ক্যাপাসিটর কেন এক ঝটকায় ভরে না: আরসি সময় ধ্রুবকের গল্প

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. ডিফল্ট মান নিয়ে শুরু করো: ১২ V ব্যাটারি, ১০ kΩ রোধ আর ১০০ µF ক্যাপাসিটর। সুইচ আছে “আহিত হচ্ছে” অবস্থানে। রিডিংয়ে সময় ধ্রুবক দেখাচ্ছে τ = ১ s।
2. ওপরের লেখচিত্রটা দেখো। ক্যাপাসিটরের ভোল্টেজ প্রথমে খাড়া ওঠে, তারপর ১২ V-এর ডটেড সবুজ রেখার দিকে সমতল হয়ে আসে। তারের ওপরের কমলা বিন্দুগুলো শুরুতে দ্রুত ছোটে, প্রবাহ কমার সঙ্গে সঙ্গে ধীর হয়ে যায়।
3. দুই লেখচিত্রেই 1τ-এর চিহ্নিত বিন্দুটা দেখো। ভোল্টেজ তার শেষ মানের ৬৩.২% এ পৌঁছেছে, অর্থাৎ ৭.৫৯ V। প্রবাহ নেমে এসেছে শুরুর ১.২০ mA-এর ৩৬.৮% এ।
4. রোধের স্লাইডার বাড়াও। সময় ধ্রুবক বাড়ে, তাই সবকিছু ধীরে ঘটে, কিন্তু শেষ ভোল্টেজ একই থাকে। এবার ধারকত্বের স্লাইডার বাড়াও: একই ধীর হওয়া দেখবে, সঙ্গে রিডিংয়ে আধানও বেশি দেখাবে।
5. ক্যাপাসিটর প্রায় ভরে গেলে সুইচ “নিরাহিত হচ্ছে” করে দাও। ব্যাটারি বাদ, পাতাগুলো জমানো আধান রোধের ভেতর দিয়ে ফেরত ঠেলছে, প্রবাহ উল্টে গেছে আর দুটি বক্রেখাই সূচকীয়ভাবে নামছে।
6. চলতে চলতে E বদলাও। লেখচিত্র ক্যাপাসিটর তখন যে মানে আছে সেখান থেকে নতুন করে শুরু হয়, আর ভোল্টেজ নতুন লক্ষ্যের দিকে ছোটে। শক্তির রিডিংটা খাতায় ½CV² দিয়ে মিলিয়ে নাও।

ক্যাপাসিটর আধান জমায়, রোধ প্রবাহ আটকায়

ক্যাপাসিটর হলো মাঝে ফাঁক রেখে বসানো দুটি ধাতব পাতা। ব্যাটারি আধান ঠেলে দিলে একটা পাতায় জমে ধনাত্মক আধান, অন্যটায় সমপরিমাণ ঋণাত্মক আধান। পাতায় যত বেশি আধান, দুই পাতার মধ্যে বিভব পার্থক্য তত বেশি। আধান আর বিভব পার্থক্যের অনুপাত প্রতিটি ক্যাপাসিটরের জন্য নির্দিষ্ট একটা সংখ্যা, তার নাম ধারকত্ব C।

ক্যাপাসিটরকে সরাসরি ব্যাটারির সঙ্গে জুড়ে দিলে সে প্রায় নিমেষেই ভরে যেত। মাঝখানে একটা রোধ বসালে ছবি বদলে যায়। রোধ প্রবাহের পরিমাণ আটকে রাখে, তাই আধান একটু একটু করে পৌঁছায়। এই জুটির নাম আরসি বর্তনী, আর এর গতি ঠিক হয় মাত্র দুটি সংখ্যায়, R আর C।

আরসি বর্তনী আমাদের চারপাশে ছড়িয়ে আছে: মোবাইলের পর্দা কিছুক্ষণ পর আবছা হওয়া, ক্যামেরার ফ্ল্যাশ, পাওয়ার সাপ্লাইয়ের ভোল্টেজ মসৃণ করা, সূচক বাতির মিটমিট, আর অসংখ্য টাইমার। এই একটাই ছবি সবগুলো ব্যাখ্যা করে।

আহিত হওয়া কেন ধীর হয়ে আসে

প্রতিটি মুহূর্তে রোধের দুই প্রান্তের ভোল্টেজটা ভাবো। একদম শুরুতে ক্যাপাসিটর ফাঁকা, তার নিজের কোনো ভোল্টেজ নেই, তাই ব্যাটারির পুরো E রোধের ওপর পড়ে। ওহমের সূত্র বলে শুরুর প্রবাহ E ÷ R। ডিফল্ট মানে সেটা ১২ ÷ ১০ = ১.২০ mA (ভোল্টকে কিলোওহম দিয়ে ভাগ করলে মিলিঅ্যাম্পিয়ার আসে)।

আধান জমতে থাকলে ক্যাপাসিটর নিজেই একটা ভোল্টেজ V তৈরি করে, যেটা ব্যাটারির বিপরীতে কাজ করে। রোধের ভাগে পড়ে মাত্র E − V। একই রোধের ওপর ভোল্টেজ কমলে প্রবাহও কমে। অর্থাৎ ক্যাপাসিটর যত ভরে, ভরার গতি তত কমে।

যেখানে ভরার হার বাকি জায়গার সমানুপাতিক, সেখানে বক্রেখা সবসময় সূচকীয় হয়। চায়ের কাপ ঠান্ডা হওয়া, ফুটো বালতির পানি কমা, তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়, সবার আকৃতি এক।

আহিতকরণের সূত্র

ওপরের ধারণাটা নিখুঁতভাবে সমাধান করলে দুটি ছোট সূত্র পাওয়া যায়। প্রথমটা ক্যাপাসিটরের ভোল্টেজ, দ্বিতীয়টা বর্তনীর প্রবাহ। দুটোতেই আছে e ≈ ২.৭১৮ আর সুইচ চাপার পর থেকে সময় t।

• t = ০ হলে সূচকটা ১, তাই V = ০ আর I = E ÷ R। প্রথম মুহূর্তে ক্যাপাসিটর একটা সাধারণ তারের মতো আচরণ করে।
• t অনেক বড় হলে সূচকটা মিলিয়ে যায়, তাই V গিয়ে E-র কাছে পৌঁছায় আর I শূন্যের দিকে যায়। পুরো আহিত ক্যাপাসিটর স্থির প্রবাহ আটকে দেয়, ছেঁড়া তারের মতো।
• সসীম সময়ে ভোল্টেজ ঠিক E-তে কখনোই পৌঁছায় না। বাস্তবে কয়েক সময় ধ্রুবকের পর পার্থক্যটা এত ছোট যে মাপাই যায় না।

সময় ধ্রুবক τ = RC

সূচকের ভেতরে RC গুণফলটা বসে। এর একক সময়ের, তাই আমরা একে আলাদা নাম দিয়েছি: τ = RC, সময় ধ্রুবক। বর্তনী দ্রুত না ধীর, সেটা এই একটা সংখ্যাই বলে দেয়।

সিমুলেশনের মান দিয়েই এককটা মিলিয়ে দেখো। R = ১০ kΩ = ১০,০০০ Ω আর C = ১০০ µF = ০.০০০১ F। তাহলে τ = ১০,০০০ × ০.০০০১ = ১ s। আর কিছু রূপান্তর লাগে না। সাধারণ নিয়ম: কিলোওহমকে মাইক্রোফ্যারাড দিয়ে গুণ করলে মিলিসেকেন্ড আসে: ১০ × ১০০ = ১,০০০ ms।

আহিতকরণের সূত্রে t = τ বসালে সূচকটা হয় e⁻¹ = ০.৩৬৮। তাই এক সময় ধ্রুবক পর ক্যাপাসিটর E-র দিকে ৬৩.২% পথ পেরিয়েছে, আর প্রবাহ নেমে এসেছে শুরুর মানের ৩৬.৮% এ। এই তথ্যটা মুখস্থ রাখো। যেকোনো R, C আর E-র জন্য এটা সত্য।

কত সময় ধ্রুবক পর ক্যাপাসিটর “ভর্তি”?

বক্রেখা E-র কাছে শুধু এগিয়ে যায়, ছোঁয় না। তাই প্রকৌশলীরা সময় ধ্রুবককেই মাপকাঠি বানান। ডিফল্ট বর্তনীর জন্য, যেখানে E = ১২ V, কত শতাংশ আহিত হলো আর ভোল্টেজ কত, ছকে দেওয়া আছে।

নিরাহিতকরণ: একই বক্রেখা, উল্টো পথে

সুইচ “নিরাহিত হচ্ছে” করলে ব্যাটারি ছবি থেকে বাদ। ক্যাপাসিটর এবার ছোট ব্যাটারির মতো জমানো আধান রোধের ভেতর দিয়ে ফেরত ঠেলে দেয়। শুরুর ভোল্টেজ V₀ হলে ভোল্টেজ আর প্রবাহ দুটোই একই τ নিয়ে সূচকীয়ভাবে কমে।

প্রবাহ আহিতকরণের উল্টো দিকে চলে, তাই সিমুলেশনে প্রবাহের লেখচিত্র শূন্য রেখার নিচে নেমে যায়। পরিমাণটা অবশ্য একই গুণকে কমে। এক সময় ধ্রুবক পর ক্যাপাসিটর তার ভোল্টেজের ৬৩.২% হারিয়েছে আর ৩৬.৮% ধরে রেখেছে।

সঞ্চিত শক্তি, আর বাকিটা কোথায় যায়

আহিত ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তি U = ½ C V²। ডিফল্ট বর্তনী ১২ V-এ পুরো আহিত হলে সেটা ½ × ১০০ µF × ১২² = ৭,২০০ µJ, অর্থাৎ ৭.২০ mJ। পাতার আধান Q = CV = ১০০ × ১২ = ১,২০০ µC।

কিন্তু ব্যাটারিকে পুরো আধান Q-কে E বিভব পার্থক্য পার করে ঠেলতে হয়েছে, তাই সে খরচ করেছে Q × E = C E² = ১৪.৪০ mJ। এর অর্ধেক মাত্র জমা হয়েছে। বাকি অর্ধেক, ৭.২০ mJ, পথে রোধে তাপ হয়ে গেছে।

বেশিরভাগ শিক্ষার্থী এখানে অবাক হয়, কারণ এই অপচয় R-এর ওপর নির্ভর করে না। বড় রোধে ক্যাপাসিটর ধীরে আহিত হয়, কিন্তু মোট অপচয় ঠিক একই থাকে। সিমুলেশনে R-এর বিভিন্ন মান বসিয়ে শেষ শক্তির রিডিং মিলিয়ে দেখো: কখনো বদলাবে না।

উদাহরণ ১: নির্দিষ্ট ভোল্টেজে পৌঁছাতে কত সময়

৯ V সরবরাহ ৪৭ kΩ রোধের মধ্য দিয়ে ৪৭০ µF ক্যাপাসিটরকে আহিত করছে। ক্যাপাসিটরের ভোল্টেজ ৬ V হতে কত সময় লাগবে?

উদাহরণ ২: নিরাহিতকরণ

একটি ক্যাপাসিটরকে ১২ V-এ আহিত করে ১০ kΩ রোধের মধ্য দিয়ে নিরাহিত করা হলো, C = ১০০ µF, অর্থাৎ τ = ১ s। দুটি প্রশ্ন।

২ s পর ভোল্টেজ কত? এখানে t/τ = ২.০০, তাই V = ১২ × e^(−২.০০) = ১.৬২ V।

ভোল্টেজ ১ V-এ নামতে কত সময় লাগবে? V = V₀ e^(−t/τ) থেকে t = τ ln(V₀/V) = ১ × ln(১২) = ১ × ২.৪৮৫ = ২.৪৮ s।

শুরুর প্রবাহ ১২ ÷ ১০ = ১.২০ mA। তিন সময় ধ্রুবক পর সেটা ১.২০ × e⁻³ = ০.০৬ mA, শুরুর মাত্র ৫%।

উদাহরণ ৩: ফ্ল্যাশ ক্যাপাসিটর

ক্যামেরার ফ্ল্যাশের ধাঁচের ১,০০০ µF ক্যাপাসিটরকে ২৪ V-এ আহিত করা হলো। পাতার আধান ১,০০০ µF × ২৪ V = ২৪.০০ mC। শক্তি ½ × ১,০০০ µF × ২৪² = ২৮৮ mJ, অর্থাৎ ০.২৮৮ J।

এই শক্তি দিয়ে ১০০ g ওজনের একটা আপেলকে ২৯ cm ওপরে তোলা যায়। শুনতে কম, কিন্তু শক্তিটা বেরোয় এক সেকেন্ডের হাজার ভাগের মধ্যে বা তারও কম সময়ে, তাই ক্ষমতা প্রচুর। এ কারণেই ফ্ল্যাশ এত উজ্জ্বল, আর ছোট ঝলকের জন্য ক্যাপাসিটরই সঠিক যন্ত্র।

পরীক্ষার জন্য শর্টকাট

বহুনির্বাচনি আর সংখ্যাভিত্তিক অঙ্কে এই শর্টকাটগুলো সময় বাঁচায়।

• 1τ পর: ৬৩.২% আহিত। 2τ পর: ৮৬.৫%। 3τ পর: ৯৫.০%। 5τ পর: ৯৯.৩%।
• ৫০% পৌঁছাতে সময় লাগে ০.৬৯৩ τ = ০.৬৯ s (এই বর্তনীতে)। ৯০% এ ২.৩০৩ τ = ২.৩০ s। ৯৯% এ ৪.৬০৫ τ = ৪.৬১ s।
• শুরুর প্রবাহ E ÷ R, C যা-ই হোক। শেষ ভোল্টেজ E, R যা-ই হোক।
• R দ্বিগুণ করলে বা C দ্বিগুণ করলে τ দ্বিগুণ হয়। শেষ আধান নির্ভর করে শুধু C আর E-র ওপর।
• t = ০ বিন্দুতে ভোল্টেজ বক্রেখার ঢাল E ÷ τ। ক্যাপাসিটর যদি শুরুর হারেই আহিত হতে থাকত, ঠিক এক τ-তে E-তে পৌঁছে যেত। শুরুতে আঁকা স্পর্শক শেষ মানের রেখাকে t = τ-তে ছোঁয়।
• ক্যাপাসিটরের ভোল্টেজ লাফ দিতে পারে না। রোধের প্রবাহ পারে।

সচরাচর ভুল

এই চারটা ভুলে সবচেয়ে বেশি নম্বর কাটা যায়।

• ভেবে নেওয়া যে t = τ-তে ক্যাপাসিটর ভর্তি। এক সময় ধ্রুবকে সে মাত্র ৬৩% আহিত।
• এককে গোলমাল। ওহমের সঙ্গে ফ্যারাড, অথবা কিলোওহমের সঙ্গে মাইক্রোফ্যারাড (উত্তর মিলিসেকেন্ডে) ব্যবহার করো। কিলোওহমের সঙ্গে ফ্যারাড কখনো নয়।
• বলে দেওয়া যে ব্যাটারির সব শক্তি ক্যাপাসিটরে জমে। ঠিক অর্ধেক রোধে তাপ হয়ে যায়।
• নিরাহিতকরণের প্রবাহের চিহ্ন ভুলে যাওয়া। একইভাবে কমলেও সেটা আহিতকরণের প্রবাহের উল্টো দিকে চলে।

পরীক্ষার আগে ঝালিয়ে নেওয়ার তালিকা

পরীক্ষার আগে এগুলো জোরে জোরে বলে নাও।

• τ = RC, R ওহমে আর C ফ্যারাডে হলে এককটা সেকেন্ড।
• আহিতকরণ: V = E(1 − e^(−t/RC)) আর I = (E/R) e^(−t/RC)।
• নিরাহিতকরণ: V = V₀ e^(−t/RC), প্রবাহ উল্টো দিকে।
• t = τ-তে: ৬৩.২% আহিত, প্রবাহ নেমে ৩৬.৮%।
• সঞ্চিত শক্তি ½CV²। ব্যাটারি দেয় CE², অর্ধেক R-এ তাপ হয়ে হারায়।
• t = ০ মুহূর্তে ক্যাপাসিটর তারের মতো, পুরো আহিত হলে ফাঁকের মতো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা