স্প্রিংয়ে ঝোলানো ভর দুলে কেন, কত তাড়াতাড়ি?

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. শুরুতেই ডিফল্ট দেখো: ১ kg ভর, ২৫ N/m স্প্রিং, ০.২০ m বিস্তার। পর্যায়কাল দেখাচ্ছে ১.২৫৭ s। স্টপওয়াচে এক দোলনের সময় মেপে মিলিয়ে নাও।
2. ভর স্লাইডারটি বাড়াও। ব্লক ভারী হলে দোলন ধীর হয়, পর্যায়কাল বাড়ে। এবার স্প্রিং ধ্রুবক বাড়াও, দোলন দ্রুত হবে।
3. বিস্তার বদলাও। দেখবে বিস্তার দ্বিগুণ করলে সর্বোচ্চ দ্রুতি দ্বিগুণ হয়, কিন্তু পর্যায়কাল একটুও পাল্টায় না।
4. “x–t লেখ” আর “দশা লেখ” একসঙ্গে দেখো। অবমন্দন শূন্য থাকলে দশা লেখে একটি বদ্ধ উপবৃত্ত তৈরি হয়, অবমন্দন বাড়ালে সেটা কেন্দ্রের দিকে পাক খেয়ে ঢোকে।
5. নিচের শক্তি-বারগুলো দেখো: গতিশক্তি কমলে স্থিতিশক্তি বাড়ে, মোট শক্তি স্থির।
6. সংযোগ বদলে “শ্রেণি” আর “সমান্তরাল” বেছে নাও। কার্যকর স্প্রিং ধ্রুবকের মান আর পর্যায়কাল কীভাবে পাল্টায় লক্ষ করো।

কলমের স্প্রিংটা আসলে একটা ঘড়ি

বলপয়েন্ট কলমের ভেতরের ছোট্ট স্প্রিংটা কখনো চেপে ছেড়ে দিয়েছ? সে লাফিয়ে ওঠে, নিচে নামে, আবার ওঠে। ঠিক একই তালে, একই ছন্দে। কেউ ঘড়ি ধরে বসে না, তবু প্রতিটা দোলনের সময় প্রায় সমান। স্প্রিংয়ের ভেতরে যেন একটা লুকোনো ঘড়ি বসানো।

এই ঘড়ির টিকটিক নির্ভর করে মাত্র দুটো জিনিসের ওপর: ভর কত, আর স্প্রিং কত শক্ত। ভারী ব্লক আলসে, ধীরে দোলে। শক্ত স্প্রিং ঝটকা দেয়, তাড়াতাড়ি দোলে। আর মজার কথা, তুমি স্প্রিংকে কতটা টানলে তার ওপর সময় নির্ভর করে না। কম টানো বা বেশি, দোলনের সময় একই।

এই পাঠে আমরা সেই লুকোনো ঘড়ির নিয়মটা বের করব। নাম তার সরল ছন্দিত স্পন্দন। গাড়ির শক-অ্যাবজর্বার, ঘড়ির পেন্ডুলাম, গিটারের তার, এমনকি পরমাণুর কম্পন, সবই এই একই গণিতে চলে।

একদম শুরু থেকে: দোলন মানে কী

ঘরের দেয়ালঘড়ির দোলক, দোলনায় বসা ছোট ভাই, বাতাসে নড়া গাছের ডাল, সবাই একটা নির্দিষ্ট জায়গার দুই পাশে বারবার যাওয়া-আসা করে। ওই নির্দিষ্ট জায়গাকে বলে সাম্যাবস্থা। বস্তুটি চুপচাপ ছেড়ে দিলে যেখানে থিতু হয়, সেটাই সাম্যাবস্থা।

সাম্যাবস্থা থেকে সরালে একটা বল বস্তুটিকে আবার সেদিকে টেনে আনে। এই বলের নাম পুনঃস্থাপক বল। স্প্রিংয়ে টান দিলে সে ফিরতে চায়, চাপ দিলেও ফিরতে চায়। কিন্তু ফেরার সময় বস্তুটি সাম্যাবস্থায় থামে না। তার গতি আছে, জাড্য আছে, তাই সে ওপারে চলে যায়। ওপারে গিয়ে আবার পুনঃস্থাপক বল তাকে ফেরত টানে। এভাবেই চলতে থাকে।

দোলনের সবচেয়ে দরকারি চারটি মাপ আছে: সাম্য থেকে সরণ x, সর্বোচ্চ সরণ বা বিস্তার A, এক পূর্ণ দোলনের সময় পর্যায়কাল T, আর প্রতি সেকেন্ডে কয়টি দোলন হলো তা কম্পাঙ্ক f। এদের সম্পর্ক সোজা: f = 1/T। পর্যায়কাল ০.৫ s হলে কম্পাঙ্ক ২ Hz।

যে শব্দগুলো জানতেই হবে

এই অধ্যায়ের প্রশ্নে শব্দগুলোই বারবার ঘুরে ফিরে আসে। অর্থ আর একক একসঙ্গে মুখস্থ রাখো।

হুকের সূত্র: স্প্রিং কত জোরে টানে

স্প্রিং ধরে আস্তে টানলে সে একটু বাড়ে, জোরে টানলে অনেকটা। রবার্ট হুক দেখলেন, ছোট টানের মধ্যে সরণ আর বলের মধ্যে সোজা অনুপাত। দ্বিগুণ বল দিলে প্রসারণও দ্বিগুণ। এটাই হুকের সূত্র।

স্প্রিং যে বল ফিরিয়ে দেয়, তা সরণের উল্টো দিকে। ডান দিকে টানলে স্প্রিং বাঁ দিকে টানে। তাই সূত্রে একটা ঋণাত্মক চিহ্ন থাকে। k হলো স্প্রিং ধ্রুবক। বড় k মানে শক্ত স্প্রিং, ছোট k মানে নরম স্প্রিং।

একটি স্প্রিংকে ০.০৮ m টানতে ১২ N লাগলে তার ধ্রুবক k = ১২ ÷ ০.০৮ = ১৫০ N/m। এর মানে প্রতি এক মিটার টানের জন্য ১৫০ N বল লাগত, যদিও আমরা সবসময় ছোট প্রসারণেই কাজ করি।

সীমাও মনে রাখো। বেশি টানলে স্প্রিং আর আগের আকারে ফেরে না, হুকের সূত্র তখন খাটে না। এই সূত্র শুধু স্থিতিস্থাপক সীমার ভেতরে সত্যি।

কেন এটা সরল ছন্দিত স্পন্দন

বল জানলে ত্বরণ জানা যায়। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র বলে F = ma। এখানে বল −kx, তাই ma = −kx, অর্থাৎ a = −(k/m)x। দেখো কী চমৎকার: ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক এবং সরণের উল্টো দিকে। এই শর্তটাই সরল ছন্দিত স্পন্দনের সংজ্ঞা।

k/m একটা ধনাত্মক ধ্রুবক। তাকে ω² নাম দিলে সূত্রটা সুন্দর হয়: a = −ω²x। এই ω-ই কৌণিক কম্পাঙ্ক। এখান থেকে ω = √(k/m)।

ত্বরণ যদি সরণের সমানুপাতিক না হতো, যেমন শুধু x² এর সমানুপাতিক, তবে দোলন চলত ঠিকই, কিন্তু সেটা সরল ছন্দিত হতো না। সুন্দর সাইন বা কোসাইন তরঙ্গ পেতে হলে ত্বরণকে হতে হবে ঠিক −ω²x।

পর্যায়কাল কীসের ওপর নির্ভর করে

ω = 2π/T, তাই T = 2π/ω। ω বসালে পাই T = 2π√(m/k)। এই সূত্রে তিনটি কথা লুকিয়ে আছে। এক: ভর বাড়লে T বাড়ে, বর্গমূল অনুযায়ী। দুই: k বাড়লে T কমে। তিন: সূত্রে A নেই, অর্থাৎ বিস্তারের সঙ্গে পর্যায়কাল পাল্টায় না।

চার গুণ ভর নিলে পর্যায়কাল দ্বিগুণ হয়। ডিফল্টে ১ kg ও ২৫ N/m নিয়ে T = ১.২৫৭ s। ভর চার গুণ করলে T হয় আগের ২.০ গুণ। আবার k চার গুণ করলে T হয় আগের ০.৫ গুণ, অর্থাৎ অর্ধেক। এই বর্গমূলের হিসাব মনে না থাকলে পরীক্ষায় ভুল হবেই।

নিচের সারণির প্রতিটি সংখ্যা সূত্র ধরে কোডে হিসাব করা। প্রতিটি ঘর সিমুলেশনে বসিয়ে মিলিয়ে দেখো।

আরেকটা অবাক করা তথ্য: এই T অভিকর্ষ g-এর ওপর নির্ভর করে না। তাই চাঁদে নিয়ে গেলেও ঝোলানো স্প্রিংয়ের পর্যায়কাল একই থাকবে। পেন্ডুলামের ঘড়ি কিন্তু চাঁদে আলাদা চলত।

এক দোলনের গল্প: সরণ, বেগ ও ত্বরণ

ব্লককে ০.২০ m টেনে ছেড়ে দিলে সে সাম্যবিন্দুর দিকে ছুটতে থাকে। শুরুতে বেগ শূন্য, কিন্তু বল সবচেয়ে বেশি, তাই ত্বরণও সবচেয়ে বেশি। যত এগোয়, বল কমে, কিন্তু বেগ বাড়ে। সাম্যবিন্দুতে বল শূন্য, ত্বরণ শূন্য, কিন্তু বেগ সর্বোচ্চ। এরপর ওপারে গিয়ে ব্লক ধীর হয়, আবার থেমে ফিরে আসে।

গাণিতিকভাবে সরণ একটি কোসাইন তরঙ্গ। যেহেতু আমরা ব্লককে প্রান্ত থেকে ছাড়ছি, সূচনা দশা φ = 0। বেগ হলো সরণের পরিবর্তনের হার, ত্বরণ বেগের পরিবর্তনের হার। তাই বেগের লেখ কোসাইনের বদলে সাইন, আর ত্বরণ সরণের উল্টো।

ফেজ বা দশা আসলে বলে দেয় দোলনের কোন ধাপে আছি। ωt + φ কোণটাই দশা। বেগ সরণের চেয়ে এক-চতুর্থাংশ দোলন এগিয়ে থাকে, অর্থাৎ π/2 কোণ। সরণ শিখরে পৌঁছলে বেগ শূন্য, সরণ শূন্য হলে বেগ শিখরে।

নিচের সারণি ডিফল্ট সেটিংয়ের (১ kg, ২৫ N/m, ০.২০ m) চারটি অবস্থান দেখায়। ω = ৫.০০ rad/s, সর্বোচ্চ দ্রুতি Aω = ১.০০ m/s, সর্বোচ্চ ত্বরণ Aω² = ৫.০০ m/s²।

শক্তির লেনদেন: গতি আর স্থিতি

স্প্রিং টানা অবস্থায় শক্তি জমিয়ে রাখে, নাম স্থিতিশক্তি। ব্লক ছুটলে সেই শক্তি গতিশক্তিতে বদলায়। সাম্যবিন্দুতে স্থিতিশক্তি শূন্য, গতিশক্তি সর্বোচ্চ। প্রান্তে ঠিক উল্টো। মোট শক্তি স্থির থাকে, কারণ ঘর্ষণ ও বায়ুর বাধা ধরছি না।

ডিফল্ট সেটিংয়ে মোট শক্তি ½ × ২৫ × ০.২০² = ০.৫০০ J। সিমুলেশনের নিচের বারগুলোতে দেখো, লাল আর সবুজ বার একটা বাড়লে আরেকটা কমে, কিন্তু কালো মোট বারের দৈর্ঘ্য একই।

দুটো প্রশ্নের উত্তর এখান থেকেই বেরোয়। শক্তি বিস্তারের বর্গের সমানুপাতিক, তাই বিস্তার দ্বিগুণ করলে শক্তি চার গুণ। আর কোনো অবস্থানে গতিশক্তি = মোট শক্তি − স্থিতিশক্তি, তাই বেগ বের করতে সরণের সূত্র লাগে না।

দুই স্প্রিং জুড়লে: শ্রেণি ও সমান্তরাল

এক স্প্রিংয়ে না কুলালে আমরা দুটো জুড়ি। দুটো উপায়ে জোড়া যায়। শ্রেণি সংযোগে স্প্রিংদুটো একটার পর একটা লাগানো, একই বল দুটোর ভেতর দিয়ে যায়, প্রসারণ যোগ হয়। ফলে ব্যবস্থা নরম হয়ে যায়। সমান্তরাল সংযোগে দুটো পাশাপাশি, প্রসারণ একই, বল ভাগ হয়ে যায়। ফলে ব্যবস্থা শক্ত হয়।

দুই ক্ষেত্রেই ব্লক এমনভাবে দোলে, যেন একটি মাত্র স্প্রিং আছে, যার ধ্রুবক কার্যকর k। তারপর T = 2π√(m/k) সূত্র আগের মতোই খাটে। সিমুলেশনে সংযোগ বদলে দেখো, পরিমাপ প্যানেলের “কার্যকর স্প্রিং ধ্রুবক” পাল্টে যায়।

ভুল করার একটা বিখ্যাত ফাঁদ আছে। বিদ্যুতের রোধের ক্ষেত্রে শ্রেণিতে যোগ হয়, সমান্তরালে ব্যস্তানুপাতিক। স্প্রিং ধ্রুবকের বেলায় ঠিক উল্টো: সমান্তরালে সরাসরি যোগ, শ্রেণিতে উল্টোগুলো যোগ। প্রসারণ কোথায় যোগ হচ্ছে, সেটা ভাবলেই ভুল হবে না।

ঝোলানো স্প্রিং: অভিকর্ষ কোথায় গেল

স্প্রিং উল্লম্বভাবে ঝোলালে ব্লকের ওজন mg তাকে নিচে টানে। ব্লক থিতু হয় সেখানে, যেখানে স্প্রিংয়ের ঊর্ধ্বমুখী বল ওজনের সমান। অর্থাৎ kΔl = mg, প্রসারণ Δl = mg/k। এটাই নতুন সাম্যাবস্থা।

এখন সাম্যাবস্থা থেকে x নিচে টানলে মোট বল হয় −k(Δl + x) + mg = −kx। mg আর kΔl কাটাকাটি হয়ে যায়। দেখো, অভিকর্ষ উধাও। তাই ঝোলানো স্প্রিংও ঠিক সেই একই সরল ছন্দিত স্পন্দন করে, একই T = 2π√(m/k) সূত্রে।

এই ফল থেকে একটা কাজের সূত্র মেলে: T = 2π√(Δl/g)। স্প্রিং ধ্রুবক না জেনেও শুধু প্রসারণ মেপে পর্যায়কাল বের করা যায়। সিমুলেশনে উল্লম্ব বেছে নিলে “সাম্যে প্রসারণ” রিডআউট এই mg/k দেখাবে।

অবমন্দন: দোলন থামে কেন

আসল জগতে দোলন চিরকাল চলে না। বাতাসের বাধা আর স্প্রিংয়ের ভেতরের ঘর্ষণ ধীরে ধীরে শক্তি শুষে নেয়। বিস্তার প্রতিটি দোলনে একটু একটু কমে। একে বলে অবমন্দিত স্পন্দন।

সিমুলেশনে অবমন্দন c ঢুকিয়ে দেখো। দশা লেখের উপবৃত্ত তখন ভেতরের দিকে পাক খেয়ে কেন্দ্রে মিলিয়ে যায়, কারণ বেগ ও সরণ দুটোই কমছে। ১ kg ভর আর c = ০.৫ N·s/m নিলে বিস্তার অর্ধেক হতে সময় লাগে ২.৭৭ s।

অবমন্দন কম হলে পর্যায়কাল প্রায় আগের মতোই থাকে, শুধু বিস্তার কমে। খুব বেশি হলে ব্লক আর দোলেই না, ধীরে ধীরে এসে সাম্যবিন্দুতে বসে যায়। গাড়ির শক-অ্যাবজর্বার ঠিক এই কাজই করে।

সিমুলেশনে হাতে-কলমে পরীক্ষা

প্রতিটি পরীক্ষা এক মিনিটের। ডিফল্ট থেকে শুরু করো, আর “আবার শুরু” চেপে যখন ইচ্ছা ফিরে এসো।

• পরীক্ষা ১: ভর চার গুণ করো। T কত গুণ হলো লিখে রাখো, তারপর ওপরের সারণির সঙ্গে মিলিয়ে দেখো।
• পরীক্ষা ২: বিস্তার ০.০৫ m থেকে ০.৩০ m পর্যন্ত নাড়াও। শুধু সর্বোচ্চ দ্রুতি আর ত্বরণ পাল্টায়, T একই থাকে কি না নিশ্চিত হও।
• পরীক্ষা ৩: গতি ০.২৫× করে ব্লক সাম্যবিন্দু পার হওয়ার মুহূর্তে থামাও। শক্তির কোন বার সর্বোচ্চ?
• পরীক্ষা ৪: “শ্রেণি” বেছে k₁ ও k₂ সমান রাখো। কার্যকর k কি অর্ধেক? এবার “সমান্তরাল” করে দেখো দ্বিগুণ।
• পরীক্ষা ৫: উল্লম্ব বেছে নিয়ে ভর বাড়াও। প্রসারণ বাড়ছে, কিন্তু T-এর সূত্র একই কেন, নিজের কথায় লেখো।
• পরীক্ষা ৬: অবমন্দন ধীরে ধীরে বাড়িয়ে দশা লেখের আকার লক্ষ করো। কখন দোলন প্রায় বন্ধ হয়ে যায়?

সমাধান করা অঙ্ক

ছয়টি অঙ্ক, ধাপে ধাপে। সংখ্যাগুলো কোডে হিসাব করা, সিমুলেশনে বসিয়ে মিলিয়ে নিতে পারো।

যে ভুলগুলো সবাই করে

এই ভুলগুলো থেকে সাবধান থাকলে অর্ধেক নম্বর বাঁচে।

• বিস্তার বাড়ালে পর্যায়কালও বাড়ে ভাবা। সরল ছন্দিত স্পন্দনে T বিস্তারের ওপর নির্ভর করে না।
• ভরের একক গ্রামে রেখে হিসাব করা। m অবশ্যই kg-তে নাও, নইলে T ভুল বেরোবে।
• T = 2π√(k/m) লিখে ফেলা। ভর উপরে থাকে, k নিচে: √(m/k)।
• শ্রেণি সংযোগে k যোগ করে ফেলা। শ্রেণিতে উল্টোগুলো যোগ হয়, সমান্তরালে সরাসরি।
• ঝোলানো স্প্রিংয়ে অভিকর্ষকে আলাদা বল ধরে T বদলে ফেলা। সাম্যাবস্থা থেকে মাপলে g বেরিয়ে যায়।
• সাম্যবিন্দুতে ত্বরণ সর্বোচ্চ ভাবা। সেখানে ত্বরণ শূন্য, বেগ সর্বোচ্চ।
• শক্তির বদলে বলের হিসাব এক করে ফেলা। বল −kx, স্থিতিশক্তি ½kx², দুটো আলাদা জিনিস।

বাস্তব জীবনে কোথায় কোথায়

সরল ছন্দিত স্পন্দনের ধারণা আশপাশের সবখানে কাজ করছে।

• গাড়ি ও মোটরসাইকেলের সাসপেনশন: স্প্রিং ঝাঁকুনি শুষে নেয়, শক-অ্যাবজর্বার অবমন্দন জোগায়।
• যান্ত্রিক ঘড়ি: ব্যালান্স হুইল আর স্প্রিংয়ের জুটি নির্দিষ্ট ছন্দে টিকটিক করে।
• স্প্রিং নিক্তি: প্রসারণ মেপে ওজন বের করা হয়, কারণ F = kx।
• ইমারত ও সেতু: ভূমিকম্পে বা বাতাসে কাঁপে, প্রকৌশলীরা তার স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক হিসাব করেন।
• গিটারের তার ও সুরশলাকা: সূক্ষ্ম সরল ছন্দিত কম্পনে নির্দিষ্ট সুর বাজে।
• অণুর বন্ধন: দুই পরমাণুর মধ্যকার বন্ধন প্রায় স্প্রিংয়ের মতো কাঁপে, তা থেকেই ইনফ্রারেড বর্ণালি আসে।

পরীক্ষার কর্নার: সৃজনশীল প্রশ্ন (SSC/HSC)

উদ্দীপক: একটি স্প্রিংয়ের নিচে ০.৪ kg ভর ঝোলানো আছে। স্প্রিং ধ্রুবক ১০০ N/m। ভরকে সাম্যাবস্থা থেকে ০.০৫ m নিচে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো।

ক. সরল ছন্দিত স্পন্দন কাকে বলে? (জ্ঞানমূলক, ১ নম্বর)

খ. স্প্রিংয়ের পর্যায়কাল বিস্তারের ওপর নির্ভর করে না কেন? (অনুধাবন, ২ নম্বর)। ইঙ্গিত: ত্বরণ −ω²x, ω-তে A নেই।

গ. ভরটির পর্যায়কাল নির্ণয় করো। (প্রয়োগ, ৩ নম্বর)। উত্তর: T = 2π√(০.৪ ÷ ১০০) = ০.৩৯৭ s। কৌণিক কম্পাঙ্ক ১৫.৮১ rad/s।

ঘ. ভরটির সর্বোচ্চ দ্রুতি ও মোট শক্তি বিশ্লেষণ করো এবং সাম্যবিন্দুতে সব শক্তি কোন রূপে থাকে বুঝিয়ে লেখো। (উচ্চতর দক্ষতা, ৪ নম্বর)। উত্তর: Aω = ০.৭৯১ m/s, E = ½kA² = ০.১২৫ J। সাম্যবিন্দুতে স্থিতিশক্তি শূন্য, পুরো ০.১২৫ J-ই গতিশক্তি।

বাড়তি: সর্বোচ্চ বল kA = ৫.০ N, সর্বোচ্চ ত্বরণ Aω² = ১২.৫০ m/s²।

এক নজরে পুনরালোচনা

পরীক্ষার আগের রাতে এই তালিকা একবার পড়ে নিলেই চলবে।

• হুকের সূত্র: F = −kx, ছোট প্রসারণে সত্যি।
• সরল ছন্দিত স্পন্দনে ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক, বিপরীতমুখী: a = −ω²x।
• ω = √(k/m), T = 2π√(m/k), f = 1/T।
• পর্যায়কাল বিস্তারের ওপর নির্ভর করে না।
• সর্বোচ্চ দ্রুতি Aω সাম্যবিন্দুতে, সর্বোচ্চ ত্বরণ Aω² প্রান্তে।
• মোট শক্তি E = ½kA², গতি ও স্থিতিশক্তি পালা করে বদলায়।
• শ্রেণিতে 1/k = 1/k₁ + 1/k₂, সমান্তরালে k = k₁ + k₂।
• ঝোলানো স্প্রিংয়ে T = 2π√(Δl/g)।
• অবমন্দনে বিস্তার ঘাতকীয় হারে কমে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা