ত্রিমাত্রায় দুটি ভেক্টর: যোগ, ডট ও ক্রস গুণ আসলে কী

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. দুটো তীর মূলবিন্দু O থেকে শুরু। ভেক্টর a প্রাথমিক রঙের তীর, ভেক্টর b দ্বিতীয় রঙের। শুরুতে a = (৩, ০, ০) আর b = (১, ২, ০)। ধূসর রেখাগুলো x, y, z অক্ষ, আর হালকা ছক হলো মেঝে, যেখানে z = ০।
2. ছবির যেকোনো জায়গায় টেনে দৃশ্যটা ঘোরাও। পর্দা সমতল, তাই ঘোরানোর সময় অক্ষ আর তীরগুলো যেভাবে ঘুরে যায় তাতেই গভীরতা বোঝা যায়। প্লে চালু থাকলে দৃশ্য নিজেও ধীরে ঘোরে। স্থির রাখতে বিরতি চাপো।
3. ছয়টা স্লাইডারে a ও b-র x, y, z অংশ ঠিক করো। সব রিডিং একসাথে বদলায়, তীর নতুন ডগায় সরে যায়।
4. “যোগফল” বেছে নিলে O থেকে ছায়াযুক্ত সামান্তরিকের দূরের কোণ পর্যন্ত একটা কমলা তীর যায়। ওটাই a + b। বিন্দুযুক্ত বাহুগুলো দেখায় a-র ডগায় b বসানো, আর b-র ডগায় a বসানো: দুই পথেই একই বিন্দুতে পৌঁছানো যায়।
5. “ডট গুণ” বেছে নাও। সবুজ তীরটা a-র ওপর b-র ছায়া, আর চাপটা ভেক্টর দুটির মাঝের কোণ θ। রিডিংয়ে a · b আর θ আসে।
6. “ক্রস গুণ” বেছে নাও। কমলা তীরটা a × b। এটা a ও b দুটোরই উপর লম্ব, আর ছায়াযুক্ত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল রিডিংয়ে দেওয়া আছে। তীর বেশি লম্বা হলে ছোট করে আঁকা হয়, ছবিতে লেখাও থাকে।

ভেক্টর কী?

কিছু রাশির জন্য শুধু সংখ্যা যথেষ্ট: তোমার বয়স, একটা কলমের দাম। কিছুর জন্য দিকও লাগে। “৫ মিটার হাঁটো” অসম্পূর্ণ; “উত্তরে ৫ মিটার হাঁটো” সম্পূর্ণ নির্দেশ। ভেক্টর দুটোই বহন করে: কতটুকু আর কোন দিকে। আমরা তাকে তীর হিসেবে আঁকি।

ত্রিমাত্রায় ভেক্টর লিখি তিনটি উপাংশে: x বরাবর, y বরাবর, z বরাবর কতদূর। তাই (৩, ০, ০) হলো x অক্ষ বরাবর সোজা ৩ দৈর্ঘ্যের তীর। দৈর্ঘ্য বা মান আসে দুবার পিথাগোরাস খাটিয়ে: |v| = √(x² + y² + z²)।

ভেক্টর যোগ: সামান্তরিক

দুটি ভেক্টর যোগ করতে মিলিয়ে মিলিয়ে উপাংশ যোগ করো। a = (৩, ০, ০) আর b = (১, ২, ০) হলে যোগফল (৪, ২, ০)। তীর আঁকার দরকার নেই, তিনটা ছোট যোগ।

ছবি দেখায় কেন এটা চলে। a ধরে হাঁটো, তারপর b ধরে, শেষ হবে সামান্তরিকের কর্ণের মাথায়। আগে b, পরে a হাঁটলেও একই জায়গায় পৌঁছাবে। তাই a + b = b + a।

• বিয়োগও একই, শুধু বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে: a − b মানে a যোগ b-এর উল্টোটা।
• ভেক্টরকে ২ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি উপাংশ ও দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হয়, দিক একই থাকে।
• যোগফলের দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্যগুলোর যোগফল নয়। এখানে |a| = ৩ আর |b| = ২.২৪, কিন্তু |a + b| হলো ৩ + ২.২৪-এর চেয়ে ছোট, কারণ তীর দুটো একদিকে নয়।

সমতল পর্দায় ত্রিমাত্রা কীভাবে দেখায়

এখানে কোনো ত্রিমাত্রিক লাইব্রেরি নেই, আছে শুধু সমতল ক্যানভাস আর একটু ত্রিকোণমিতি। দৃশ্যটাকে খাড়া z অক্ষ ঘিরে একটা কোণে ঘোরানো হয় (ইয়ো), আর তোমার দিকে আরেক কোণে হেলানো হয় (পিচ)। তারপর প্রতিটি বিন্দু (x, y, z) পর্দায় চেপে বসে, পাশের অবস্থান আর উচ্চতা ঠিক রেখে।

কাছে বা দূরের কিছু ছোট-বড় আঁকা হয় না, তাই সমান্তরাল রেখা সমান্তরালই থাকে (প্রকৌশলীর নকশার মতো)। ঘোরানোই তোমার চোখকে বলে কোনটা কোন দিকে। কয়েকবার টানো, সমতল তীরগুলো নিরেট মনে হবে।

ডট গুণ: একটিমাত্র সংখ্যা

মিলিয়ে মিলিয়ে উপাংশ গুণ করে তিনটা ফল যোগ করো: a · b = ax·bx + ay·by + az·bz। শুরুর জোড়ায় এটা ৩। খেয়াল করো, উত্তর সাধারণ সংখ্যা, ভেক্টর নয়, তাই একে স্কেলার গুণফলও বলে।

একই সংখ্যার আরেকটা সূত্র আছে: a · b = |a| |b| cos θ, যেখানে θ তীর দুটির মাঝের কোণ। দুটো মিলিয়ে ত্রিমাত্রার যেকোনো কোণ না এঁকেই পাওয়া যায়: cos θ = (a · b) / (|a| |b|)।

শুরুর জোড়ার জন্য θ = ৬৩.৪৩°, ডট গুণ মোড ঠিক এটাই দেখায়।

• ডট গুণ ধনাত্মক: কোণ ৯০°-এর কম, তীর দুটো একই দিকে ঝুঁকে।
• ডট গুণ শূন্য: ঠিক ৯০°। ভেক্টর দুটো লম্ব।
• ডট গুণ ঋণাত্মক: কোণ ৯০°-এর বেশি, তীর দুটো উল্টো দিকে ঝুঁকে।

ছায়া হিসেবে ডট গুণ

a-র ওপর সোজা আলো ফেললে b তার ছায়া ফেলে a বরাবর। ওই ছায়ার চিহ্নিত দৈর্ঘ্য (a · b) / |a|। তাহলে ডট গুণ হলো |a| গুণ ছায়া, যা আবার b-র দৈর্ঘ্য গুণ b-র ওপর a-র ছায়াও।

সিমুলেশনে ছায়াটা সবুজ তীর, আর বিন্দুযুক্ত রেখা b-র ডগা থেকে সমকোণে ছায়ার মাথায় নামে। b-কে ঘোরাও: কোণ ৯০° পার হলে ছায়া O-র অন্য দিকে চলে যায়।

ক্রস গুণ: একটা নতুন তীর

ক্রস গুণ a × b একটা ভেক্টর, সংখ্যা নয়। এর প্রতিটি উপাংশ বাকি দুই স্থানাঙ্ক থেকে তৈরি, নিচের সূত্রে দেখো।

শুরুর জোড়ায় এটা (০, ০, ৬): z বরাবর সোজা ওপরে। এটা কাকতালীয় নয়, কারণ a আর b দুটোই মেঝেতে শোয়া, আর মেঝের উপর লম্ব দিক শুধু ওপর বা নিচ।

• a × b, a ও b দুটোরই উপর লম্ব। যেকোনোটার সাথে ডট গুণ করে মিলিয়ে নাও: ০ আসে।
• দিক ঠিক হয় ডান হাতের নিয়মে: ডান হাতের আঙুল a থেকে b-র দিকে গুটালে বুড়ো আঙুল a × b-র দিকে থাকে।
• |a × b| হলো সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল। শুরুর জোড়ায় ক্ষেত্রফল ৬ বর্গএকক, ক্রস গুণ মোডের ছায়াযুক্ত আকৃতি।
• a আর b সমান্তরাল হলে সামান্তরিক চ্যাপ্টা, ক্ষেত্রফল ০, আর ক্রস গুণ শূন্য ভেক্টর।

ক্রস গুণে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ

ভেক্টর দুটো বদলালে তীর উল্টে যায়: b × a = −(a × b)। ডট গুণে এমন পাল্টা নেই, a · b = b · a। তিন অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর i, j, k এই ছকটা সবচেয়ে পরিষ্কার দেখায়।

ডট না ক্রস: কখন কোনটা?

দুটোই দুটি ভেক্টর মিলিয়ে কাজ করে, কিন্তু উত্তর দেয় আলাদা প্রশ্নের।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

ছয়টা ছোট পরীক্ষা, এক মিনিট করে।

• যোগফল মোডে b-কে (০, ৩, ০) করো। ছায়াযুক্ত আকৃতি আয়ত হয়ে যায়। বাহুগুলো সমকোণে কেন?
• ডট গুণ মোডে b-কে a-র সমান করো। কোণ ০° আর a · b = |a|²।
• a = (২, ০, ০) রেখে b-র x স্লাইডার ৪ থেকে −৪-এ টানো। ডট গুণ শূন্য পেরিয়ে চিহ্ন বদলায়।
• ক্রস গুণ মোডে b-কে a-র গুণিতক করো, যেমন (৬, ০, ০)। ক্ষেত্রফল শূন্য, তীর উধাও।
• ক্রস গুণ মোডে a = (৩, ০, ০), b = (০, ২, ০)। তীর ওপরে, দৈর্ঘ্য ৬। এবার মান দুটো বদলাও। তীর কোন দিকে যায়?
• দুই ভেক্টরেই z শূন্য নয় এমন দাও। দৃশ্য ঘোরাও যতক্ষণ না a, b আর a × b একটা বাক্সের তিন কোণের মতো দেখায়।

সমাধান করা অঙ্ক

ছয়টা প্রচলিত প্রশ্ন। নিচের প্রতিটি সংখ্যা সিমুলেশনের একই ফাংশন দিয়ে গণনা করা।

যেসব ভুল এড়াবে

এই ভুলগুলোতে বারবার নম্বর কাটা যায়।

• a · b-কে ভেক্টর বলা। এটা সংখ্যা। তিনটি উপাংশ পেলে তুমি অন্য কিছু হিসাব করেছ।
• দ্বিমাত্রায় ক্রস গুণ ব্যবহার করা। এটা ত্রিমাত্রার জিনিস (দ্বিমাত্রিক রূপে শুধু একটা সংখ্যা, z উপাংশ)।
• ক্রস গুণে ক্রম ভুলে যাওয়া, ফলে উত্তরের চিহ্ন ভুল হওয়া।
• sin θ আর cos θ গুলিয়ে ফেলা: ডট গুণে cos θ, ক্রস গুণে sin θ।
• |a + b| বের করতে উপাংশের বদলে দৈর্ঘ্য যোগ করা।

ভেক্টর কোথায় কাজে লাগে

গেম আর সিনেমায় ডট গুণ ঠিক করে একটা তল আলোর দিকে মুখ করে আছে কি না, ক্রস গুণ বলে তল কোন দিকে তাকিয়ে। পদার্থবিজ্ঞানে টর্ক আর চৌম্বকক্ষেত্রে চলন্ত চার্জের বলে ক্রস গুণ লাগে। প্রকৌশলীরা কাজ ও ক্ষমতায় ডট গুণ ব্যবহার করেন।

ফোনের মানচিত্র, রোবট হাত বা ড্রোনের ফ্লাইট কন্ট্রোলারের পেছনে এই দুই প্রক্রিয়ার স্তূপ, সেকেন্ডে লক্ষ লক্ষ বার চলছে।

পরীক্ষার কোণ

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ও ভর্তি পরীক্ষার জন্য মনে রাখো।

• লম্ব হলে a · b = ০ ধরো। সমান্তরাল হলে a × b = ০ (অথবা একটা অন্যটার গুণিতক)।
• cos θ = (a · b) / (|a| |b|)। আগে সূত্র লেখো, তারপর বসাও।
• সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল |a × b|; ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার অর্ধেক।
• ক্রস গুণ মেলাতে a ও b-র সাথে ডট করো। দুটোতেই ০ আসা চাই।

সচরাচর জিজ্ঞাসা