नियंत्रण
कौन-सा वक्र चाहिए
मापन
- वक्र
- दीर्घवृत्त
- झुकाव θ
- 30°
- उत्केंद्रता e
- 0.707
- नियम
- 0 < e < 1
- मानक समीकरण
- x²/3.00 + y²/1.50 = 1
- अर्ध-दीर्घ अक्ष a
- 1.732
- अर्ध-लघु अक्ष b
- 1.225
- केंद्र से नाभि की दूरी
- 1.225
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- बाईं ओर 3D द्वि-शंकु है, उसे काटता एक पारदर्शी तल है, और जहाँ दोनों मिलते हैं वहाँ चमकीला नारंगी वक्र। शंकु घुमाने के लिए बाएँ भाग में खींचिए, या चला दीजिए तो वह खुद घूमेगा। दाईं ओर वही नारंगी वक्र समतल में बनाया गया है।
- “कौन-सा वक्र चाहिए” से सीधे पहुँचिए। वृत्त बटन झुकाव 0° करता है, दीर्घवृत्त 30°, परवलय 45° और अतिपरवलय 65°। शुरू में झुकाव 30° है, इसलिए कटान दीर्घवृत्त है।
- “तल का झुकाव” स्लाइडर को धीरे-धीरे 0° से 80° तक खींचिए। वृत्त खिंचकर दीर्घवृत्त बनता है, और खिंचता है, फिर ठीक 45° पर परवलय। उस कोण पर तल शंकु की सतह के समांतर होता है। 45° के बाद एक वक्र टूटकर दो शाखाएँ बन जाता है: अतिपरवलय।
- उत्केंद्रता e देखिए (दाएँ वक्र के नीचे और मापन में)। 30° पर इसका मान 0.707 है। झुकाव बढ़ाने पर e बढ़ता है: वृत्त में 0, परवलय में 1, अतिपरवलय में 1 से अधिक।
- “अक्ष पर काटने की ऊँचाई” बदलिए। तल अक्ष पर ऊपर-नीचे खिसकता है। वक्र बड़ा या छोटा होता है, पर आकार और e नहीं बदलते, क्योंकि आकार सिर्फ़ झुकाव तय करता है।
- “मानक समीकरण” मापन देखिए। शुरुआती स्थिति में वहाँ x²/3.00 + y²/1.50 = 1 लिखा है, और नाभियाँ F, F′ केंद्र से 1.225 इकाई दूर हैं।
अँधेरे कमरे में टॉर्च
अँधेरे कमरे में टॉर्च जलाकर उसे दीवार की ओर सीधा कीजिए। रोशनी का धब्बा गोल है, यानी वृत्त। अब टॉर्च को थोड़ा ऊपर झुकाइए। गोला खिंचकर अंडाकार हो जाता है। और झुकाने पर अंडाकार छत की ओर भागकर खुला, U-आकार का किनारा बन जाता है। उससे भी ज़्यादा झुकाने पर रोशनी की सीमा दो अलग शाखाओं वाला वक्र बन जाती है, एक दीवार पर और दूसरी (कल्पना कीजिए कि रोशनी का शंकु टॉर्च के पीछे भी जाता है) आपके पीछे।
टॉर्च की रोशनी का आकार एक शंकु है और दीवार उसे काटने वाला तल। धब्बे का किनारा ही शांकव परिच्छेद है। लगभग दो हज़ार साल पहले मेनाइक्मस और अपोलोनियस जैसे यूनानी गणितज्ञों ने इन वक्रों का अध्ययन किया था, तब किसी को पता नहीं था कि ग्रह इन्हीं पथों पर चलते हैं। इस पृष्ठ पर आप टॉर्च का वही प्रयोग स्लाइडर से कर सकते हैं।
शंकु को काटना: एक झुकाव, चार वक्र
सिमुलेशन के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण 45° है, यानी उसकी सतह आधार से 45° का कोण बनाती है। काटने वाला तल क्षैतिज से θ कोण पर झुका है। नियम छोटा है।
e = √2 · sin θइस 45° वाले शंकु के परिच्छेद की उत्केंद्रता; θ = 0 पर 0, θ = 45° पर ठीक 1
- θ = 0°, तल अक्ष पर लंब: वृत्त।
- 0° < θ < 45°, शंकु की सतह से चपटा: दीर्घवृत्त।
- θ = 45°, शंकु की सतह के समांतर: परवलय (एक ही खुली शाखा)।
- θ > 45°, सतह से ज़्यादा खड़ा: अतिपरवलय (दो शाखाएँ, शंकु के हर आधे में एक)।
| झुकाव θ | वक्र | उत्केंद्रता e |
|---|---|---|
| 0° | वृत्त | 0.000 |
| 15° | दीर्घवृत्त | 0.366 |
| 30° | दीर्घवृत्त | 0.707 |
| 45° | परवलय | 1.000 |
| 60° | अतिपरवलय | 1.225 |
| 75° | अतिपरवलय | 1.366 |
उत्केंद्रता: वक्र कितना खिंचा हुआ है?
शांकव परिच्छेद को शंकु के बिना भी परिभाषित किया जा सकता है। एक बिंदु F (नाभि) और एक सरल रेखा d (नियता) लीजिए। बिंदु P वक्र पर तब है जब F से उसकी दूरी, d से उसकी दूरी का एक निश्चित गुना e हो: PF = e × Pd। यही e उत्केंद्रता है।
उत्केंद्रता को “खिंचाव का नंबर” समझिए। वृत्त में e = 0, बिल्कुल गोल। e जैसे-जैसे 1 की ओर बढ़ता है, दीर्घवृत्त लंबा और पतला होता जाता है। ठीक 1 पर वह खुलकर परवलय बन जाता है। 1 से ज़्यादा होने पर टूटकर अतिपरवलय की दो भुजाएँ, और e जितना बड़ा, भुजाएँ उतनी चपटी।
PF = e × Pdनाभि-नियता परिभाषा
e = c / aदीर्घवृत्त में (c = केंद्र से नाभि की दूरी, a = अर्ध-दीर्घ अक्ष)
| उत्केंद्रता | वक्र |
|---|---|
| e = 0 | वृत्त |
| 0 < e < 1 | दीर्घवृत्त |
| e = 1 | परवलय |
| e > 1 | अतिपरवलय |
वृत्त: सबसे सरल शांकव परिच्छेद
वृत्त का हर बिंदु केंद्र से एक ही दूरी r पर होता है। केंद्र मूल-बिंदु पर हो तो मानक समीकरण x² + y² = r² है। यहाँ दोनों नाभियाँ मिलकर केंद्र में आ गई हैं, इसीलिए उत्केंद्रता शून्य है।
सिमुलेशन में झुकाव 0° करें तो वृत्त की त्रिज्या वही होती है जिस ऊँचाई c पर तल अक्ष को काटता है। यह स्वाभाविक है: x² + y² = z² वाले शंकु में हर ऊँचाई पर त्रिज्या और ऊँचाई बराबर होती हैं।
x² + y² = r²केंद्र मूल-बिंदु पर, त्रिज्या r
दीर्घवृत्त: दो नाभियों वाला खिंचा हुआ वृत्त
दीर्घवृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों F और F′) से दूरियों का योग स्थिर, 2a, रहता है। लंबी दिशा का आधा a अर्ध-दीर्घ अक्ष है और छोटी दिशा का आधा b अर्ध-लघु अक्ष। नाभियाँ लंबे अक्ष पर केंद्र से c दूरी पर होती हैं, जहाँ c² = a² − b²। उत्केंद्रता e = c ÷ a।
सिमुलेशन की शुरुआती स्थिति (झुकाव 30°, c = 1.0) में परिच्छेद दीर्घवृत्त है जिसमें a² = 3.00 और b² = 1.50। इसलिए c² = 3.00 − 1.50, नाभियाँ केंद्र से 1.225 दूर हैं, और e = 1.225 ÷ 1.732 = 0.707, जो √2 · sin 30° से मेल खाता है।
x²/a² + y²/b² = 1केंद्र मूल-बिंदु पर, a > b
c² = a² − b²नाभियाँ (±c, 0) पर
PF + PF′ = 2aधागे वाली परिभाषा
परवलय: वह वक्र जो कभी बंद नहीं होता
परवलय उन बिंदुओं का समुच्चय है जो एक नाभि F और एक सरल रेखा (नियता) से बराबर दूरी पर हों। शीर्ष मूल-बिंदु पर हो और वक्र दाईं ओर खुला हो, तो F = (a, 0), नियता x = −a और समीकरण y² = 4ax है। यहाँ a (कई लोग p लिखते हैं) नाभि-दूरी है। सिमुलेशन में नियता लाल बिंदीदार रेखा से बनी है और मापन में p दिखाया जाता है।
परवलय की दूसरी नाभि नहीं होती, केंद्र भी नहीं, इसलिए a और b के खानों में “कोई नहीं” लिखा होना सही है। इसकी उत्केंद्रता ठीक 1 है। इसी वजह से एक झुकाव (यहाँ 45°) ख़ास है: वह बंद होने वाले और न होने वाले वक्रों की सीमा रेखा है।
y² = 4axशीर्ष मूल-बिंदु पर, दाएँ खुला, नाभि (a, 0), नियता x = −a
x² = 4ayऊपर खुला, नाभि (0, a)
अतिपरवलय: दो शाखाएँ और दो अनंतस्पर्शी
अतिपरवलय उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दो नाभियों से दूरियों का अंतर स्थिर, 2a, रहता है। इसकी दो अलग शाखाएँ होती हैं। केंद्र से दूर हर शाखा रेखाओं y = ±(b/a)x की ओर सीधी होती जाती है; इन्हें अनंतस्पर्शी कहते हैं। नाभियाँ शीर्षों से ज़्यादा दूर होती हैं: c² = a² + b², इसलिए e = c ÷ a हमेशा 1 से बड़ा होता है।
प्रीसेट दबाकर देखिए। 65° पर (c = 1) मापन में a = 0.657, b = 0.527 और e = 1.282 दिखता है। 3D चित्र बताता है कि दो शाखाएँ क्यों हैं: एक शंकु के ऊपरी आधे में और दूसरी निचले आधे में।
x²/a² − y²/b² = 1केंद्र मूल-बिंदु पर, बाएँ-दाएँ खुला
c² = a² + b²नाभियाँ (±c, 0) पर
y = ±(b/a)xअनंतस्पर्शी
समीकरण देखकर वक्र का नाम बताइए
परीक्षा में अक्सर समीकरण देकर पूछा जाता है कि यह कौन-सा शांकव है। पहले वर्गों को देखिए। x और y दोनों का वर्ग हो, चिह्न एक-सा और गुणांक बराबर हो तो वृत्त सोचिए। चिह्न एक-सा पर गुणांक अलग हों तो दीर्घवृत्त। चिह्न उलटे हों तो अतिपरवलय। सिर्फ़ एक का वर्ग हो तो परवलय।
व्यापक समीकरण Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 के लिए B² − 4AC एक ही चरण में बता देता है: ऋणात्मक हो तो दीर्घवृत्त (A = C और B = 0 हो तो वृत्त), शून्य हो तो परवलय, और धनात्मक हो तो अतिपरवलय।
| समीकरण | क्या दिखता है | वक्र |
|---|---|---|
| x² + y² = 25 | एक-सा चिह्न, बराबर गुणांक | वृत्त |
| 4x² + 9y² = 36 | एक-सा चिह्न, अलग गुणांक | दीर्घवृत्त |
| y² = 8x | सिर्फ़ y का वर्ग | परवलय |
| x² − y² = 4 | उलटे चिह्न | अतिपरवलय |
सिमुलेशन में खुद आज़माइए
पाँच छोटे प्रयोग। हर एक में एक मिनट भी नहीं लगेगा।
- झुकाव 0° से धीरे-धीरे 44° तक बढ़ाइए। e शून्य से बढ़ता है और दीर्घवृत्त खिंचता है। 44° और 45° को आगे-पीछे देखिए: दीर्घवृत्त इतना लंबा है कि शंकु से लगभग बाहर निकल जाता है।
- परवलय बटन दबाइए। नियता दिखेगी। तल की ऊँचाई c बदलिए: परवलय चौड़ा होता है, p बढ़ता है, पर आकार परवलय ही रहता है।
- अतिपरवलय बटन दबाकर शंकु घुमाइए। दोनों शाखाएँ खोजिए, शंकु के हर आधे में एक।
- झुकाव 46° से 80° तक बढ़ाइए। अतिपरवलय की दोनों भुजाएँ धीरे-धीरे दो प्रतिच्छेदी सरल रेखाओं के पास आती हैं। 90° पर तल अक्ष को ही समेट लेता और शंकु को दो सरल रेखाओं में काटता।
- घुमाव रोककर ऊँचाई c बदलिए और a, b तथा समीकरण की तुलना कीजिए। कौन-से बदलते हैं और कौन-से नहीं?
हल किए हुए प्रश्न
सात जाने-पहचाने प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले सूत्रों से ही निकाली गई है।
प्रश्न 1: कौन-से झुकाव पर कौन-सा वक्र? (20°, 45°, 70°)
शंकु की सतह 45° पर है, इसलिए हर झुकाव की तुलना 45° से कीजिए। 20° छोटा है: दीर्घवृत्त, e = √2 · sin 20° = 0.484। 45° बराबर है: परवलय, e = 1.000। 70° बड़ा है: अतिपरवलय, e = 1.329।
प्रश्न 2: x²/25 + y²/9 = 1 की नाभियाँ और उत्केंद्रता
x²/a² + y²/b² = 1 से मिलाइए: a² = 25, इसलिए a = 5; b² = 9, इसलिए b = 3। तब c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, अतः c = 4।
नाभियाँ (±4, 0)। उत्केंद्रता e = c ÷ a = 4 ÷ 5 = 0.80। दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a = 10। नाभिलंब जीवा की लंबाई 2b² ÷ a = 3.60।
प्रश्न 3: y² = 12x की नाभि और नियता
y² = 4ax से मिलाइए: 4a = 12, इसलिए a = 3। नाभि (3, 0) और नियता x = -3। नाभिलंब की लंबाई 4a = 12।
जाँच: x = 3 वाले बिंदु पर y² = 12 × 3, इसलिए y = ±6। यह बिंदु नाभि के ठीक ऊपर है, इसलिए नाभि से दूरी 6 है। नियता x = -3 से दूरी 3 + 3 = 6। दोनों 6 हैं, ठीक वैसे जैसे PF = Pd परिभाषा माँगती है।
प्रश्न 4: x²/9 − y²/16 = 1 के अनंतस्पर्शी और उत्केंद्रता
यहाँ a² = 9, b² = 16, इसलिए a = 3, b = 4। अतिपरवलय में c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, अतः c = 5।
नाभियाँ (±5, 0)। शीर्ष (±3, 0)। उत्केंद्रता e = c ÷ a = 5 ÷ 3 = 1.67, जो 1 से बड़ी है, जैसी होनी चाहिए। अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x = ±1.33x।
प्रश्न 5: हर वक्र का नाम बताइए
4x² + 9y² = 36: दोनों के वर्ग, एक-सा चिह्न, अलग गुणांक। 36 से भाग देने पर x²/9 + y²/4 = 1: दीर्घवृत्त। A = 4, B = 0, C = 9 लेकर B² − 4AC = -144, ऋणात्मक।
x² − y² = 4: उलटे चिह्न, अतिपरवलय। a = b हो तो इसे आयताकार अतिपरवलय कहते हैं, जिसकी उत्केंद्रता √2 = 1.414 है। y² = 8x: सिर्फ़ y का वर्ग, इसलिए परवलय, 4a = 8, a = 2। x² + y² = 25: त्रिज्या 5 का वृत्त।
प्रश्न 6: नाभियाँ (±3, 0) और e = 0.60 वाला दीर्घवृत्त
e = c ÷ a और c = 3, इसलिए a = c ÷ e = 3 ÷ 0.60 = 5। तब b² = a² − c² = 25 − 9 = 16।
दीर्घवृत्त x²/25 + y²/16 = 1 है।
प्रश्न 7: सैटेलाइट डिश का रिसीवर कहाँ लगेगा?
डिश एक परवलयज है, उसका अनुप्रस्थ काट परवलय y² = 4ax है। मान लीजिए डिश का व्यास 2.4 मीटर और गहराई 0.45 मीटर है। शीर्ष को मूल-बिंदु पर रखें तो किनारा x = 0.45, y = 1.2 पर है। रखिए: 1.2² = 4a × 0.45, यानी 1.44 = 1.80a, इसलिए a = 0.80 मीटर।
रिसीवर नाभि पर लगेगा, अक्ष के साथ शीर्ष से 0.80 मीटर दूर। अक्ष के समांतर आने वाली हर किरण परावर्तित होकर उसी एक बिंदु पर मिलती है।
आम गलतियाँ
हर साल इन गलतियों से अंक कटते हैं।
- a, b और c को गड़बड़ा देना। दीर्घवृत्त में a बड़ा होता है और c² = a² − b²। अतिपरवलय में c² = a² + b², और a ज़रूरी नहीं कि a, b में बड़ा हो।
- परवलय की e को 0 और 1 के बीच बताना। वह ठीक 1 है।
- सोचना कि तल की ऊँचाई आकार बदलती है। वह केवल माप बदलती है; वक्र झुकाव चुनता है।
- यह भूल जाना कि अतिपरवलय की दो शाखाएँ होती हैं और परवलय की एक।
- y² = 4ax की नाभि (4a, 0) लिख देना। सही उत्तर (a, 0) है।
- जिस समीकरण में xy पद हट चुका है उस पर भी B² − 4AC खोजना। B = 0 हो तो AC का चिह्न वही काम करता है।
असल ज़िंदगी में शांकव परिच्छेद
शांकव परिच्छेद सिर्फ़ परीक्षा के वक्र नहीं हैं। आसपास की गति और आकृतियों का वर्णन यही करते हैं।
- ग्रह और धूमकेतु सूर्य को एक नाभि पर रखकर दीर्घवृत्त में चलते हैं। जो धूमकेतु लौटकर नहीं आता, वह परवलय या अतिपरवलय पथ पर चलता है।
- सैटेलाइट डिश, टॉर्च के परावर्तक और कार की हेडलाइट परवलयाकार हैं: वे बिंदु-स्रोत को समांतर किरण-पुंज में बदलते हैं, और उलटा भी।
- फुसफुसाती दीर्घाओं में दीर्घवृत्त काम आता है: एक नाभि की आवाज़ टकराकर दूसरी नाभि पर पहुँचती है।
- दो संकेत पहुँचने के समय के अंतर से स्थिति निकालने वाले नेविगेशन में अतिपरवलय का उपयोग होता है।
- ऊपर फेंकी गई गेंद (हवा को अनदेखा करें तो) परवलय पथ पर चलती है।
- लैंपशेड की रोशनी दीवार पर अतिपरवलय की दो शाखाओं जैसी छाया बनाती है।
परीक्षा का कोना
कक्षा 11-12, JEE या SAT में शांकव परिच्छेद के प्रश्न आमतौर पर इन रूपों में आते हैं।
- समीकरण देखकर वक्र पहचानना (B² − 4AC से)।
- मानक समीकरण से नाभि, शीर्ष, उत्केंद्रता और नियता निकालना।
- दो तथ्यों से समीकरण लिखना, जैसे नाभि और e, या शीर्ष और नाभि।
- दो समीकरणों को साथ हल करके स्पर्श-रेखा का समीकरण या रेखा और वक्र के कटान-बिंदु निकालना।
- डिश, मेहराब या कक्षा के शाब्दिक प्रश्न: मानक समीकरण मानिए और एक ज्ञात बिंदु रखिए।
त्वरित दोहराव
एक ही बात याद रखनी हो तो यह: काटने वाले तल का झुकाव वक्र तय करता है, और e उसे मापता है।
वृत्त: x² + y² = r² (e = 0)
दीर्घवृत्त: x²/a² + y²/b² = 1, c² = a² − b², e = c/a < 1
परवलय: y² = 4ax, नाभि (a, 0), नियता x = −a, e = 1
अतिपरवलय: x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b², e = c/a > 1
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
शांकव परिच्छेद क्या हैं?
द्वि-शंकु को किसी तल से काटने पर मिलने वाले वक्र शांकव परिच्छेद कहलाते हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय। कौन-सा मिलेगा, यह केवल तल और शंकु के अक्ष के बीच के कोण पर निर्भर है।
वृत्त दीर्घवृत्त का विशेष रूप क्यों है?
दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ होती हैं। दोनों नाभियाँ एक बिंदु पर मिल जाएँ तो दूरियों का योग केंद्र से एक स्थिर दूरी बन जाता है, और दीर्घवृत्त वृत्त बन जाता है। उसकी उत्केंद्रता शून्य है।
उत्केंद्रता क्या है?
उत्केंद्रता e वक्र के किसी बिंदु की नाभि से दूरी और नियता से दूरी का अनुपात है। यह नापती है कि वक्र वृत्त से कितना दूर है: e = 0 वृत्त, 0 < e < 1 दीर्घवृत्त, e = 1 परवलय, e > 1 अतिपरवलय।
समीकरण से परवलय और अतिपरवलय में फ़र्क़ कैसे करें?
परवलय में केवल एक चर का वर्ग होता है (y² = 4ax)। अतिपरवलय में दोनों के वर्ग होते हैं, उलटे चिह्नों में (x²/a² − y²/b² = 1)। व्यापक रूप में B² − 4AC परवलय के लिए शून्य और अतिपरवलय के लिए धनात्मक होता है।
परवलय की नाभि कहाँ होती है?
y² = 4ax की नाभि (a, 0) है, शीर्ष से a दूरी पर, और नियता रेखा x = −a है। परवलय का हर बिंदु इन दोनों से बराबर दूरी पर होता है।
अतिपरवलय की दो शाखाएँ क्यों होती हैं?
क्योंकि द्वि-शंकु के दो आधे शीर्ष पर जुड़े होते हैं। शंकु की सतह से ज़्यादा खड़ा तल दोनों आधों को काटता है, और हर आधा एक शाखा देता है।
अगर तल शंकु के शीर्ष से गुज़रे तो क्या होता है?
यह अपभ्रष्ट स्थिति है। तब परिच्छेद एक बिंदु, एक सरल रेखा या दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ बनता है, असली वक्र नहीं। सिमुलेशन में तल को शीर्ष से दूर रखा गया है ताकि आपको हमेशा असली वक्र दिखे।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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Class 9-10 Higher Mathematics textbook
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Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
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समुच्चय और वेन आरेख
सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर और पूरक को वेन आरेख में रंगकर देखें, संख्याएँ रखें, n(A ∪ B) सूत्र जाँचें और डी मॉर्गन के नियम परखें, हल किए प्रश्नों के साथ।
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रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
सरल रेखा का ढाल, अंतःखंड और कोण एनिमेशन में देखें। दो रैखिक समीकरणों का आलेख खींचकर हल निकालें और अनुपात से संगत-असंगत पहचानें, कक्षा 10 के अनुसार।
कक्षा 11
sin, cos, tan के आलेख
स्लाइडर से y = A sin(Bx + C) + D बनाएँ: आयाम, आवर्तकाल, कला विस्थापन, परिसर और tan के अनंतस्पर्शी खुद देखें। त्रिकोणमितीय फलन के आलेख, हल सहित।
कक्षा 10
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
टाइलों से पूर्ण वर्ग बनाने की विधि देखें, द्विघात समीकरण के मूल और शीर्ष निकालें और जानें कि सूत्र क्यों काम करता है। मुफ़्त सिमुलेशन, हल किए उदाहरणों सहित।
कक्षा 10
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
वृत्त को टुकड़ों में काटकर आयत बनाओ और देखो कि क्षेत्रफल πr² कैसे बनता है। परिधि, पाई, त्रिज्यखंड, चाप और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त इंटरैक्टिव सिमुलेशन।
कक्षा 8 · 10
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
छह ठोसों को 3D में घुमाइए, जाल खोलकर देखिए और शंकु का पानी बेलन में उड़ेलकर समझिए कि वह ठीक तीन बार में क्यों भरता है। सूत्रों और हल किए प्रश्नों के साथ निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 10
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
स्लाइडर से त्रिभुज को बड़ा-छोटा करें और देखें कि कोण बराबर रहते हैं, भुजाओं का अनुपात k रहता है और क्षेत्रफल k² गुना होता है। AA, SSS, SAS नियमों और छाया के सवालों वाला मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 10
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
ग्रिड पर बिंदु खींचकर देखें कि दूरी सूत्र, मध्य-बिंदु, ढाल और विभाजन सूत्र कैसे बदलते हैं। लंब समद्विभाजक बिंदुपथ और हल किए प्रश्नों वाला मुफ़्त निर्देशांक ज्यामिति सिमुलेशन।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
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