়ে।

(১, ০) ম্যাট্রিক্সে ঢোকালে (a, c) পাও, প্রথম স্তম্ভ। (০, ১) ঢোকালে (b, d), দ্বিতীয় স্তম্ভ। সিমুলেশনের শুরুর ম্যাট্রিক্স [[২, ১], [০.৫, ১.৫]] î-কে পাঠায় (২, ০.৫)-এ আর ĵ-কে (১, ১.৫)-এ। ওই দুটোই সবুজ আর বেগুনি তীর।

ছবি থেকে ম্যাট্রিক্স বানানোর সেরা উপায় এটাই। î যাবে (০, ১)-এ আর ĵ যাবে (−১, ০)-তে, এমন রূপান্তর চাও? ওই দুই তীরকে স্তম্ভ হিসেবে লেখো: [[০, −১], [১, ০]]। এটা ৯০° ঘূর্ণন।

চেনা রূপান্তরগুলো

হাতে গোনা কয়েকটা ম্যাট্রিক্সই পরীক্ষায় আর গ্রাফিক্সে বেশিরভাগ কাজ করে। নিচের ছকে সাতটা আছে নির্ণায়কসহ। সবার আগে ৯০° বামাবর্ত ঘূর্ণন।

• θ কোণে বামাবর্ত ঘূর্ণন: [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]। দৈর্ঘ্য ও কোণ বদলায় না।
• x অক্ষে প্রতিফলনে y-এর চিহ্ন উল্টে যায়। y অক্ষে প্রতিফলনে x-এর। y = x রেখায় প্রতিফলনে x আর y জায়গা বদলায়।
• শিয়ার [[১, k], [০, ১]] প্রতিটি সারিকে তার উচ্চতার অনুপাতে পাশে সরায়। x অক্ষ থাকে; y অক্ষ হেলে পড়ে।
• স্কেল [[p, ০], [০, q]] x বরাবর p গুণ আর y বরাবর q গুণ টানে।
• শেষ সারিটা চ্যাপ্টা করার ম্যাট্রিক্স: স্তম্ভ দুটো একই দিকে, তাই পুরো সমতল একটা রেখায় গিয়ে পড়ে।

নির্ণায়ক: চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল

একক বর্গের ক্ষেত্রফল ১। রূপান্তরের পর সে হয় এমন সামান্তরিক, যার বাহু (২, ০.৫) আর (১, ১.৫)। তার ক্ষেত্রফলই নির্ণায়ক ad − bc। শুরুর ম্যাট্রিক্সে সেটা ২.৫, তাই সমতলের প্রতিটি আকার পুরোনো ক্ষেত্রফলের ২.৫ গুণ হয়ে যায়।

শুধু একক বর্গ নয়, নির্ণায়ক সব আকারের জন্যই খাটে। নির্ণায়ক ৩ হলে বৃত্ত হোক বা বিড়াল, ক্ষেত্রফল তিন গুণ। ০.৫ হলে অর্ধেক।

চিহ্নেও খবর আছে। নির্ণায়ক ঋণাত্মক হলে রূপান্তর সমতলটাকে কাগজের মতো উল্টে দিয়েছে। ঘড়ির কাঁটার দিকের F হয়ে যায় উল্টো দিকের। সিমুলেশনে এই আয়নার ছবিই দেখছ, আর বর্গ লাল হয় সেই কারণেই।

• ধনাত্মক: দিক বজায় থাকে। ১-এর বেশি হলে ক্ষেত্রফল বাড়ে, ০ আর ১-এর মাঝে হলে কমে।
• ঋণাত্মক: দিক উল্টে যায়, আর ক্ষেত্রফল বদলায় চিহ্ন ছাড়া মান অনুযায়ী।
• শূন্য: সবকিছু একটা রেখায় (বা বিন্দুতে) চেপে যায়। ক্ষেত্রফল হারিয়ে যায়, ফেরানোর উপায় থাকে না।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স: যন্ত্র উল্টো চালানো

বিপরীত ম্যাট্রিক্স রূপান্তরকে ফিরিয়ে দেয়। A কোনো বিন্দুকে নতুন জায়গায় নিলে A⁻¹ তাকে ফেরত আনে। ২×২-এর জন্য রেসিপি ছোট: a আর d-র জায়গা বদলাও, b আর c-র চিহ্ন উল্টাও, তারপর সবকিছুকে নির্ণায়ক দিয়ে ভাগ করো।

এই ভাগের কারণেই নির্ণায়ক ০ হলে বিপরীত থাকে না। শুরুর ম্যাট্রিক্স [[২, ১], [০.৫, ১.৫]], নির্ণায়ক ২.৫: তার বিপরীত [[০.৬, -০.৪], [-০.২, ০.৮]]। রিডিং প্যানেলে সরাসরি দেখতে পাবে।

ছবিতেও ভাবো। রূপান্তর যদি পুরো সমতলকে একটা রেখায় চেপে দেয়, তাহলে অনেক আলাদা বিন্দু একই জায়গায় পড়ে। ফিরতে গেলে বেছে নিতে হবে কোনটায় ফিরব, তাই ফেরানোর উপায় নেই।

দুটো রূপান্তর পরপর: ক্রম গুরুত্বপূর্ণ

আগে Q, তারপর P করতে হলে ম্যাট্রিক্স গুণ করো P·Q, যে আগে কাজ করবে সে ডানে। উল্টো লাগে, কিন্তু ফাংশন লেখার সঙ্গে মেলে: P(Q(x))।

ম্যাট্রিক্স গুণে বিনিময় নিয়ম খাটে না। আগে ঘুরিয়ে পরে প্রতিফলন করলে যা হয়, আগে প্রতিফলন করে পরে ঘোরালে তা হয় না। নিচের ৫ নম্বর সমস্যায় আসল সংখ্যায় দেখবে।

তবে নির্ণায়ক ভদ্র: det(PQ) = det(P) × det(Q)। দুটো ক্ষেত্রফল-গুণক শুধু গুণ হয়ে যায়।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টা ছোট পরীক্ষা, প্রতিটা এক মিনিটের।

• “অভেদ” চাপো। কিছুই নড়ে না, নির্ণায়ক ১।
• “ঘূর্ণন” চেপে কোণ সরাও। ছক শক্তভাবে ঘোরে আর নির্ণায়ক সারাক্ষণ ১ থাকে।
• “x অক্ষে প্রতিফলন” চাপো। F উল্টো হয়ে যায়, বর্গ লাল: নির্ণায়ক −১।
• “শিয়ার” চাপো। একক বর্গ একই ক্ষেত্রফলের সামান্তরিকে হেলে পড়ে, নির্ণায়ক ১।
• “স্কেল” চেপে নির্ণায়কটাকে দুই টানের গুণফলের সঙ্গে মেলাও।
• “চ্যাপ্টা” চাপো। নির্ণায়ক ০, ছক একটা রেখায় ধসে যায়, আর রিডিং বলে বিপরীত নেই।

সমাধান করা সমস্যা

ছয়টা চেনা প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে হিসাব করা।

যেসব ভুল এড়িয়ে চলবে

এই ভুলগুলোতে বারবার নম্বর কাটা যায়।

• স্তম্ভকে সারি মনে করা। î যেখানে যায় সেটা প্রথম স্তম্ভ, প্রথম সারি নয়।
• ভুল ক্রমে গুণ করা। PQ মানে আগে Q, পরে P, আর সাধারণত PQ ≠ QP।
• বিপরীত বের করার সময় নির্ণায়ক দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া।
• ad − bc-র জায়গায় ad + bc লেখা।
• ঋণাত্মক নির্ণায়ককে “ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল” বলা। ক্ষেত্রফল ধনাত্মকই; চিহ্ন শুধু উল্টে যাওয়া জানায়।
• নির্ণায়ক ০ এমন ম্যাট্রিক্সের বিপরীত খোঁজা।

ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার কোথায়

প্রতিটি গেম আর অ্যানিমেশন তার চরিত্র নাড়ায় ম্যাট্রিক্স দিয়ে: ঘোরাও, উল্টাও, টানো, আবার। ছবির অ্যাপ হেলে যাওয়া ছবি সোজা করে শিয়ার আর স্কেল ম্যাট্রিক্সে। বেশি মাত্রায় একই গণিত চালায় ত্রিমাত্রিক গ্রাফিক্স আর রোবটের বাহু।

ডেটা সায়েন্সে ম্যাট্রিক্স রূপান্তরেই মডেল তার ইনপুটগুলো মেশায়। আর নির্ণায়ক আসে সহসমীকরণ সমাধানে, ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে, এবং ভেরিয়েবল বদলালে সমাকলন কতটা বদলে যায় তা মাপতে।

পরীক্ষার কোণ

এইচএসসি উচ্চতর গণিত আর ভর্তি পরীক্ষার জন্য মনে রাখো।

• বিন্দুর প্রতিচ্ছবি: ম্যাট্রিক্সকে স্তম্ভ (x, y) দিয়ে গুণ করো।
• ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ দুটো î আর ĵ-র প্রতিচ্ছবি। বর্ণনা থেকে ম্যাট্রিক্স লিখতে এটা খাটাও।
• det = ad − bc। det = ০ হলে ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী, বিপরীত নেই।
• ২×২-এর বিপরীত: a আর d বদলাও, b আর c-র চিহ্ন উল্টাও, det দিয়ে ভাগ করো।
• ক্ষেত্রফলের গুণক |det|; ঋণাত্মক det দিক উল্টে দেয়।

সচরাচর জিজ্ঞাসা