नियंत्रण
क्या देखें
मापन
- त्रिज्यखंड
- 12
- परिधि, 2πr
- 31.42सेमी
- आधी परिधि, πr
- 15.71सेमी
- आयत की लंबाई
- 15.53सेमी
- आयत की चौड़ाई
- 4.83सेमी
- आयत का क्षेत्रफल
- 75.00सेमी²
- सही क्षेत्रफल, πr²
- 78.54सेमी²
- त्रुटि
- 4.51%
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- शुरू में “क्षेत्रफल का प्रमाण” वाली स्थिति में रहो। वृत्त 12 बराबर त्रिज्यखंडों में कटा है, दो रंगों में बारी-बारी से। चलाएँ दबाओ तो टुकड़े बाहर निकलकर कंघी के दाँतों की तरह एक-दूसरे के बीच बैठ जाते हैं।
- “त्रिज्यखंडों की संख्या” स्लाइडर खींचो। सिर्फ़ 4 टुकड़ों में आकृति ऊबड़-खाबड़ समांतर चतुर्भुज है। 64 में लगभग पक्का आयत। मापन में आयत की लंबाई, चौड़ाई, क्षेत्रफल और सही πr² से त्रुटि दिखती है।
- “सजाने की प्रगति” स्लाइडर से एनिमेशन को हाथ से धीरे-धीरे आगे बढ़ाओ, किसी भी पल रोककर वृत्त और लंबी आकृति की तुलना करो।
- त्रिज्या बदलो। स्क्रीन की सारी लंबाइयाँ नाप के हिसाब से बदलती हैं, साथ में परिधि, आधी परिधि और क्षेत्रफल भी। ध्यान दो कि त्रुटि का प्रतिशत त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता, केवल टुकड़ों की संख्या पर करता है।
- “परिधि और पाई” चुनो। एक वृत्त सीधी रेखा पर लुढ़ककर अपनी परिधि छोड़ जाता है। रेखा व्यास के टुकड़ों में बँटी है: तीन पूरे व्यास और थोड़ा-सा बचा हुआ हिस्सा। वही बचा हिस्सा पाई का 0.14159… है।
- “त्रिज्यखंड और चाप” चुनकर कोण θ खींचो। चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल हमेशा पूरे वृत्त का θ/360 भाग होते हैं। नीचे के दो पट्टे उसी भाग को भरते दिखते हैं।
एक पिज़्ज़ा, एक वृत्त और बहुत पुराना सवाल
तुमने 30 सेमी व्यास का पिज़्ज़ा मँगाया, 8 टुकड़ों में कटा। दोस्त कहता है कि 40 सेमी वाला “बस थोड़ा बड़ा” है। क्या सच में? छोटे का क्षेत्रफल लगभग 706.86 वर्ग सेमी है, यानी हर टुकड़ा 88.36 वर्ग सेमी। बड़े का 1,256.64 वर्ग सेमी, यानी 1.78 गुना खाना, जबकि व्यास सिर्फ़ एक-तिहाई बढ़ा। कारण समझने के लिए वृत्त का क्षेत्रफल जानना होगा।
गोल खेत नापने का सवाल इंसान लगभग चार हज़ार साल से पूछ रहा है। वर्ग या आयत आसान हैं, दो भुजाएँ गुणा करो। पर वृत्त की एक भी सीधी भुजा नहीं होती, इसलिए सदियों तक सिर्फ़ अंदाज़े चलते रहे। लगभग 250 ईसा पूर्व यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ ने वृत्त को अधिकाधिक टुकड़ों में काटकर उत्तर को दो संख्याओं के बीच फँसा दिया। इस पेज का सिमुलेशन भी टुकड़े करने का वही विचार इस्तेमाल करता है, बस सजाने की ऐसी तरकीब के साथ कि नतीजा आँखों से दिखे।
शुरू से: त्रिज्या, व्यास और परिधि
किसी निश्चित बिंदु से बराबर दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं से वृत्त बनता है। उस निश्चित बिंदु को केंद्र कहते हैं। कंपास की नोक कागज़ पर रखकर पेंसिल को पूरा घुमाओ तो जो वक्र बनता है वही वृत्त है, और कंपास का खोला हुआ फ़ासला त्रिज्या है।
वृत्त की हर बात तीन लंबाइयों और एक संख्या से बनती है। इन्हें अच्छी तरह समझ लो तो क्षेत्रफल का सूत्र रटना नहीं पड़ता।
- त्रिज्या r केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी है।
- व्यास d केंद्र से गुज़रती हुई आर-पार सीधी रेखा है, इसलिए d = 2r।
- परिधि C वृत्त के वक्र की अपनी लंबाई है, एक बार घूमकर आने की दूरी।
- पाई (π) अनुपात C ÷ d है, जो छोटे-बड़े हर वृत्त के लिए एक जैसा है।
| शब्द | अर्थ | प्रतीक |
|---|---|---|
| त्रिज्या | केंद्र से वृत्त तक | r |
| व्यास | केंद्र से होकर आर-पार | d = 2r |
| परिधि | वृत्त की अपनी लंबाई | C = 2πr |
| क्षेत्रफल | वृत्त के अंदर की समतल जगह | A = πr² |
| त्रिज्यखंड | दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा भाग | कोण θ |
| चाप | परिधि का एक हिस्सा | l |
पाई: हर वृत्त में छिपी संख्या
कोई भी गोल चीज़ लो, बोतल का ढक्कन, थाली या साइकिल का पहिया। धागे से चारों ओर नापो, फिर आर-पार नापो। पहले को दूसरे से भाग दो। हर बार लगभग 22/7 मिलेगा। यही स्थिर संख्या पाई है, जिसे π लिखते हैं।
सिमुलेशन में “परिधि और पाई” चुनकर चलाओ। वृत्त एक बार लुढ़ककर अपनी परिधि सीधी बिछा देता है। उस रेखा की तुलना व्यास से करो: तीन पूरे व्यास समाते हैं और थोड़ा-सा हिस्सा बच जाता है। बचा हिस्सा व्यास का लगभग 0.14 भाग है। त्रिज्या बदलने पर चित्र छोटा-बड़ा होता है, पर मापन में अनुपात नहीं हिलता।
चूँकि C = πd और व्यास दो त्रिज्याओं के बराबर है, इसलिए परिधि C = 2πr होती है। क्षेत्रफल की उपपत्ति का पहला आधा हिस्सा इसी एक तथ्य पर टिका है।
π = C ÷ dपाई की परिभाषा
C = 2πrत्रिज्या से परिधि
C = πdव्यास से परिधि
टुकड़े करने वाली उपपत्ति: क्षेत्रफल πr² क्यों
सिमुलेशन जो उपपत्ति बनाता है, वह यहाँ लिखी है। इसमें परिधि के सूत्र और आयत के क्षेत्रफल के अलावा कुछ नहीं लगता।
चरण 1: वृत्त को बराबर त्रिज्यखंडों में काटो
पिज़्ज़ा की तरह वृत्त को n बराबर त्रिज्यखंडों में काटो, n सम संख्या है। बारी-बारी से रंग बदल दो ताकि अलग पहचाने जा सकें। हर त्रिज्यखंड पतली फाँक है: नुकीला सिरा केंद्र पर, बाहर छोटा-सा टेढ़ा किनारा।
चरण 2: टुकड़ों को एक साथ बिठाओ
एक छोड़कर एक फाँक उलट दो और धकेलकर ऐसे बिठाओ कि नुकीले सिरे पड़ोसियों के बीच की खाली जगह में घुस जाएँ। टुकड़े आपस में फँस जाते हैं, और नई आकृति के ऊपर-नीचे के किनारे छोटे-छोटे चापों से बनते हैं।
न कुछ जोड़ा गया, न कुछ फेंका गया। नई आकृति का क्षेत्रफल ठीक वृत्त के बराबर है, क्योंकि टुकड़े वही हैं।
चरण 3: जो दिखता है उसे नापो
आधी फाँकें ऊपर मुँह किए हैं और आधी नीचे। इसलिए नीचे का किनारा वृत्त के बाहरी वक्र के आधे से बना है, यानी आधी परिधि πr। आकृति की ऊँचाई एक फाँक की लंबाई है, यानी त्रिज्या r।
बहुत पतले टुकड़े हों तो टेढ़े किनारे लगभग सीधे हो जाते हैं और आकृति πr लंबा और r चौड़ा आयत बन जाती है। उसका क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई = πr × r है।
क्षेत्रफल = πr × r = πr²लंबाई × चौड़ाई
चरण 4: त्रुटि को घटते देखो
सिमुलेशन आकृति को ज़बरदस्ती आयत नहीं मानता, असली टुकड़े नापता है। r = 10 के लिए सही क्षेत्रफल 314.16 और आधी परिधि 31.42 है। टुकड़ों की संख्या n बढ़ने पर असली आकृति से जो मिलता है वह नीचे की सारणी में है।
| टुकड़े n | लंबाई | चौड़ाई | क्षेत्रफल | त्रुटि |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 28.28 | 7.07 | 200 | 36.34% |
| 8 | 30.61 | 9.24 | 282.84 | 9.97% |
| 16 | 31.21 | 9.81 | 306.15 | 2.55% |
| 32 | 31.37 | 9.95 | 312.14 | 0.641% |
| 64 | 31.40 | 9.99 | 313.65 | 0.161% |
पाई का संक्षिप्त इतिहास
लगभग चार हज़ार साल पहले बेबीलोन और मिस्र के लोग 3.125 और 3.16 के आसपास के मान इस्तेमाल करते थे। उन्होंने नापा था, सिद्ध नहीं किया था।
आर्किमिडीज़ ने वृत्त के अंदर और बाहर 96 भुजाओं वाले बहुभुज बनाए। वृत्त की परिधि इन दोनों परिमापों के बीच ही होगी, इसलिए पाई 223/71 (लगभग 3.1408) और 22/7 (लगभग 3.1429) के बीच फँस गया। भिन्न 22/7 वहीं से आया है। यह अच्छा सन्निकट मान है, असली मान नहीं।
पाँचवीं सदी में चीनी गणितज्ञ जू चोंगझी ने 355/113 पाया, जो दशमलव के छह स्थानों तक सही है। केरल के संगमग्राम के माधव ने अनंत श्रेणियों से इससे कहीं अधिक अंक निकाले। आज कंप्यूटर खरबों अंक निकाल चुके हैं। पाई कभी खत्म नहीं होता, दोहराता भी नहीं, यानी वह भिन्न नहीं है; 22/7 और 355/113 केवल बहुत नज़दीकी पड़ोसी हैं।
सिमुलेशन में खुद करके देखो
पाँच छोटे प्रयोग उपपत्ति को हाथ में पकड़ने लायक बना देते हैं। सिर्फ़ पढ़ो मत, स्लाइडर चलाकर करो।
- त्रिज्यखंडों की संख्या 4, फिर 12, फिर 64 करो। त्रुटि घटते देखो। r = 5 और n = 12 पर आयत का क्षेत्रफल 75, सही मान 78.54, त्रुटि 4.51%।
- त्रिज्या सबसे छोटी, फिर सबसे बड़ी करो। आकार बदलता है, प्रकार नहीं; त्रुटि का प्रतिशत वही रहता है। त्रुटि काटने पर निर्भर है, नाप पर नहीं।
- मापन में त्रिज्या 5 से 10 सेमी करो। परिधि दोगुनी होती है पर क्षेत्रफल चार गुना (78.57 से 314.29 वर्ग सेमी)। क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के साथ बढ़ता है।
- “परिधि और पाई” में त्रिज्या 1, 6 और 12 रखकर परिधि ÷ व्यास पढ़ो। हर बार वही संख्या आती है, इसी वजह से पाई स्थिरांक है।
- “त्रिज्यखंड और चाप” में θ = 180 करो। चाप आधी परिधि है और त्रिज्यखंड आधा क्षेत्रफल: अर्धवृत्त। θ = 360 करने पर दोनों पट्टे पूरे भर जाते हैं।
त्रिज्यखंड और चाप: सूत्र की एक फाँक
त्रिज्यखंड केंद्र से शुरू होने वाली वृत्त की एक फाँक है। उसका केंद्रीय कोण θ अंश हो तो वह पूरे वृत्त का θ/360 भाग है। इसलिए उसका क्षेत्रफल और चाप की लंबाई वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि का वही भाग हैं।
पूरी तरकीब इसी भिन्न में है। 90° यानी चौथाई, 60° यानी छठा भाग, 180° यानी आधा। पहले भिन्न निकालो, फिर गुणा करो।
l = (θ/360) × 2πrचाप की लंबाई
A = (θ/360) × πr²त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
A = ½ × l × rचाप से त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
हल किए हुए प्रश्न
नीचे हर उत्तर सिमुलेशन वाले सूत्रों से ही निकाला गया है, π = 22/7 लेकर।
प्रश्न 1: त्रिज्या से क्षेत्रफल और परिधि (r = 7 सेमी)
क्षेत्रफल = π × r² = 22/7 × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी। परिधि = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी।
प्रश्न 2: व्यास से (d = 20 सेमी)
पहले आधा करो: r = 20 ÷ 2 = 10 सेमी। क्षेत्रफल = 22/7 × 10² = 314.29 वर्ग सेमी। परिधि = 2 × 22/7 × 10 = 62.86 सेमी।
प्रश्न 3: परिधि से (C = 44 सेमी)
C = 2πr से r = C ÷ 2π = 44 ÷ (2 × 22/7) = 7 सेमी। तब क्षेत्रफल 22/7 × 7² = 154 वर्ग सेमी।
प्रश्न 4: त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी वाला वृत्ताकार पथ
पथ यानी बड़े वृत्त में से अंदर का खाली वृत्त घटाना। बड़ा वृत्त: 22/7 × 14² = 616 वर्ग सेमी। अंदर का वृत्त: 22/7 × 7² = 154 वर्ग सेमी। पथ का क्षेत्रफल = 462 वर्ग सेमी।
छोटा रास्ता: π(R² − r²) = 22/7 × (196 − 49) = 22/7 × 147। पहले वर्ग करो फिर घटाओ, त्रिज्याएँ घटाकर वर्ग मत करो।
प्रश्न 5: त्रिज्या 21 सेमी के वृत्त में 60° का त्रिज्यखंड
भिन्न 60/360 = 1/6। चाप की लंबाई = (1/6) × 2 × 22/7 × 21 = 22 सेमी। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/6) × 22/7 × 21² = 231 वर्ग सेमी।
त्रिज्यखंड के परिमाप में दोनों सीधे किनारे भी जुड़ते हैं: 22 + 42 = 64 सेमी।
प्रश्न 6: गोल मैदान की बाड़ और टाइलें (व्यास 28 मीटर)
त्रिज्या = 14 मीटर। बाड़ की लंबाई = परिधि = 2 × 22/7 × 14 = 88 मीटर। 50 रुपये प्रति मीटर हो तो बाड़ का खर्च 4,400 रुपये।
फर्श पर टाइलें लगाने में क्षेत्रफल लगता है: 22/7 × 14² = 616 वर्ग मीटर। 120 रुपये प्रति वर्ग मीटर हो तो खर्च 73,920 रुपये। बाड़ में परिधि, टाइलों में क्षेत्रफल।
प्रश्न 7: त्रिज्या 14 सेमी का अर्धवृत्त
क्षेत्रफल πr² का आधा: 308 वर्ग सेमी। परिमाप = टेढ़ा भाग πr = 44 सेमी और सीधा व्यास 28 सेमी, कुल 72 सेमी। बहुत से विद्यार्थी सीधा किनारा भूल जाते हैं।
प्रश्न 8: पहिया कितने चक्कर लगाएगा?
पहिए का व्यास 70 सेमी है। एक चक्कर में परिधि के बराबर 220 सेमी चलता है। 220 मीटर यानी 22,000 सेमी, इसलिए पहिया 22,000 ÷ 220 = 100 चक्कर लगाएगा।
आम गलतियाँ
इन पाँच गलतियों से हर साल अंक कटते हैं। कॉपी जमा करने से पहले एक बार मिला लो।
- πr² में त्रिज्या की जगह व्यास रख देना। पहले व्यास का आधा करो।
- क्षेत्रफल की इकाई सेमी लिखना, जबकि वर्ग सेमी होनी चाहिए। क्षेत्रफल समतल जगह है, इसलिए इकाई वर्ग में है।
- 2πr (परिधि) और πr² (क्षेत्रफल) में गड़बड़ करना। एक में 2 है, वर्ग नहीं; दूसरे में वर्ग है, 2 नहीं।
- वृत्ताकार पथ में पहले त्रिज्याएँ घटाकर वर्ग करना। सही सूत्र π(R² − r²) है, π(R − r)² नहीं।
- अर्धवृत्त या त्रिज्यखंड का परिमाप निकालते समय सीधे किनारे छोड़ देना।
असली ज़िंदगी में वृत्त
वृत्त का क्षेत्रफल तय करता है कि पिज़्ज़ा में कितना खाना है, गोल मेज़ पर कितना रंग लगेगा, गोल तालाब में कितना पानी आएगा। किसान सिंचाई की जो मशीन घुमाकर गोल खेत सींचते हैं, उसका सींचा हुआ क्षेत्रफल πr² है, जहाँ r मशीन की भुजा की लंबाई है।
इंजीनियर इसे पाइपों में इस्तेमाल करते हैं: पाइप कितना पानी ले जा सकता है वह उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल πr² पर निर्भर है, इसलिए त्रिज्या दोगुनी करने पर क्षमता चार गुनी हो जाती है। पहिये के हर चक्कर में साइकिल 2πr आगे बढ़ती है, स्पीडोमीटर इसी हिसाब से चलता है।
डॉक्टर गोल घाव का क्षेत्रफल नापकर भरने की प्रगति देखते हैं, खगोलविद सूर्य की चकती का क्षेत्रफल आँकते हैं। जहाँ भी कोई गोल चीज़ अहम हो, πr² आसपास ही होता है।
परीक्षा की तैयारी
कक्षा 10 और बोर्ड परीक्षा में वृत्त के प्रश्न अधिकतर पाँच तरह के होते हैं। लिखना शुरू करने से पहले प्रकार पहचान लो।
- सीधा प्रतिस्थापन: r या d दिया है, क्षेत्रफल या परिधि निकालो।
- उल्टा रास्ता: क्षेत्रफल या परिधि दी है, पहले r निकालो।
- मिश्र आकृतियाँ: वृत्ताकार पथ, अर्धवृत्त, वर्ग में से कटा वृत्त। क्षेत्रफल जोड़ो या घटाओ।
- त्रिज्यखंड और चाप: पहले भिन्न θ/360 लिखो, फिर गुणा करो।
- खर्च और दर: बाड़ में परिधि, टाइलों में क्षेत्रफल; अंत में दर से गुणा करो।
दोहराने का सार
इस पेज से और कुछ याद न रहे, तो ये पंक्तियाँ याद रखना।
d = 2rव्यास
C = 2πr = πdपरिधि
A = πr²क्षेत्रफल
पथ = π(R² − r²)वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल
l = (θ/360) × 2πrचाप की लंबाई
त्रिज्यखंड = (θ/360) × πr²त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
- टुकड़ों वाली उपपत्ति में लंबाई πr और चौड़ाई r है, इसलिए क्षेत्रफल πr² है।
- प्रश्न में कुछ और न लिखा हो तो π = 22/7 लो।
- क्षेत्रफल की इकाई वर्ग में, परिधि की इकाई साधारण।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल A = πr² है, जहाँ r त्रिज्या है। त्रिज्या का वर्ग करके π से गुणा करो; π का मान लगभग 3.1416 या 22/7 है। केवल व्यास पता हो तो पहले आधा करके त्रिज्या निकालो।
क्षेत्रफल πr² क्यों है, πd² क्यों नहीं?
उपपत्ति में वृत्त को ऐसे आयत में सजाया जाता है जिसकी लंबाई आधी परिधि (πr) और चौड़ाई त्रिज्या (r) है। लंबाई × चौड़ाई = πr²। व्यास त्रिज्या का दोगुना है, इसलिए π(d/2)² = πd²/4, यानी वही बात दूसरे रूप में।
परिधि और क्षेत्रफल में क्या अंतर है?
परिधि वृत्त के चारों ओर की लंबाई है, इकाई सेमी जैसी साधारण। क्षेत्रफल अंदर की समतल जगह है, इकाई वर्ग सेमी जैसी वर्ग में। परिधि 2πr और क्षेत्रफल πr² है।
क्या पाई ठीक 22/7 है?
नहीं। 22/7 लगभग 3.142857 है, जबकि पाई लगभग 3.141593 है। यह आर्किमिडीज़ के समय का सुविधाजनक सन्निकट मान है। पाई अपरिमेय है, इसलिए किसी भी भिन्न के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता।
परिधि से क्षेत्रफल कैसे निकालें?
पहले r = C ÷ 2π से त्रिज्या निकालो, फिर A = πr² लगाओ। ऊपर प्रश्न 3 में संख्याओं सहित दिखाया है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
वृत्त के क्षेत्रफल को θ/360 से गुणा करो, जहाँ θ अंशों में केंद्रीय कोण है। 90° का त्रिज्यखंड πr² का चौथाई होता है।
वृत्ताकार पथ का क्षेत्रफल कितना होता है?
बड़े वृत्त में से छोटा वृत्त घटाओ: π(R² − r²)। पहले दोनों त्रिज्याओं का अलग-अलग वर्ग करो, फिर घटाओ।
क्या सिमुलेशन सूत्र को सिद्ध करता है?
यह उपपत्ति का विचार दिखाता है। सीमित टुकड़ों में आकृति आयत के केवल करीब होती है, और त्रुटि वाला खाना बताता है कि कितने करीब। पूरी उपपत्ति में टुकड़ों की संख्या बिना सीमा के बढ़ाई जाती है।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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SSC Mathematics: syllabus and preparation
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Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
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HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
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Class 9-10 Higher Mathematics textbook
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Engineering admission test preparation
Admission
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Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
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अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
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