কতটা ধরবে, আর রং লাগবে কতটা?

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. সিমুলেশন শুরু হয় ব্যাসার্ধ ৩ আর উচ্চতা ৪ একক একটি কোণক দিয়ে। এটি নিজে নিজে ঘোরে; টেনে বা তীর কী চেপে যেকোনো দিক থেকে দেখো। ড্যাশ দেওয়া দাগগুলো মাপ: r, h আর হেলানো উচ্চতা l = ৫।
2. বোতাম দিয়ে অন্য ঘনবস্তু বেছে নাও: ঘনক, আয়তঘন, বেলন, কোণক, গোলক বা অর্ধগোলক। প্রতিটির নিজের স্লাইডার আছে (বাহু, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা বা ব্যাসার্ধ)। পরিমাপ প্যানেলে আয়তন, বক্রতল (বা পার্শ্বতল) আর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল একসঙ্গে দেখা যায়, স্লাইডার টানলেই বদলায়।
3. “তারের কাঠামো” টিক দিলে ঘনবস্তুর ভেতরটাও দেখা যায়, তল আর ধার গুনে নিতে পারো। কোনো কোণ ভালো করে দেখতে চাইলে অ্যানিমেশন থামিয়ে দাও।
4. দৃশ্য বদলে “জাল খুলে দেখো” বেছে নাও। তলগুলো চ্যাপ্টা নকশা হয়ে বিছিয়ে যায়: কোণকে একটি বৃত্ত আর ২১৬° কোণের বৃত্তকলা; বেলনে দুটি বৃত্ত আর ১৮.৮৫ চওড়া একটি আয়তক্ষেত্র। চ্যাপ্টা টুকরোগুলোর ক্ষেত্রফল যোগ করলেই সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল।
5. “পানি ঢালা” দৃশ্যে কোণকের পানি একই ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার বেলনে প্রতিবার এক-তৃতীয়াংশ করে ভরে। গোলকের পরীক্ষা বেছে দেখো, গোলক তার পরিলিখিত বেলনের ঠিক দুই-তৃতীয়াংশ ভরে।
6. ঢালার স্লাইডার দিয়ে যেকোনো জায়গায় থামো, তারপর পরিমাপ প্যানেলে ভরাটের ভগ্নাংশ পড়ো। r বা h বদলাও: বেলনের আয়তন বদলাবে, কিন্তু ভগ্নাংশগুলো একই থাকবে।

আইসক্রিম কোণ দেখতে এত বড়, ধরে এত কম কেন?

একই মুখ আর একই উচ্চতার একটি কাগজের গ্লাস আর একটি আইসক্রিম কোণ নাও। কোণ পানিতে ভরে গ্লাসে ঢালো। গ্লাস ভরল না। দ্বিতীয় বার ঢালো: তবু ভরল না। তৃতীয় বারে তবেই পানি কানায় কানায় উঠল। সিমুলেশনে ব্যাসার্ধ ৩, উচ্চতা ৪ একক কোণক দিয়ে এটাই হয়: কোণকের আয়তন ৩৭.৭০, বেলনের আয়তন ১১৩.১০, আর ১১৩.১০ ÷ ৩৭.৭০ = ৩।

এই “এক-তৃতীয়াংশ” কাকতালীয় নয়, আর এটাই এই অধ্যায়ের সবচেয়ে কাজের তথ্য। মানে বেলনের সূত্র একবার শিখলেই হলো, কোণকের জন্য তিন দিয়ে ভাগ করো। এই পাতায় তুমি প্রথমে এটা দেখবে, তারপর কারণ বুঝবে, তারপর পরীক্ষা আর বাস্তব জীবনের অঙ্ক কষবে।

আয়তন আর তলের ক্ষেত্রফল, একদম গোড়া থেকে

একটি কাঠের ব্লক ভাবো। আয়তন হলো তার ভেতরে কতগুলো একক ঘনক ধরে তা। যে ব্লকের দৈর্ঘ্য ৪, প্রস্থ ৩ আর উচ্চতা ২, তাতে ৪ × ৩ × ২ = ২৪টি একক ঘনক ধরে, তাই আয়তন ২৪ ঘন একক। তিনটি দৈর্ঘ্য গুণ করেছ বলে একক ঘন।

এবার একই ব্লককে উপহারের কাগজে মুড়ে দেওয়ার কথা ভাবো। কাগজ যতটা লাগে সেটাই তলের ক্ষেত্রফল: প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল যোগ করে। তল চ্যাপ্টা, তাই মাপ বর্গ একক: বর্গ সেন্টিমিটার, বর্গ মিটার। তলের ক্ষেত্রফল ঘনবস্তুর চামড়ার মাপ, আয়তন তার ভেতরের জায়গার মাপ।

কিছু ঘনবস্তুর তল বাঁকা। একটি টিনের কৌটার মাথা আর তলা চ্যাপ্টা, গা-টা বাঁকা। শুধু বাঁকা গায়ের ক্ষেত্রফলকে বলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল। সব মিলিয়ে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল। ঘনক বা আয়তঘনে মাথা আর তলা বাদ দিয়ে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফলকে বলে পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল।

যে শব্দগুলো সামনে আসবে

এই তালিকা হাতের কাছে রাখো। বইভেদে একই ধারণার নাম একটু আলাদা হতে পারে।

ছয় ঘনবস্তুর সব সূত্র এক টেবিলে

সারি ধরে ধরে পড়ো। লক্ষ করো, বেলনই “মূল”: কোণক তার আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ নেয়, আর গোলক ও অর্ধগোলক শুধু r দিয়ে তৈরি।

কোণক কেন বেলনের এক-তৃতীয়াংশ

সহজ থেকে গভীর, তিনটি উপায়ে দেখা যায়।

তল খুলে বিছানো: জাল

প্রতিটি টুকরো চ্যাপ্টা হলে ক্ষেত্রফল সহজ। ঘনবস্তুর ধার বরাবর কেটে বিছালে যা পাওয়া যায় তা জাল। সিমুলেশনে জালের দৃশ্য বেছে নিলে টুকরোগুলো চ্যাপ্টা হয়ে পড়ে।

সিমুলেশনে হাতে-কলমে

ছয়টি ছোট পরীক্ষা। আগে অনুমান করো, তারপর পরিমাপ প্যানেলে মিলিয়ে নাও।

• বেলন বেছে r কে ৩ থেকে ৬ করো। আয়তন বাড়ে ৪ গুণ, কারণ r এর বর্গ হয়। এবার r না বদলে h দ্বিগুণ করো: আয়তন বাড়ে মাত্র ২ গুণ।
• গোলক বেছে ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করো। ক্ষেত্রফল বাড়ে ৪ গুণ, আয়তন ৮ গুণ। দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল ×৪, আয়তন ×৮: সব ঘনবস্তুর বেলায়ই এটা সত্য।
• কোণক বেছে r = ৬, h = ৮ করো। হেলানো উচ্চতা হয় ১০, আয়তন ৩০১.৫৯। সব দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ, তাই আয়তন আগের ৮ গুণ।
• আয়তঘন বেছে তিনটি স্লাইডার সমান করো। সেটি ঘনক হয়ে যায়, আর l × w × h হয় a³।
• কোণকের জাল খুলে h অনেক বাড়াও। বৃত্তকলা সরু হয়: লম্বা সরু কোণকের কোণ ছোট। h কমালে বৃত্তকলা পূর্ণ বৃত্তের দিকে খোলে।
• গোলকের ঢালা চালাও আর দেখো বেলন ⅔ দাগে থামে, কানায় নয়। বাকি এক-তৃতীয়াংশ ঠিক একই মাপের একটি কোণকের আয়তন।

সমাধান করা অঙ্ক

নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের সূত্র দিয়েই কষা।

সচরাচর ভুলগুলো

এই অধ্যায়ে প্রায় সব নম্বর কাটা যায় এই কয়টি ভুলে।

• বক্রতল আর সমগ্রতল গুলিয়ে ফেলা। শুরুর কোণকে বক্রতল ৪৭.১২, কিন্তু সমগ্রতল ৭৫.৪০: প্রথমটিতে ভূমির বৃত্ত নেই। প্রশ্নে “বক্র” না “সমগ্র” চাইছে, পড়ে নাও।
• কোণকের ক্ষেত্রফলে l এর জায়গায় h বসানো। πrl এ l = ৫ এর বদলে h = ৪ দিলে ৩৭.৭০ আসে, যা প্রায় ২০% কম। আয়তনে h, ক্ষেত্রফলে l।
• এক ঘন মিটারে ১০০০ লিটার, ১০০ নয়, এটা ভুলে যাওয়া। আর এক ঘন মিটারে ১০,০০,০০০ ঘন সেমি, ১০০০ নয়।
• ব্যাসার্ধ চাইলে ব্যাস বসানো। আগে ব্যাস অর্ধেক করো।
• যে তল নেই তার ক্ষেত্রফল যোগ করা। ওপর খোলা ট্যাংকে ঢাকনা নেই; পাইপের বক্রতলে দুই মুখ নেই।
• একই সূত্রে একক মেশানো, যেমন r মিটারে আর h সেন্টিমিটারে। আগে সব একক এক করো।

বাস্তবে কোথায় লাগে

পরিমিতি স্কুলের গণিতের সবচেয়ে কাজের অধ্যায়গুলোর একটি।

• পানির ট্যাংক, সাইলো আর ড্রাম বেলন। প্রকৌশলীরা আয়তনকে লিটার বা টনে বদলান।
• তাঁবু, ফানেল, ট্রাফিক কোণ আর জন্মদিনের টুপি কোণক। দর্জি কাপড় বৃত্তকলা করে কাটেন, ঠিক যে জাল তুমি দেখলে।
• ফুটবল, সাবানের বুদবুদ আর গ্রহ গোলক। গম্বুজ আর বাটি অর্ধগোলক।
• ঘর রং, টাইলস আর প্যাকিংয়ে তলের ক্ষেত্রফল লাগে; রান্নার হাঁড়ি আর কংক্রিটে আয়তন।
• জীববিজ্ঞানেও মাপ বদলের হিসাব আছে: ছোট প্রাণীর আয়তনের তুলনায় তলের ক্ষেত্রফল বেশি, তাই তার তাপ দ্রুত হারায়।

পরীক্ষার কোণ: এসএসসি ও স্কুল পরীক্ষা

প্রশ্ন সাধারণত কয়েকটি ধরনের: আয়তন বা ক্ষেত্রফল বের করা, দুটি ঘনবস্তু জুড়ে নেওয়া, গলিয়ে নতুন আকার, বা লিটারে রূপান্তর। π এর মান হিসাবে সাধারণত ৩.১৪১৬ ধরা হয়।

ঝটপট পুনরাবৃত্তি

প্রতিটি পরীক্ষার আগে একবার পড়ে নাও।

• আয়তন ঘন এককে, তলের ক্ষেত্রফল বর্গ এককে।
• বেলন: আয়তন πr²h, বক্রতল 2πrh, সমগ্রতল 2πr(r + h)।
• কোণক: আয়তন ⅓πr²h, বক্রতল πrl, সমগ্রতল πr(r + l), l = √(r² + h²)।
• গোলক: আয়তন ⁴⁄₃πr³, ক্ষেত্রফল 4πr²। অর্ধগোলক: আয়তন ⅔πr³, বক্রতল 2πr², সমগ্রতল 3πr²।
• ঘনক: আয়তন a³, সমগ্রতল 6a²। আয়তঘন: আয়তন lwh, সমগ্রতল 2(lw + wh + lh)।
• কোণক = ⅓ বেলন; গোলক = পরিলিখিত বেলনের ⅔।
• গলিয়ে নতুন আকার বানালে আয়তন একই থাকে।
• ১ ঘন মিটার = ১০০০ লিটার; ১০০০ ঘন সেমি = ১ লিটার।

সচরাচর জিজ্ঞাসা