বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr² কেন? টুকরো করে নিজের চোখে দেখো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. শুরুতে “ক্ষেত্রফলের প্রমাণ” অবস্থায় থাকো। বৃত্তটি ১২টি সমান বৃত্তকলায় কাটা, দুটি রঙে একটা একটা করে বদলে। চালু করো চাপলে টুকরোগুলো বেরিয়ে এসে চিরুনির দাঁতের মতো একটার ফাঁকে আরেকটা বসে যাবে।
2. “বৃত্তকলার সংখ্যা” স্লাইডার টানো। মাত্র ৪টি টুকরোয় আকারটা এবড়োখেবড়ো সামান্তরিক। ৬৪টিতে প্রায় নিখুঁত আয়তক্ষেত্র। পরিমাপ অংশে আয়তের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, ক্ষেত্রফল আর সঠিক πr²-এর সঙ্গে ত্রুটি দেখা যাবে।
3. “সাজানোর অগ্রগতি” স্লাইডার দিয়ে অ্যানিমেশন হাতে ধরে একটু একটু করে এগোও, যেকোনো মুহূর্তে থামিয়ে বৃত্ত আর লম্বা আকারটা পাশাপাশি তুলনা করো।
4. ব্যাসার্ধ বদলাও। পর্দার সব দৈর্ঘ্য মাপ অনুযায়ী বাড়বে-কমবে, সঙ্গে পরিধি, অর্ধ-পরিধি আর ক্ষেত্রফলও। খেয়াল করো, ত্রুটির শতাংশ ব্যাসার্ধের ওপর নির্ভর করে না, নির্ভর করে শুধু টুকরোর সংখ্যার ওপর।
5. “পরিধি ও পাই” বেছে নাও। একটা বৃত্ত সোজা রেখা বেয়ে গড়িয়ে নিজের পরিধি রেখে যায়। রেখাটা ব্যাসের টুকরোয় ভাগ করা: তিনটি পূর্ণ ব্যাস আর সামান্য একটু বাকি। ওই সামান্য অংশই পাইয়ের ০.১৪১৫৯…।
6. “বৃত্তকলা ও চাপ” বেছে θ কোণ টানো। চাপের দৈর্ঘ্য আর বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল সবসময় পুরো বৃত্তের θ/৩৬০ অংশ। নিচের দুটি দণ্ডে সেই অংশ ভরাট হতে দেখবে।

পিৎজা, বৃত্ত আর একটা অনেক পুরনো প্রশ্ন

তুমি ৩০ সেমি ব্যাসের পিৎজা অর্ডার করলে, ৮ টুকরো করা। বন্ধু বলল, ৪০ সেমির পিৎজাটা “একটু বড়” মাত্র। সত্যিই কি তাই? ছোটটার ক্ষেত্রফল প্রায় ৭০৬.৮৬ বর্গসেমি, অর্থাৎ প্রতি টুকরো ৮৮.৩৬ বর্গসেমি। বড়টার ১,২৫৬.৬৪ বর্গসেমি, মানে ১.৭৮ গুণ খাবার, অথচ ব্যাস বেড়েছে মাত্র এক-তৃতীয়াংশ। কারণ বুঝতে বৃত্তের ক্ষেত্রফল জানতে হবে।

গোল মাঠ মাপার প্রশ্ন মানুষ করছে প্রায় চার হাজার বছর ধরে। বর্গ বা আয়তের ক্ষেত্রফল সহজ, দুই বাহু গুণ করলেই হয়। কিন্তু বৃত্তের একটাও সোজা বাহু নেই, তাই বহুকাল শুধু আন্দাজের ওপর চলতে হয়েছে। খ্রিষ্টপূর্ব প্রায় ২৫০ সালে গ্রিক গণিতবিদ আর্কিমিডিস বৃত্তকে ক্রমশ বেশি টুকরো করে উত্তরটাকে দুই সংখ্যার মাঝখানে বন্দি করেন। এই পাতার সিমুলেশনও টুকরো করার সেই ধারণাই ব্যবহার করে, শুধু সাজানোর কৌশলে ফলটা চোখে দেখা যায়।

একদম গোড়া থেকে: ব্যাসার্ধ, ব্যাস আর পরিধি

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকা সব বিন্দু নিয়ে বৃত্ত। ওই নির্দিষ্ট বিন্দুটির নাম কেন্দ্র। কম্পাসের কাঁটা কাগজে বসিয়ে পেনসিল ঘুরিয়ে পুরোটা ঘুরলে যে বক্ররেখা আঁকা হয় সেটাই বৃত্ত, আর কম্পাস যতটুকু ফাঁক করা ছিল সেটাই ব্যাসার্ধ।

বৃত্তের সবকিছু তিনটি দৈর্ঘ্য আর একটি সংখ্যা দিয়ে গড়া। এগুলো ঠিকমতো বুঝে নিলে ক্ষেত্রফলের সূত্র আর মুখস্থ করতে হয় না।

• ব্যাসার্ধ r কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব।
• ব্যাস d কেন্দ্র দিয়ে এপার-ওপার সোজা রেখা, তাই d = ২r।
• পরিধি C বৃত্তের বক্ররেখার নিজের দৈর্ঘ্য, একবার ঘুরে আসার দূরত্ব।
• পাই (π) হলো C ÷ d অনুপাত, ছোট-বড় সব বৃত্তের জন্য একই।

পাই: প্রতিটি বৃত্তে লুকিয়ে থাকা সংখ্যা

যেকোনো গোল জিনিস নাও, বোতলের ঢাকনা, থালা বা সাইকেলের চাকা। সুতো দিয়ে চারপাশ মেপে নাও, তারপর এপার-ওপার মাপো। প্রথমটাকে দ্বিতীয়টা দিয়ে ভাগ করো। প্রতিবারই প্রায় ৩.১৪১৬ পাবে। এই ধ্রুব সংখ্যাটিই পাই, লেখা হয় π।

সিমুলেশনে “পরিধি ও পাই” বেছে চালু করো। বৃত্তটা একবার গড়িয়ে নিজের পরিধি সোজা বিছিয়ে দেয়। সেই রেখাকে বৃত্তের ব্যাসের সঙ্গে মেলাও: তিনটি পূর্ণ ব্যাস বসে, সামান্য একটু বাকি থাকে। বাকিটুকু ব্যাসের প্রায় ০.১৪ অংশ। ব্যাসার্ধ বদলালে ছবি বড়-ছোট হয়, কিন্তু পরিমাপের ঘরে অনুপাতটা নড়ে না।

যেহেতু C = πd আর ব্যাস দুই ব্যাসার্ধের সমান, তাই পরিধি C = ২πr। ক্ষেত্রফলের প্রমাণের প্রথম অর্ধেক এই একটি তথ্যের ওপর দাঁড়িয়ে।

টুকরো করার প্রমাণ: ক্ষেত্রফল কেন πr²

সিমুলেশনে যে প্রমাণটা আঁকা হয় তা এখানে লেখা হলো। এতে পরিধির সূত্র আর আয়তের ক্ষেত্রফল ছাড়া আর কিছু লাগে না।

পাইয়ের সংক্ষিপ্ত ইতিহাস

প্রায় চার হাজার বছর আগে ব্যাবিলন আর মিসরের মানুষ ৩.১২৫ ও ৩.১৬-এর কাছাকাছি মান ব্যবহার করত। তারা মেপেছিল, প্রমাণ করেনি।

আর্কিমিডিস বৃত্তের ভেতরে একটি আর বাইরে একটি ৯৬ বাহুর বহুভুজ আঁকেন। বৃত্তের পরিধি এই দুই পরিসীমার মাঝে থাকবেই, তাই পাই আটকা পড়ে ২২৩/৭১ (প্রায় ৩.১৪০৮) আর ২২/৭ (প্রায় ৩.১৪২৯)-এর মধ্যে। ২২/৭ ভগ্নাংশটা এভাবেই এসেছে। এটা ভালো আসন্ন মান, আসল মান নয়।

পঞ্চম শতকে চীনা গণিতবিদ জু চংঝি পান ৩৫৫/১১৩, যা দশমিকের ছয় ঘর পর্যন্ত নির্ভুল। চৌদ্দ-পনেরো শতকের মোড়ে কেরালার মাধব অসীম ধারা ব্যবহার করে আরও অনেক অঙ্ক বের করেন। আজ কম্পিউটার লক্ষ কোটি অঙ্ক হিসাব করেছে। পাই কখনো শেষ হয় না, পুনরাবৃত্তিও হয় না, অর্থাৎ এটি ভগ্নাংশ নয়; ২২/৭ বা ৩৫৫/১১৩ শুধু খুব কাছের প্রতিবেশী।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

পাঁচটি ছোট পরীক্ষায় প্রমাণটা হাতে ধরা যায়। শুধু পড়ো না, স্লাইডার টেনে করো।

• বৃত্তকলার সংখ্যা ৪, তারপর ১২, তারপর ৬৪ করো। ত্রুটি কমতে দেখো। r = ৫ আর n = ১২ হলে আয়তের ক্ষেত্রফল ৭৫, সঠিক মান ৭৮.৫৪, ত্রুটি ৪.৫১%।
• ব্যাসার্ধ সবচেয়ে ছোট, তারপর সবচেয়ে বড় করো। আকার বদলায়, ধরন বদলায় না; ত্রুটির শতাংশও থাকে একই। ত্রুটি নির্ভর করে কাটার ওপর, মাপের ওপর নয়।
• পরিমাপে ব্যাসার্ধ ৫ থেকে ১০ সেমি করো। পরিধি দ্বিগুণ হয় কিন্তু ক্ষেত্রফল চার গুণ (৭৮.৫৪ থেকে ৩১৪.১৬ বর্গসেমি)। ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সঙ্গে বাড়ে।
• “পরিধি ও পাই”-তে ব্যাসার্ধ ১, ৬ ও ১২ রেখে পরিধি ÷ ব্যাস পড়ো। প্রতিবার একই সংখ্যা, ঠিক এ কারণেই পাই ধ্রুবক।
• “বৃত্তকলা ও চাপ”-এ θ = ১৮০ করো। চাপ অর্ধেক পরিধি, বৃত্তকলা অর্ধেক ক্ষেত্রফল: একটি অর্ধবৃত্ত। θ = ৩৬০ করলে দুটো দণ্ডই পুরো ভরে যায়।

বৃত্তকলা ও বৃত্তচাপ: সূত্রের একটা ফালি

বৃত্তকলা হলো কেন্দ্র থেকে শুরু হওয়া বৃত্তের একটি ফালি। এর কেন্দ্রীয় কোণ θ ডিগ্রি হলে এটি পুরো বৃত্তের θ/৩৬০ অংশ। তাই এর ক্ষেত্রফল ও চাপের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধির ওই একই অংশ।

পুরো কৌশলটা এই ভগ্নাংশে। ৯০° মানে এক-চতুর্থাংশ, ৬০° মানে এক-ষষ্ঠাংশ, ১৮০° মানে অর্ধেক। আগে ভগ্নাংশ বের করো, তারপর গুণ করো।

সমাধান করা অংক

নিচের প্রতিটি উত্তর সিমুলেশনের সূত্র থেকেই হিসাব করা, π = ৩.১৪১৬ ধরে।

সচরাচর ভুল

এই পাঁচটি ভুলে প্রতি বছর নম্বর কাটা যায়। খাতা জমা দেওয়ার আগে একবার মিলিয়ে নাও।

• πr²-এ ব্যাসার্ধের জায়গায় ব্যাস বসানো। আগে ব্যাস অর্ধেক করো।
• ক্ষেত্রফলের একক সেমি লেখা, অথচ হবে বর্গসেমি। ক্ষেত্রফল সমতল জায়গা, তাই একক বর্গ।
• ২πr (পরিধি) আর πr² (ক্ষেত্রফল) গুলিয়ে ফেলা। একটিতে ২ আছে বর্গ নেই, অন্যটিতে বর্গ আছে ২ নেই।
• বৃত্তাকার পথে আগে ব্যাসার্ধ বিয়োগ করে বর্গ করা। সঠিক সূত্র π(R² − r²), π(R − r)² নয়।
• অর্ধবৃত্ত বা বৃত্তকলার পরিসীমা বের করতে গিয়ে সোজা কিনারা বাদ দেওয়া।

বাস্তব জীবনে বৃত্ত

বৃত্তের ক্ষেত্রফল ঠিক করে দেয় পিৎজায় কতটা খাবার, গোল টেবিলে কতটা রং লাগবে, গোল পুকুরে কত পানি ধরবে। কৃষক সেচের যন্ত্র ঘুরিয়ে যে গোল জমি ভেজান, তার ক্ষেত্রফল πr², এখানে r হলো যন্ত্রের হাতের দৈর্ঘ্য।

প্রকৌশলীরা পাইপে এটা ব্যবহার করেন: পাইপ কতটা পানি বইতে পারবে তা নির্ভর করে প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল πr²-এর ওপর, তাই ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে ধারণক্ষমতা চার গুণ। সাইকেলের চাকার প্রতি পাকে সাইকেল এগোয় ২πr, স্পিডোমিটার এই হিসাবেই চলে।

চিকিৎসকেরা গোল ক্ষতের ক্ষেত্রফল মেপে সারার অগ্রগতি দেখেন, জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা সূর্যের চাকতির ক্ষেত্রফল আন্দাজ করেন। গোল কিছু গুরুত্বপূর্ণ হলেই πr² আশেপাশে থাকে।

পরীক্ষার কোণ

অষ্টম থেকে দশম শ্রেণির বৃত্তের প্রশ্ন বেশিরভাগ পাঁচ ধরনের। লেখা শুরুর আগে ধরনটা চিনে নাও।

• সরাসরি বসানো: r বা d দেওয়া, ক্ষেত্রফল বা পরিধি বের করো।
• উল্টো পথ: ক্ষেত্রফল বা পরিধি দেওয়া, আগে r বের করো।
• মিশ্র আকার: বৃত্তাকার পথ, অর্ধবৃত্ত, বর্গের ভেতর থেকে বৃত্ত কেটে নেওয়া। ক্ষেত্রফল যোগ বা বিয়োগ করো।
• বৃত্তকলা ও চাপ: আগে θ/৩৬০ ভগ্নাংশ লিখে তারপর গুণ করো।
• খরচ ও দর: বেড়ায় পরিধি, টাইলসে ক্ষেত্রফল; শেষে দর দিয়ে গুণ করো।

পুনরালোচনা

এই পাতার আর কিছু মনে না থাকলেও এই লাইনগুলো মনে রেখো।

• টুকরো করার প্রমাণে দৈর্ঘ্য πr আর প্রস্থ r, তাই ক্ষেত্রফল πr²।
• প্রশ্নে অন্য কিছু না থাকলে π = ৩.১৪১৬ ধরো।
• ক্ষেত্রফলের একক বর্গ, পরিধির একক সাধারণ।

সচরাচর জিজ্ঞাসা