ভেক্টর যোগ: ত্রিভুজ ও সামান্তরিক সূত্র সিমুলেশন | শিক্ষা ওয়েব

Q: ভেক্টর যোগ করলে মান যোগ হয় না কেন?

কারণ ভেক্টরের একটি দিকও আছে, আর দিক আলাদা হলে একটির প্রভাব অন্যটিকে আংশিক কেটে দেয়। মান সরাসরি যোগ হয় কেবল দুটি ভেক্টর একই দিকে থাকলে। বাকি সব ক্ষেত্রে R = √(A² + B² + 2AB cosθ) এবং ফল সবসময় A + B-এর চেয়ে ছোট বা সমান।

Q: ত্রিভুজ সূত্র আর সামান্তরিক সূত্রে ফল কি আলাদা?

না, দুটি আসলে একই ছবি। সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান, তাই কর্ণ বরাবর লব্ধি আর ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু একই তির। বিমূর্ত পার্থক্য শুধু আঁকার শুরু: ত্রিভুজে মাথায় লেজ, সামান্তরিকে লেজে লেজ।

Q: লব্ধি কখন শূন্য হয়?

দুটি ভেক্টরের মান সমান আর তারা সম্পূর্ণ বিপরীতমুখী হলে, মানে θ = ১৮০° এবং A = B। তখন তির দুটি পরস্পরকে কেটে দেয়। তিনটি সমান ভেক্টর ১২০° অন্তরে থাকলেও লব্ধি শূন্য।

Q: নদী পার হতে কম সময় আর কম দূরত্বের উত্তর আলাদা কেন?

সময় নির্ভর করে শুধু ওপারমুখী বেগের ওপর, তাই সবচেয়ে কম সময়ে মুখ সোজা ওপারে। কিন্তু তখন স্রোত নৌকাকে ভাটিতে ভাসায়। ঠিক সামনে নামতে মুখ উজানে হেলাতে হয়, ফলে ওপারমুখী বেগ কমে এবং সময় বাড়ে।

Q: স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে কি সোজা ওপারে নামা যায়?

না। ঠিক সামনে নামার শর্ত sinφ = u ÷ v, আর u ≥ v হলে ডান পাশ ১ বা তার বেশি হয়, যা সম্ভব নয়। তখন কম ভাটিতে ভাসার জন্য সবচেয়ে ভালো মুখ খুঁজতে হয়, কিন্তু শূন্য সরণ মিলবে না।

Q: আপেক্ষিক বেগ কী?

একটি বস্তুকে অন্য একটি চলমান বস্তু থেকে দেখলে যে বেগ মনে হয়, সেটাই আপেক্ষিক বেগ। নিয়ম: যাকে দেখছ তার বেগ থেকে যে দেখছে তার বেগ ভেক্টর হিসেবে বিয়োগ করো। হাঁটতে থাকা মানুষের চোখে খাড়া বৃষ্টিও তির্যক দেখায় এই কারণে।

Q: ছাতা কোন কোণে ধরলে ভিজব না?

যে দিক থেকে বৃষ্টি আসছে সে দিকে। উল্লম্ব থেকে সামনের দিকে θ কোণে, যেখানে tan θ = ব্যক্তির বেগ ÷ বৃষ্টির বেগ। দাঁড়িয়ে থাকলে θ = ০°, মানে সোজা ছাতা। যত জোরে হাঁটবে, তত বেশি কাত করতে হবে।

তিরের মাথা টেনে মান ও দিক বদলাও

ভেক্টর Aভেক্টর Bলব্ধি Rউপাংশ

গতি

নিয়ন্ত্রণ

দৃশ্য বেছে নাও

যোগের সূত্র

ভেক্টর A-এর মান৩.০ N

ভেক্টর B-এর মান৪.০ N

A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ, θ৯০ °

A-এর দিক (x-অক্ষ থেকে)২০ °

লব্ধির উপাংশ দেখাও

পরিমাপ

লব্ধির মান, R: ৫.০০N
লব্ধির দিক, α (A থেকে): ৫৩.১°
x-উপাংশ, Rx: ১.৪৫N
y-উপাংশ, Ry: ৪.৭৮N
শুধু মান যোগ, A + B: ৭.০০N
মধ্যবর্তী কোণ, θ: ৯০°

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

“দুই ভেক্টরের যোগ” দৃশ্যে শুরুতেই A = ৩ N আর B = ৪ N, মাঝে ৯০°। লব্ধি R = ৫.০০ N। এটা সেই বিখ্যাত ৩-৪-৫।
তিরের মাথা ক্যানভাসে টেনে মান ও দিক বদলাও, অথবা স্লাইডার সরাও। “ত্রিভুজ সূত্র” আর “সামান্তরিক সূত্র” বদলে বদলে দেখো, লব্ধি একই থাকে।
মধ্যবর্তী কোণ ০° থেকে ১৮০° পর্যন্ত ঘুরিয়ে R কীভাবে বদলায় লক্ষ করো, আর “শুধু মান যোগ” মানের সঙ্গে তুলনা করো।
“নদী পারের নৌকা” দৃশ্যে নৌকার মুখ ঘোরাও। ভাটিতে কতটা সরে গেল, পার হতে কত সময় লাগল, পরিমাপ প্যানেলে দেখো। তারপর “ন্যূনতম দূরত্বের মুখ নাও” চালু করো।
“বৃষ্টি ও ছাতা” দৃশ্যে হাঁটার বেগ বাড়াও। ছাতা কতটা সামনে কাত হলে ভেজা বন্ধ হয়, tan θ = হাঁটার বেগ ÷ বৃষ্টির বেগ সূত্রে মিলিয়ে নাও।

নৌকা কেন সোজা যায় না?

নদীর এপারে দাঁড়িয়ে ঠিক উল্টো দিকের ঘাটের দিকে নৌকার মুখ ঘুরিয়ে বৈঠা বাইলে কী হয়? নৌকা ওই ঘাটে পৌঁছায় না, ভাটির দিকে খানিকটা সরে গিয়ে ওঠে। মাঝি জানে এটা, তাই সে শুরুতেই মুখ একটু উজানের দিকে রাখে।

বৃষ্টির দিনেও একই কাণ্ড। বৃষ্টি সোজা নিচে পড়ছে, তবু রিকশায় বা হেঁটে চলার সময় মনে হয় বৃষ্টি সামনে থেকে তেড়ে আসছে। ছাতাটা একটু সামনে কাত না করলে মুখ ভিজে যায়।

দুটো ঘটনার মূল কথা এক: একটা জিনিসের ওপর দুটি আলাদা গতি বা বল একসঙ্গে কাজ করছে, আর দুটির দিক আলাদা। তখন সোজা সংখ্যা যোগ করলে চলে না। ৩ আর ৪ যোগ করে সবসময় ৭ পাওয়া যায় না, কখনো ৫, কখনো ১, কখনো ৬.০৮। কেন, সেটাই এই পাঠে জানব।

একদম শুরু থেকে: স্কেলার আর ভেক্টর

কিছু রাশি বোঝাতে শুধু সংখ্যা আর একক হলেই চলে। “আমার ওজন ৫০ kg”, “ঘরের তাপমাত্রা ৩০°C”, “রাস্তাটা ২ km লম্বা”। এগুলো স্কেলার রাশি। ২ kg আর ৩ kg যোগ করলে সবসময় ৫ kg।

কিছু রাশির জন্য দিকও বলতে হয়। “আমি ৫ km হাঁটলাম” অসম্পূর্ণ খবর, কারণ কোথায় পৌঁছালাম জানা যায় না। “উত্তরে ৫ km” বললে জায়গাটা ঠিক হয়। বেগ, বল, সরণ, ত্বরণ এমন রাশি। এদের বলে ভেক্টর রাশি।

ভেক্টরকে আমরা তির দিয়ে আঁকি। তিরের দৈর্ঘ্য মান বোঝায়, তিরের মুখ দিক বোঝায়। বই-খাতায় ভেক্টর লেখা হয় মোটা অক্ষরে বা অক্ষরের ওপর তির চিহ্ন দিয়ে; আমরা এখানে শুধু A, B, R লিখছি আর মান বোঝাতে |A|-ও ব্যবহার করব।

স্কেলার রাশি	ভেক্টর রাশি	তফাতটা কোথায়
দূরত্ব	সরণ	দূরত্ব পথের দৈর্ঘ্য, সরণ শুরু থেকে শেষের সরলরেখা ও দিক
দ্রুতি	বেগ	বেগ = দ্রুতি + দিক
ভর	ওজন (বল)	ওজন সবসময় নিচের দিকে
কাজ, শক্তি	বল	বল দিক দিয়ে বদলায়, শক্তি বদলায় না
তাপমাত্রা	ত্বরণ	ত্বরণ বেগ বদলের দিকে

যে শব্দগুলো জানতেই হবে

এই অধ্যায়ের প্রশ্নে নিচের শব্দগুলো বারবার ফিরে আসে। অর্থসহ মিলিয়ে রাখো।

শব্দ	সহজ মানে	কোথায় দেখা যায়
ভেক্টর	মান ও দিক দুটিই আছে এমন রাশি	বেগ, বল, সরণ
স্কেলার	শুধু মান আছে, দিক নেই	ভর, সময়, তাপমাত্রা
লব্ধি	একাধিক ভেক্টরের সমান প্রভাবের একটিমাত্র ভেক্টর	দুই দড়ির টানের মিলিত ফল
উপাংশ	ভেক্টরকে দুই অক্ষ বরাবর ভাঙা দুই অংশ	ঢালু পথে বলের অনুভূমিক ও উল্লম্ব অংশ
ত্রিভুজ সূত্র	এক ভেক্টরের মাথায় অন্যটির লেজ বসিয়ে যোগ	পায়ে হাঁটা দুই ধাপের সরণ
সামান্তরিক সূত্র	দুই ভেক্টরের লেজ এক বিন্দুতে রেখে সামান্তরিক পূরণ	একই বিন্দুতে দুই দড়ির টান
আপেক্ষিক বেগ	এক বস্তুকে অন্য বস্তু থেকে দেখলে যে বেগ মনে হয়	চলন্ত বাসে বসে দেখা বৃষ্টি
একক ভেক্টর	মান ১ এমন ভেক্টর, শুধু দিক জানায়	অক্ষ বরাবর দিক

ত্রিভুজ সূত্র: তিরের মাথায় তিরের লেজ

ধরো তুমি পূর্ব দিকে ৩ m হাঁটলে, তারপর ঘুরে উত্তরে ৪ m। শুরুর বিন্দু থেকে এখন তুমি কত দূরে, কোন দিকে? ছবিতে প্রথম তির আঁকো, তার মাথায় দ্বিতীয় তিরের লেজ বসাও। শুরু থেকে শেষ মাথা পর্যন্ত তৃতীয় তির টানলেই সেটা লব্ধি।

এটাই ত্রিভুজ সূত্র। দুটি ভেক্টরকে যদি একটি ত্রিভুজের দুই বাহু হিসেবে একই ক্রমে আঁকা যায়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু বিপরীত ক্রমে ওই দুটির লব্ধিকে মান ও দিকে প্রকাশ করে।

সিমুলেশনে ডিফল্ট অবস্থায় A আর B মিলে ৯০° কোণ করে, তাই ত্রিভুজটা সমকোণী: ৩, ৪ আর কর্ণ ৫.০০। পিথাগোরাসের হিসাবেই মিলে গেল।

আরেকটা মজা: B আগে না A আগে বসালে কি ফল বদলায়? বদলায় না। ভেক্টর যোগে ক্রম বদলালে ফল একই থাকে, A + B = B + A। সিমুলেশনে দুটি তির উল্টে বসিয়ে দেখো, লব্ধির তির একই জায়গায় থামে।

R = A + Bলব্ধি ভেক্টর, ক্রম বদলালেও একই

A + B = B + Aবিনিময় নিয়ম

সামান্তরিক সূত্র: দুই লেজ এক জায়গায়

দুজন মিলে একটা ভারী বস্তা টানছে, দুজনেই একই বিন্দুতে দড়ি বেঁধেছে। দুটি দড়ির টান দুটি বল, লেজ এক জায়গায়। এখানে ত্রিভুজ সূত্র আঁকা একটু বেখাপ্পা, তাই সামান্তরিক সূত্র।

একই বিন্দু থেকে দুই ভেক্টর A আর B আঁকো। তারপর তাদের ওপর ভিত্তি করে সামান্তরিক পূরণ করো, মানে A-এর মাথা থেকে B-এর সমান্তরাল একটি রেখা, B-এর মাথা থেকে A-এর সমান্তরাল একটি রেখা। দুটি রেখা যেখানে মিলল, সেটাই কর্ণের মাথা। শুরু বিন্দু থেকে ওই মাথা পর্যন্ত কর্ণই লব্ধি।

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান। তাই B-এর সমান আরেকটি বাহু A-এর মাথা থেকে আঁকা মানেই ত্রিভুজ সূত্র। দুটি সূত্র আসলে একই ছবি, শুধু আঁকার ভঙ্গি আলাদা। সিমুলেশনে দুই সূত্র পাল্টে দেখো, R-এর তির নড়ে না।

লব্ধির মান ও দিক বের করার সূত্র

ছবি এঁকে আন্দাজ করা গেল। এবার সংখ্যায় বের করি। A বরাবর অক্ষ ধরো। B-কে ভাঙো দুই অংশে: A-এর দিকে B cosθ, তার লম্ব দিকে B sinθ। তখন লব্ধির A-বরাবর অংশ A + B cosθ, লম্ব অংশ B sinθ।

এই দুই অংশ একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু, লব্ধি তার কর্ণ। পিথাগোরাস লাগালেই R² = (A + B cosθ)² + (B sinθ)²। বন্ধনী খুলে sin²θ + cos²θ = 1 বসালে ভেতরের জঞ্জাল কেটে যায় আর থাকে বিখ্যাত সূত্রটি।

দিক পেতে সমকোণী ত্রিভুজের স্পর্শক লাগাও: লম্ব অংশ ÷ লাগোয়া অংশ। α হলো লব্ধি আর A-এর মধ্যবর্তী কোণ। ইংরেজি অক্ষর α এখানে শুধু একটা নাম।

R² = (A + B cosθ)² + (B sinθ)²দুই অংশে পিথাগোরাস

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)লব্ধির মান, θ = A ও B-এর মধ্যবর্তী কোণ

tan α = B sinθ ÷ (A + B cosθ)লব্ধি A-এর সঙ্গে α কোণ করে

কোণ বদলালে লব্ধি কীভাবে বদলায়

৩ N আর ৪ N ধরে θ-কে খোলো। সারণির সংখ্যাগুলো কোডে হিসাব করা, সিমুলেশনে মান ৩ আর ৪ রেখে θ স্লাইডার ঘুরিয়ে মিলিয়ে নাও।

চরম দুটি অবস্থা মনে রাখার মতো। θ = ০° হলে তির দুটি একই দিকে, R সবচেয়ে বড়, A + B। θ = ১৮০° হলে উল্টো দিকে, R সবচেয়ে ছোট, A − B-এর পরম মান। বাকি সব কোণে R এই দুইয়ের মাঝামাঝি। ডিফল্টে ৩ + ৪ = ৭ হলেও লব্ধি ৫.০০, কারণ কোণটা ৯০°।

θ = ০°: তির একমুখী, মান সরাসরি যোগ।
θ = ৯০°: সমকোণ, R = √(A² + B²)।
θ = ১৮০°: তির বিপরীতমুখী, মান বিয়োগ।
A = B হলে R = 2A cos(θ/2), এবং লব্ধি ঠিক মাঝের দিকে।

θ (ডিগ্রি)	cosθ	R (N)	α (ডিগ্রি)
০	১.০০	৭.০০	০.০
৬০	০.৫০	৬.০৮	৩৪.৭
৯০	০.০০	৫.০০	৫৩.১
১২০	-০.৫০	৩.৬১	৭৩.৯
১৮০	-১.০০	১.০০	১৮০.০

উপাংশ: একটা ভেক্টরকে ভেঙে দুই ভাগ

যোগের উল্টো কাজও আছে। একটা তির্যক ভেক্টরকে দুই অক্ষ বরাবর ভেঙে ফেলা যায়। ঢালু পথে ঠেলাগাড়ি টানার সময় যে বল দাও, তার একটা অংশ গাড়িকে সামনে নেয়, আরেকটা অংশ গাড়িকে উপরে তুলতে চায়। এই অংশগুলোই উপাংশ।

x অক্ষের সঙ্গে θ কোণে F বল থাকলে x বরাবর উপাংশ F cosθ, y বরাবর F sinθ। উপাংশ দুটি লম্ব, তাই আবার জুড়লে পিথাগোরাস দিয়ে F ফেরত আসে।

সিমুলেশনে “লব্ধির উপাংশ দেখাও” চালু থাকলে সবুজ রেখায় Rx আর Ry দেখা যায়। ডিফল্টে Rx = ১.৪৫ N, Ry = ৪.৭৮ N। A আর B-এর উপাংশ আলাদা করে যোগ করলেও একই সংখ্যা মেলে। এই পথেই কঠিন অঙ্ক সহজ হয়: প্রতিটি ভেক্টরকে ভাঙো, x-এর সঙ্গে x, y-এর সঙ্গে y যোগ করো, শেষে একবার পিথাগোরাস।

Fx = F cosθx অক্ষ বরাবর উপাংশ

Fy = F sinθy অক্ষ বরাবর উপাংশ

F = √(Fx² + Fy²)উপাংশ জুড়ে আবার মূল মান

Rx = Ax + Bx, Ry = Ay + Byলব্ধির উপাংশ = উপাংশের যোগফল

নদীতে নৌকা: দুটি বেগ একসঙ্গে

নৌকা নিজের ইঞ্জিন বা বৈঠায় স্থির জলে v বেগে যেতে পারে। কিন্তু জলটাই চলছে u বেগে। তীর থেকে দেখলে নৌকার আসল বেগ দুটোর ভেক্টর যোগফল।

নৌকার মুখ সোজা ওপারে রাখলে নৌকার বেগ আর স্রোতের বেগ সমকোণে। লব্ধি বেগ √(v² + u²)। পার হতে সময় শুধু ওপারমুখী উপাংশের ওপর নির্ভর করে, স্রোত তাতে কিছু যোগ করে না। স্রোত শুধু নৌকাকে ভাটির দিকে ভাসায়। এখন ১০০ m চওড়া নদী, v = ৫ m/s, u = ৩ m/s ধরে সময় ২০.০ s আর ভাটিতে সরণ ৬০.০ m।

এখন প্রশ্ন দুটো, আর দুটোর উত্তর আলাদা। কম সময়ে পার হতে চাইলে মুখ সোজা ওপারে। কম দূরত্বে, মানে ঠিক সামনের ঘাটে নামতে চাইলে মুখ উজানের দিকে হেলাতে হবে।

শর্ত হলো ভাটির দিকের নেট বেগ শূন্য হতে হবে, মানে নৌকার বেগের উজানমুখী উপাংশ স্রোতের বেগকে কেটে দেবে: v sinφ = u। এর থেকে sinφ = u ÷ v। যদি u ≥ v হয়, ডান পাশ ১ ছাড়িয়ে যায়, সমাধান নেই। স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে সোজা ওপারে নামা অসম্ভব, যতই মুখ ঘোরাও।

আরেকটি মজার কথা: সবচেয়ে কম সময়ের পথ আর সবচেয়ে ছোট পথ এক নয়। সবচেয়ে কম সময় চাইলে সোজা ওপারে মুখ করে সর্বোচ্চ ওপারমুখী বেগ নাও। ছোট পথ চাইলে সময় বেশি লাগবে।

vx = u − v sinφভাটিমুখী নেট বেগ (φ = উজানের দিকে হেলানো কোণ)

vy = v cosφওপারমুখী বেগ

t = d ÷ (v cosφ)নদীর প্রস্থ d হলে পার হওয়ার সময়

sinφ = u ÷ vঠিক সামনে নামার শর্ত, শুধু u < v হলে সম্ভব

বৃষ্টি আর ছাতা: আপেক্ষিক বেগ

বৃষ্টির ফোঁটা সোজা v বেগে নিচে পড়ছে। তুমি u বেগে সামনে হাঁটছ। তোমার চোখে ফোঁটা কোন বেগে আসছে? এক বস্তুকে অন্য বস্তুর সাপেক্ষে দেখার এই বেগই আপেক্ষিক বেগ। নিয়ম: যাকে দেখছ তার বেগ থেকে যে দেখছে তার বেগ বিয়োগ করো।

অর্থাৎ বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ = বৃষ্টির বেগ − তোমার বেগ। বিয়োগ মানে −u যোগ করা, যা তোমার চলার উল্টো দিকে একটি তির। সুতরাং বৃষ্টির নিচমুখী তিরের সঙ্গে পেছনমুখী একটি তির যোগ হয়ে বৃষ্টি তোমার দিকে তির্যকভাবে আসে।

ছাতা ঠিক সেই কোণে ধরতে হবে, যেদিক থেকে বৃষ্টি আসছে। উল্লম্ব থেকে সামনের দিকে θ কোণে, যেখানে tan θ = তোমার বেগ ÷ বৃষ্টির বেগ। ডিফল্টে ৪ m/s বৃষ্টি আর ৩ m/s হাঁটা: tan θ = ০.৭৫, θ = ৩৬.৯°, আর আপেক্ষিক বেগ ৫.০০ m/s।

এখানে এক কৌতূহলী কথা: তুমি দ্রুত হাঁটলে বৃষ্টি তোমার চোখে বেশি তির্যক ও দ্রুত লাগে, যদিও আকাশে বৃষ্টি আগের মতোই। সিমুলেশনে “ব্যক্তির চোখে দেখো” চালালে ফোঁটাগুলো সত্যিই হেলে পড়ে।

v(আপেক্ষিক) = v(বৃষ্টি) − v(ব্যক্তি)ভেক্টর বিয়োগ

tan θ = v(ব্যক্তি) ÷ v(বৃষ্টি)ছাতার কাত উল্লম্ব থেকে

|v(আপেক্ষিক)| = √(v(বৃষ্টি)² + v(ব্যক্তি)²)দুটি বেগ লম্ব, তাই পিথাগোরাস

সিমুলেশনে হাতে-কলমে পরীক্ষা

প্রতিটি পরীক্ষা এক মিনিটের। করে দেখো, সূত্র আর কখনো ভুলবে না।

পরীক্ষা ১: প্রথম দৃশ্যে B-কে ধীরে ধীরে ঘুরিয়ে θ = ০° করো। লব্ধি দুই মানের যোগফল হলো? এবার θ = ১৮০° করো। লব্ধি কত কমল?
পরীক্ষা ২: A = B করো। θ ১২০° করলে R কত হয়? লব্ধির মান A-এর সমান কেন, ভাবো।
পরীক্ষা ৩: সামান্তরিক সূত্র চালিয়ে কর্ণটা লব্ধির তিরের ওপর বসে কি না দেখো। এরপর ত্রিভুজ সূত্রে বদলাও।
পরীক্ষা ৪: “লব্ধির উপাংশ দেখাও” চালু রেখে A ঘুরিয়ে Rx আর Ry-এর চিহ্ন কখন বদলায় খুঁজে বের করো।
পরীক্ষা ৫: নদী দৃশ্যে স্রোত ০ করে নৌকার মুখ ঘোরাও। ভাটিতে সরণ কত? এবার স্রোত বাড়িয়ে মুখ বদলাও।
পরীক্ষা ৬: নৌকার বেগ ৩ m/s আর স্রোত ৪ m/s রাখো, কেন ন্যূনতম পথের মুখ “—” দেখাচ্ছে বোঝো।
পরীক্ষা ৭: বৃষ্টির দৃশ্যে স্বয়ংক্রিয় কাত বন্ধ করো। ছাতার কাত স্লাইডারে কমিয়ে বাড়িয়ে ঠিক কোন কোণে “শুকনো” লেখা আসে, টুকে রাখো, তারপর tan θ দিয়ে মিলিয়ে নাও।

সমাধান করা অঙ্ক

প্রতিটি সংখ্যা কোডে হিসাব করা। আগে নিজে খাতায় করে তবে নিচের ধাপ দেখো।

অঙ্ক ১: ৩ N আর ৪ N সমকোণে

দুটি বল ৩ N আর ৪ N পরস্পর ৯০° কোণে একই বিন্দুতে কাজ করছে। লব্ধির মান ও দিক কত?

R = √(৩² + ৪² + 2 × ৩ × ৪ × cos ৯০°) = ৫.০০ N, কারণ cos ৯০° = ০। দিক: tan α = ৪ sin ৯০° ÷ (৩ + ৪ cos ৯০°) = ৪ ÷ ৩, তাই α = ৫৩.১°, ৩ N বলের সঙ্গে।

অঙ্ক ২: ১০ N আর ৬ N ৬০° কোণে

দুটি বল ১০ N আর ৬ N-এর মধ্যবর্তী কোণ ৬০°। লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় করো।

A + B cosθ = ১০ + ৬ × ০.৫০ = ১৩.০০। B sinθ = ৬ × ০.৮৬৬ = ৫.২০। R² = ১৩.০০² + ৫.২০² = ১৯৬, তাই R = ১৪.০০ N। tan α = ৫.২০ ÷ ১৩.০০, α = ২১.৮°। কোণ ছোট বলে R প্রায় সরাসরি যোগফলের কাছাকাছি।

অঙ্ক ৩: সমান দুই বল ১২০° কোণে

দুটি সমান বলের প্রতিটি ৮ N, মধ্যবর্তী কোণ ১২০°। লব্ধি কত?

R = 2P cos(θ/2) = 2 × ৮ × cos ৬০° = 2 × ৮ × ০.৫০ = ৮.০০ N। অবাক হওয়ার মতো ব্যাপার: লব্ধি প্রতিটি বলের সমান। লব্ধি আসলে ৬০° কোণে, ঠিক দুই বলের মাঝখানে। তিন সমান বল ১২০° অন্তরে টানলে তারা পরস্পরকে কেটে দেয়, তাই এই ছবিটা ভারসাম্যের চাবি।

অঙ্ক ৪: ঢালু রশিতে টান

একটি স্লেজ গাড়িকে ৫০ N বলে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে টানা হচ্ছে। বলের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ কত?

Fx = ৫০ cos ৩০° = ৪৩.৩০ N, Fy = ৫০ sin ৩০° = ২৫.০০ N। গাড়িকে সামনে ঠেলছে শুধু ৪৩.৩০ N। বাকি ২৫.০০ N ওপরে টানছে, ওজন কিছুটা কমিয়ে।

অঙ্ক ৫: নদী পার হওয়া

১০০ m চওড়া নদীতে স্রোতের বেগ ৩ m/s। নৌকার বেগ স্থির জলে ৫ m/s। (ক) মুখ সোজা ওপারে রাখলে লব্ধি বেগ, সময় ও ভাটিতে সরণ কত? (খ) ঠিক সামনের ঘাটে নামতে হলে কোন কোণে মুখ রাখবে, সময় কত?

(ক) লব্ধি বেগ √(৫² + ৩²) = ৫.৮৩ m/s। ওপারমুখী বেগ ৫ m/s, তাই সময় ১০০ ÷ ৫ = ২০.০ s। সরণ ৩ × ২০.০ = ৬০.০ m। পথ সোজা থেকে ৩১.০° কোণে।

(খ) sinφ = ৩ ÷ ৫ = ০.৬০, তাই φ = ৩৬.৯° উজানের দিকে। ওপারমুখী বেগ √(৫² − ৩²) = ৪.০০ m/s, সময় ১০০ ÷ ৪.০০ = ২৫.০ s। সময় বাড়ল, কিন্তু সরণ শূন্য।

অঙ্ক ৬: হাঁটার সময় ছাতা

বৃষ্টি ৪ m/s বেগে খাড়া নিচে পড়ছে, একজন ৩ m/s বেগে হাঁটছে। বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ কত? ছাতা উল্লম্ব থেকে কত কোণে ধরবে?

আপেক্ষিক বেগ √(৪² + ৩²) = ৫.০০ m/s। tan θ = ৩ ÷ ৪ = ০.৭৫, তাই θ = ৩৬.৯°, সামনের দিকে কাত করে।

অঙ্ক ৭: উল্টো পথের অঙ্ক

একজন সাইকেলচালক ৬ m/s বেগে যাচ্ছে। তার মনে হচ্ছে বৃষ্টি উল্লম্ব থেকে ৩০° কোণে আসছে। বৃষ্টির আসল বেগ কত?

tan ৩০° = ০.৫৭৭ = ৬ ÷ v(বৃষ্টি), তাই v(বৃষ্টি) = ৬ ÷ ০.৫৭৭ = ১০.৩৯ m/s। যাচাই: আপেক্ষিক বেগ √(১০.৩৯² + ৬²) = ১২.০০ m/s।

যে ভুলগুলোতে নম্বর কাটা যায়

খাতা দেখার সময় একই কয়েকটা ভুল বারবার ধরা পড়ে। তালিকাটা পড়ে নিজের ভুলগুলো চিনে রাখো।

ভেক্টরের মান সরাসরি যোগ করা। ৩ N আর ৪ N-এর লব্ধি ৭ N শুধু একই দিকে হলে, অন্যথায় ছোট।
θ বলতে দুই ভেক্টরের লেজ এক বিন্দুতে রেখে তাদের মধ্যবর্তী কোণ। ত্রিভুজ আঁকার সময় ভেতরের কোণ আর θ আলাদা, কারণ ভেতরের কোণ হয় ১৮০° − θ।
tan α-এর হরে A + B cosθ লিখতে ভুলে শুধু A লেখা। হরে কোণের প্রভাব থাকবেই।
নদীর অঙ্কে সময় বের করতে লব্ধি বেগ দিয়ে প্রস্থ ভাগ করা। সময় হিসাবে শুধু ওপারমুখী উপাংশ লাগে।
বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগে যোগ বিয়োগ গুলিয়ে ফেলা। দর্শকের বেগ উল্টো করে যোগ করতে হয়।
tan θ = ভ্যালু ÷ ভ্যালু লিখে কোণ নির্ণয় করার সময় ক্যালকুলেটর ডিগ্রি মোডে না রাখা।
ভেক্টর আর স্কেলারের একক গুলিয়ে ফেলা। লব্ধির একক উপাদান ভেক্টরের একক।

চারপাশের জীবনে ভেক্টর যোগ

একবার চিনতে শিখলে সবখানে দেখবে। কয়েকটা নমুনা:

বিমান আর বাতাস: পাইলট একদিকে মুখ করে, কিন্তু বাতাস অন্যদিকে ঠেলে। ঠিক ঠিকানায় পৌঁছাতে মুখ আগে থেকে হেলাতে হয়।
নৌকা আর লঞ্চ: সদরঘাট থেকে নদীর ওপারে যাওয়ার সময় সারেং এই হিসাবই করেন।
টাগ-অফ-ওয়ার: দুই দলের টান দুই ভেক্টর, লব্ধি কোন দিকে সেটাই জয়-পরাজয়।
গাছের ডালে ঝোলানো দোলনা: দুই দড়ির টানের লব্ধি দোলনার ওজনকে ভারসাম্যে রাখে।
ফুটবলে কোণাকুনি শট: পায়ের বল আর বাতাসের ধাক্কা মিলে বাঁক খায়।
ঘূর্ণিঝড়ের গতিপথ: বাতাসের বেগ ও সমুদ্রস্রোত মিলে লব্ধি পথ।

পরীক্ষার কোণ: SSC ও HSC

ভেক্টর অধ্যায়ে সৃজনশীল প্রশ্নের উদ্দীপক সাধারণত নদী, নৌকা আর বলের লব্ধি নিয়ে আসে। একটি নমুনা দেখো।

নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক: ২০০ m চওড়া একটি নদীর স্রোতের বেগ ৩ m/s। রহিম স্থির জলে ৫ m/s বেগে বৈঠা বাইতে পারে। সে একবার সোজা ওপারে মুখ রেখে যায়, আরেকবার ঠিক সামনের ঘাটে পৌঁছাতে চায়।

ক. ভেক্টর রাশি কাকে বলে? (১ নম্বর)

খ. স্রোতের বেগ নৌকার ওপারে যাওয়ার সময় বদলায় না কেন? (২ নম্বর)

গ. সোজা ওপারে মুখ রাখলে রহিমের সময় ও ভাটিতে সরণ নির্ণয় করো। (৩ নম্বর) উত্তর: সময় ২০০ ÷ ৫ = ৪০.০ s, সরণ ৩ × ৪০.০ = ১২০.০ m।

ঘ. ঠিক সামনের ঘাটে পৌঁছাতে সে কোন কোণে মুখ রাখবে এবং সময় কত লাগবে? দুই ক্ষেত্রের সময়ের তুলনা করো। (৪ নম্বর) উত্তর: φ = ৩৬.৯°, সময় ২০০ ÷ ৪.০০ = ৫০.০ s।

উত্তর লেখার কৌশল

গ-তে আগে লেখো, নদীর প্রস্থ পার হওয়ার সময় শুধু ওপারমুখী উপাংশ ঠিক করে। ঘ-তে শর্ত লেখো: ভাটিতে নেট বেগ শূন্য। তারপর সূত্র বসাও। তুলনা লাইনে লিখো, ঠিক সামনে পৌঁছাতে সময় বেশি লাগে, কারণ ওপারমুখী উপাংশ কমে গেছে।

অনুশীলন: (১) ৬ N ও ৮ N বল সমকোণে, লব্ধি ১০.০০ N। (২) দুটি ১০ N বল ৬০° কোণে, লব্ধি ১৭.৩২ N। (৩) বৃষ্টি ৬ m/s, মানুষ ৮ m/s, আপেক্ষিক বেগ ১০.০০ m/s, কোণ ৫৩.১°।

দ্রুত রিভিশন

পরীক্ষার আগের রাতে এই কয়েক লাইন চোখ বুলিয়ে নাও।

ভেক্টরের মান ও দিক দুটিই আছে। স্কেলারের শুধু মান।
ত্রিভুজ সূত্র: একটির মাথায় অন্যটির লেজ। সামান্তরিক সূত্র: দুই লেজ এক বিন্দুতে। ফল একই।
R = √(A² + B² + 2AB cosθ) এবং tan α = B sinθ ÷ (A + B cosθ)।
θ = ০° হলে R সর্বোচ্চ, ১৮০° হলে সর্বনিম্ন।
উপাংশ: F cosθ আর F sinθ। লব্ধির উপাংশ = উপাংশের যোগফল।
নদী: সময় = প্রস্থ ÷ ওপারমুখী বেগ। ঠিক সামনে নামতে sinφ = u ÷ v।
বৃষ্টি: tan θ = ব্যক্তির বেগ ÷ বৃষ্টির বেগ, আপেক্ষিক বেগ = বৃষ্টির বেগ − ব্যক্তির বেগ।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

ভেক্টর যোগ করলে মান যোগ হয় না কেন?

কারণ ভেক্টরের একটি দিকও আছে, আর দিক আলাদা হলে একটির প্রভাব অন্যটিকে আংশিক কেটে দেয়। মান সরাসরি যোগ হয় কেবল দুটি ভেক্টর একই দিকে থাকলে। বাকি সব ক্ষেত্রে R = √(A² + B² + 2AB cosθ) এবং ফল সবসময় A + B-এর চেয়ে ছোট বা সমান।

ত্রিভুজ সূত্র আর সামান্তরিক সূত্রে ফল কি আলাদা?

না, দুটি আসলে একই ছবি। সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান, তাই কর্ণ বরাবর লব্ধি আর ত্রিভুজের তৃতীয় বাহু একই তির। বিমূর্ত পার্থক্য শুধু আঁকার শুরু: ত্রিভুজে মাথায় লেজ, সামান্তরিকে লেজে লেজ।

লব্ধি কখন শূন্য হয়?

দুটি ভেক্টরের মান সমান আর তারা সম্পূর্ণ বিপরীতমুখী হলে, মানে θ = ১৮০° এবং A = B। তখন তির দুটি পরস্পরকে কেটে দেয়। তিনটি সমান ভেক্টর ১২০° অন্তরে থাকলেও লব্ধি শূন্য।

নদী পার হতে কম সময় আর কম দূরত্বের উত্তর আলাদা কেন?

সময় নির্ভর করে শুধু ওপারমুখী বেগের ওপর, তাই সবচেয়ে কম সময়ে মুখ সোজা ওপারে। কিন্তু তখন স্রোত নৌকাকে ভাটিতে ভাসায়। ঠিক সামনে নামতে মুখ উজানে হেলাতে হয়, ফলে ওপারমুখী বেগ কমে এবং সময় বাড়ে।

স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে কি সোজা ওপারে নামা যায়?

না। ঠিক সামনে নামার শর্ত sinφ = u ÷ v, আর u ≥ v হলে ডান পাশ ১ বা তার বেশি হয়, যা সম্ভব নয়। তখন কম ভাটিতে ভাসার জন্য সবচেয়ে ভালো মুখ খুঁজতে হয়, কিন্তু শূন্য সরণ মিলবে না।

আপেক্ষিক বেগ কী?

একটি বস্তুকে অন্য একটি চলমান বস্তু থেকে দেখলে যে বেগ মনে হয়, সেটাই আপেক্ষিক বেগ। নিয়ম: যাকে দেখছ তার বেগ থেকে যে দেখছে তার বেগ ভেক্টর হিসেবে বিয়োগ করো। হাঁটতে থাকা মানুষের চোখে খাড়া বৃষ্টিও তির্যক দেখায় এই কারণে।

ছাতা কোন কোণে ধরলে ভিজব না?

যে দিক থেকে বৃষ্টি আসছে সে দিকে। উল্লম্ব থেকে সামনের দিকে θ কোণে, যেখানে tan θ = ব্যক্তির বেগ ÷ বৃষ্টির বেগ। দাঁড়িয়ে থাকলে θ = ০°, মানে সোজা ছাতা। যত জোরে হাঁটবে, তত বেশি কাত করতে হবে।

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

গণিত

দুটি তির যোগ করলে কী পাই? লব্ধির খেলা

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

নৌকা কেন সোজা যায় না?

একদম শুরু থেকে: স্কেলার আর ভেক্টর

যে শব্দগুলো জানতেই হবে

ত্রিভুজ সূত্র: তিরের মাথায় তিরের লেজ

সামান্তরিক সূত্র: দুই লেজ এক জায়গায়

লব্ধির মান ও দিক বের করার সূত্র

কোণ বদলালে লব্ধি কীভাবে বদলায়

উপাংশ: একটা ভেক্টরকে ভেঙে দুই ভাগ

নদীতে নৌকা: দুটি বেগ একসঙ্গে

বৃষ্টি আর ছাতা: আপেক্ষিক বেগ

সিমুলেশনে হাতে-কলমে পরীক্ষা

সমাধান করা অঙ্ক

অঙ্ক ১: ৩ N আর ৪ N সমকোণে

অঙ্ক ২: ১০ N আর ৬ N ৬০° কোণে

অঙ্ক ৩: সমান দুই বল ১২০° কোণে

অঙ্ক ৪: ঢালু রশিতে টান

অঙ্ক ৫: নদী পার হওয়া

অঙ্ক ৬: হাঁটার সময় ছাতা

অঙ্ক ৭: উল্টো পথের অঙ্ক

যে ভুলগুলোতে নম্বর কাটা যায়

চারপাশের জীবনে ভেক্টর যোগ

পরীক্ষার কোণ: SSC ও HSC

নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন

উত্তর লেখার কৌশল

দ্রুত রিভিশন

সচরাচর জিজ্ঞাসা

ভেক্টর যোগ করলে মান যোগ হয় না কেন?

ত্রিভুজ সূত্র আর সামান্তরিক সূত্রে ফল কি আলাদা?

লব্ধি কখন শূন্য হয়?

নদী পার হতে কম সময় আর কম দূরত্বের উত্তর আলাদা কেন?

স্রোত নৌকার চেয়ে জোরে হলে কি সোজা ওপারে নামা যায়?

আপেক্ষিক বেগ কী?

ছাতা কোন কোণে ধরলে ভিজব না?

এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা

এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান বই

জাবি গাণিতিক ও পদার্থবিষয়ক অনুষদ ভর্তি

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি

ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি

ঢাবি বিজ্ঞান ইউনিট ভর্তি ২০২৬-২৭

Composition: The Uses of Electricity (ইংরেজিতে)

প্রতিবেদন: বিজ্ঞান মেলা

Paragraph: Science in Everyday Life (ইংরেজিতে)

এসএসসি সাজেশন

এইচএসসি সাজেশন

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড

এসএসসি সিলেবাস

এইচএসসি সিলেবাস

জার্মানিতে উচ্চশিক্ষা

Digital SAT Math guide (ইংরেজিতে)

বিদেশে পড়াশোনার স্কলারশিপ

IELTS vocabulary: science and research (ইংরেজিতে)

GPA calculator (ইংরেজিতে)

Civil engineer resume example (ইংরেজিতে)

আরও পদার্থবিজ্ঞান অ্যানিমেশন

আলোর প্রতিসরণ

ওহমের সূত্র

প্রাসের গতি

সরল দোলক

তড়িৎ ক্ষেত্র

তরঙ্গের ব্যতিচার

পড়ন্ত বস্তু ও পড়ন্ত বস্তুর সূত্র

লেন্সে প্রতিবিম্ব গঠন

নিউটনের গতির সূত্র

গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠন

তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ ও ফ্যারাডের সূত্র

ভরবেগের সংরক্ষণ ও সংঘর্ষ

কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি

নততল

বৃত্তাকার গতি

অনুপ্রস্থ ও অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গ

লিভার ও ভ্রামক

ভরকেন্দ্র

স্প্রিং-ভর ও সরল ছন্দিত স্পন্দন

আপেক্ষিক বেগ: ট্রেন ও নদী পারাপার

কেপলারের সূত্র ও উপবৃত্তাকার কক্ষপথ

নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র, g ও কৃত্রিম উপগ্রহ

তার ও নলে স্থির তরঙ্গ