শাঙ্কব ছেদ: একটা শঙ্কু, চারটা বক্ররেখা, আর সিদ্ধান্ত নেয় শুধু একটা ঢাল

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. বাঁ দিকে দেখো ত্রিমাত্রিক দ্বিশঙ্কু, তার মধ্য দিয়ে একটা স্বচ্ছ তল গেছে, আর যেখানে কেটেছে সেখানে উজ্জ্বল কমলা বক্ররেখা। বাঁ অংশে টেনে শঙ্কুটা ঘোরাতে পারো, অথবা চালু করলে নিজে নিজেই ঘুরবে। ডান দিকে একই কমলা বক্ররেখা সমতলে আঁকা হয়েছে।
2. “কোন বক্ররেখা চাও” দিয়ে সোজা চলে যাও। বৃত্ত বাটনে ঢাল ০°, উপবৃত্তে ৩০°, পরাবৃত্তে ৪৫°, অধিবৃত্তে ৬৫°। শুরুতে ঢাল ৩০°, তাই ছেদটা উপবৃত্ত।
3. “তলের ঢাল” স্লাইডার ধীরে ধীরে ০° থেকে ৮০°-তে টানো। দেখবে বৃত্ত লম্বা হয়ে উপবৃত্ত হচ্ছে, আরও লম্বা হচ্ছে, তারপর ঠিক ৪৫°-এ এসে পরাবৃত্ত। ওই কোণে তল শঙ্কুর গায়ের সমান্তরাল। ৪৫° পেরোলে একটা বক্ররেখা ভেঙে দুই শাখা: অধিবৃত্ত।
4. উৎকেন্দ্রিকতা e দেখো (ডান অংশের নিচে আর পরিমাপে)। ৩০°-এ এর মান ০.৭০৭। ঢাল বাড়ালে e বাড়ে: বৃত্তে ০, পরাবৃত্তে ১, অধিবৃত্তে ১-এর বেশি।
5. “অক্ষের কোন উচ্চতায় কাটা” নাড়াও। তল অক্ষ বরাবর ওপরে-নিচে সরে। বক্ররেখা বড় বা ছোট হয়, কিন্তু আকৃতি আর e বদলায় না, কারণ আকৃতি ঠিক করে শুধু ঢাল।
6. “আদর্শ সমীকরণ” পরিমাপটা দেখো। শুরুর অবস্থানে সেখানে x²/৩.০০ + y²/১.৫০ = ১ লেখা, আর ফোকাস F, F′ কেন্দ্র থেকে ১.২২৫ একক দূরে।

অন্ধকার ঘরে টর্চের আলো

অন্ধকার ঘরে টর্চ জ্বালিয়ে দেয়ালের দিকে সোজা ধরো। আলোর দাগটা গোল, মানে বৃত্ত। এবার টর্চটা একটু ওপরে কাত করো। গোল দাগ লম্বা হয়ে ডিমের মতো হবে। আরও কাত করলে ডিমটা ছাদের দিকে ছুটে গিয়ে খোলা, U-আকৃতির কিনারা হয়ে যাবে। আরও কাত করলে আলোর সীমানা দুই আলাদা শাখার বক্ররেখা, যার এক শাখা দেয়ালে, আরেকটা তোমার পেছনে (কল্পনা করো আলোর শঙ্কু টর্চের পেছন দিকেও গেছে)।

টর্চের আলোর আকার একটা শঙ্কু, আর দেয়াল হলো তাকে কাটা তল। দাগের কিনারাই শাঙ্কব ছেদ। প্রায় দুই হাজার বছর আগে মেনাইকমাস আর অ্যাপোলোনিয়াসের মতো গ্রিক গণিতবিদরা এই বক্ররেখা নিয়ে কাজ করেছিলেন, তখনো কেউ জানত না গ্রহেরা এই পথেই চলে। এই পাতায় তুমি স্লাইডার দিয়েই টর্চের পরীক্ষাটা করতে পারবে।

শঙ্কু কাটা: একটা ঢাল, চারটা বক্ররেখা

সিমুলেশনের শঙ্কুর অর্ধশীর্ষকোণ ৪৫°, মানে তার গা ভূমির সঙ্গে ৪৫° কোণ করে। কাটার তলটা অনুভূমিক থেকে θ কোণে কাত করা। নিয়মটা ছোট।

• θ = ০°, তল অক্ষের ওপর লম্ব: বৃত্ত।
• ০° < θ < ৪৫°, শঙ্কুর গায়ের চেয়ে চ্যাপ্টা: উপবৃত্ত।
• θ = ৪৫°, শঙ্কুর গায়ের সমান্তরাল: পরাবৃত্ত (একটাই খোলা শাখা)।
• θ > ৪৫°, শঙ্কুর গায়ের চেয়ে খাড়া: অধিবৃত্ত (দুই শাখা, শঙ্কুর দুই অর্ধে একটা করে)।

উৎকেন্দ্রিকতা: বক্ররেখা কতটা টানা?

শঙ্কু ছাড়াও শাঙ্কব ছেদের সংজ্ঞা দেওয়া যায়। একটা বিন্দু F (ফোকাস) আর একটা সরলরেখা d (নিয়ামক রেখা) নাও। কোনো বিন্দু P বক্ররেখার ওপর থাকবে যখন F থেকে তার দূরত্ব, d থেকে দূরত্বের একটা নির্দিষ্ট গুণ e: PF = e × Pd। এই e-ই উৎকেন্দ্রিকতা।

উৎকেন্দ্রিকতাকে ভাবো “টানার মাপ” হিসেবে। বৃত্তে e = ০, একদম গোল। e যত ১-এর দিকে বাড়ে, উপবৃত্ত ততই লম্বা আর সরু। ঠিক ১-এ সেটা খুলে পরাবৃত্ত। ১-এর বেশি হলে ভেঙে অধিবৃত্তের দুই বাহু, আর e যত বড়, বাহু তত চ্যাপ্টা।

বৃত্ত: সবচেয়ে সহজ শাঙ্কব ছেদ

বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে একই দূরত্ব r-এ। কেন্দ্র মূলবিন্দুতে হলে আদর্শ সমীকরণ x² + y² = r²। এখানে দুই ফোকাস মিশে কেন্দ্রে এসে গেছে, তাই উৎকেন্দ্রিকতা শূন্য।

সিমুলেশনে ঢাল ০° করলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ হয় তল যে উচ্চতা c-তে অক্ষকে কাটে সেটাই। এটা স্বাভাবিক: x² + y² = z² শঙ্কুর যেকোনো উচ্চতায় ব্যাসার্ধ আর উচ্চতা সমান।

উপবৃত্ত: দুই ফোকাসের টানা বৃত্ত

উপবৃত্ত হলো সেইসব বিন্দুর সেট, যাদের দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু (ফোকাস F আর F′) থেকে দূরত্বের যোগফল ধ্রুব, ২a। লম্বা দিকের অর্ধেক a হলো অর্ধ-মুখ্য অক্ষ, ছোট দিকের অর্ধেক b হলো অর্ধ-গৌণ অক্ষ। ফোকাস দুটো লম্বা অক্ষে কেন্দ্র থেকে c দূরত্বে, যেখানে c² = a² − b²। উৎকেন্দ্রিকতা e = c ÷ a।

সিমুলেশন শুরুর অবস্থানে (ঢাল ৩০°, c = ১.০) ছেদটা উপবৃত্ত, যার a² = ৩.০০ আর b² = ১.৫০। তাই c² = ৩.০০ − ১.৫০, ফোকাস কেন্দ্র থেকে ১.২২৫ দূরে, আর e = ১.২২৫ ÷ ১.৭৩২ = ০.৭০৭, যা √২ · sin ৩০°-এর সঙ্গে মেলে।

পরাবৃত্ত: যে বক্ররেখা কখনো বন্ধ হয় না

পরাবৃত্ত হলো সেইসব বিন্দুর সেট, যারা একটা ফোকাস F আর একটা সরলরেখা (নিয়ামক রেখা) থেকে সমান দূরে। শীর্ষ মূলবিন্দুতে আর বক্ররেখা ডান দিকে খোলা হলে F = (a, ০), নিয়ামক রেখা x = −a, সমীকরণ y² = ৪ax। এখানে a (অনেকে p লেখে) হলো ফোকাস-দূরত্ব। সিমুলেশনে নিয়ামক রেখা লাল ড্যাশে আঁকা আর পরিমাপে p দেখানো হয়।

পরাবৃত্তের দ্বিতীয় ফোকাস নেই, কেন্দ্রও নেই, তাই a আর b-এর ঘরে “নেই” লেখা ঠিকই আছে। এর উৎকেন্দ্রিকতা ঠিক ১। একটা বিশেষ ঢাল (এখানে ৪৫°) ঠিক এই কারণেই বিশেষ: সে বন্ধ হওয়া বক্ররেখা আর না-হওয়া বক্ররেখার সীমারেখা।

অধিবৃত্ত: দুই শাখা আর দুই অনন্তস্পর্শক

অধিবৃত্ত হলো সেইসব বিন্দুর সেট, যাদের দুই ফোকাস থেকে দূরত্বের পার্থক্য ধ্রুব, ২a। এর দুটো আলাদা শাখা। কেন্দ্র থেকে অনেক দূরে প্রতিটি শাখা y = ±(b/a)x রেখা দুটোর দিকে সোজা হয়ে যায়; এদের অসীমতট বা অনন্তস্পর্শক বলে। ফোকাস শীর্ষের চেয়ে কেন্দ্র থেকে দূরে: c² = a² + b², তাই e = c ÷ a সবসময় ১-এর বেশি।

প্রিসেট চেপে দেখো। ৬৫° ঢালে (c = ১) পরিমাপে দেখাবে a = ০.৬৫৭, b = ০.৫২৭, e = ১.২৮২। ত্রিমাত্রিক ছবিতে দেখা যায় দুই শাখা কেন: একটা শঙ্কুর ওপরের অর্ধে, আরেকটা নিচের অর্ধে।

সমীকরণ দেখে বক্ররেখার নাম বলো

পরীক্ষায় অনেক সময় সমীকরণ দিয়ে জানতে চায় এটা কোন শাঙ্কব ছেদ। আগে বর্গগুলো দেখো। x আর y দুটোরই বর্গ, চিহ্ন একই, সহগও সমান হলে ভাবো বৃত্ত। চিহ্ন একই কিন্তু সহগ আলাদা হলে উপবৃত্ত। চিহ্ন উল্টো হলে অধিবৃত্ত। শুধু একটার বর্গ থাকলে পরাবৃত্ত।

সাধারণ সমীকরণ Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = ০-এর জন্য B² − 4AC একধাপেই বলে দেয়: ঋণাত্মক হলে উপবৃত্ত (A = C আর B = ০ হলে বৃত্ত), শূন্য হলে পরাবৃত্ত, ধনাত্মক হলে অধিবৃত্ত।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

পাঁচটা ছোট পরীক্ষা। প্রতিটায় এক মিনিটও লাগবে না।

• ঢাল ০° থেকে ধীরে ৪৪°-এ তোলো। e শূন্য থেকে বাড়ছে, উপবৃত্ত লম্বা হচ্ছে। ৪৪° আর ৪৫° পর পর দেখো: উপবৃত্ত এত লম্বা যে শঙ্কু ছেড়ে প্রায় বেরিয়ে যাচ্ছে।
• পরাবৃত্ত বাটন চাপো। নিয়ামক রেখা ফুটে উঠবে। তলের উচ্চতা c নাড়াও: পরাবৃত্ত চওড়া হয়, p বাড়ে, কিন্তু আকৃতি পরাবৃত্তই থাকে।
• অধিবৃত্ত বাটন চেপে শঙ্কুটা ঘুরিয়ে দেখো। দুই শাখা খুঁজে বের করো, শঙ্কুর দুই অর্ধে একটা করে।
• ঢাল ৪৬° থেকে ৮০°-তে তোলো। অধিবৃত্তের দুই বাহু ক্রমে দুটো কাটাকাটি সরলরেখার দিকে সরে আসছে। ৯০°-তে তল অক্ষকেই ধারণ করত, আর শঙ্কুকে কাটত দুটো সরলরেখায়।
• ঘূর্ণন থামিয়ে উচ্চতা c বদলাও আর a, b ও সমীকরণ মিলিয়ে দেখো। কোনগুলো বদলায়, কোনগুলো বদলায় না?

সমাধান করা অঙ্ক

সাতটা পরিচিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই সূত্র থেকে হিসাব করা।

সচরাচর ভুল

প্রতি বছরই এসব ভুলে নম্বর কাটা যায়।

• a, b আর c গুলিয়ে ফেলা। উপবৃত্তে a বড়টি আর c² = a² − b²। অধিবৃত্তে c² = a² + b², আর a সবসময় a ও b-র বড়টি হয় না।
• পরাবৃত্তের e ০ আর ১-এর মাঝে বলা। এটা ঠিক ১।
• ভাবা যে তলের উচ্চতা আকৃতি বদলায়। সে শুধু আকার বদলায়; বক্ররেখা বাছে ঢাল।
• অধিবৃত্তের দুই শাখা আর পরাবৃত্তের এক শাখা ভুলে যাওয়া।
• y² = ৪ax-এর ফোকাস (৪a, ০) লেখা। ঠিক উত্তর (a, ০)।
• xy পদ বাদ দিয়ে সরল করা সমীকরণে B² − 4AC খোঁজা। B = ০ হলে AC-র চিহ্নই একই কাজ করে।

বাস্তব জীবনে শাঙ্কব ছেদ

শাঙ্কব ছেদ শুধু পরীক্ষার বক্ররেখা নয়। চারপাশের গতি আর আকৃতি এরাই বর্ণনা করে।

• গ্রহ ও ধূমকেতু সূর্যকে একটা ফোকাসে রেখে উপবৃত্তে চলে। যে ধূমকেতু আর ফেরে না, সে চলে পরাবৃত্ত বা অধিবৃত্ত পথে।
• স্যাটেলাইট ডিশ, টর্চের প্রতিফলক ও গাড়ির হেডলাইট পরাবৃত্তাকার: বিন্দু উৎসকে সমান্তরাল রশ্মিতে বদলায়, উল্টোটাও করে।
• ফিসফিস গ্যালারিতে উপবৃত্ত কাজে লাগে: এক ফোকাসের শব্দ প্রতিফলিত হয়ে অন্য ফোকাসে পৌঁছায়।
• দুটো সংকেত পৌঁছানোর সময়ের পার্থক্য থেকে অবস্থান বের করার নেভিগেশনে অধিবৃত্ত ব্যবহার হয়।
• ওপরে ছোড়া বল (বাতাস উপেক্ষা করলে) পরাবৃত্ত পথে ওঠে-নামে।
• বাতির শেডের আলো দেয়ালে অধিবৃত্তের দুই শাখার ছায়া ফেলে।

পরীক্ষার কোণ

এইচএসসি, এ-লেভেল, জেইই বা এসএটি-র শাঙ্কব ছেদের প্রশ্ন সাধারণত এই ধাঁচের হয়।

• সমীকরণ দেখে বক্ররেখা চেনা (B² − 4AC দিয়ে)।
• আদর্শ সমীকরণ থেকে ফোকাস, শীর্ষ, উৎকেন্দ্রিকতা ও নিয়ামক রেখা বের করা।
• দুটো তথ্য থেকে সমীকরণ লেখা, যেমন ফোকাস ও e, বা শীর্ষ ও ফোকাস।
• দুটো সমীকরণ একসঙ্গে সমাধান করে স্পর্শকের সমীকরণ বা রেখা ও বক্ররেখার ছেদবিন্দু বের করা।
• ডিশ, খিলান বা কক্ষপথের গাণিতিক সমস্যা: আদর্শ সমীকরণ ধরে একটা জানা বিন্দু বসাও।

দ্রুত পুনরালোচনা

একটা কথাই মনে রাখলে মনে রেখো: কাটার তলের ঢাল বক্ররেখা ঠিক করে, আর e তাকে মাপে।

সচরাচর জিজ্ঞাসা