जनसंख्या वृद्धि सिमुलेशन: चरघातांकी बनाम लॉजिस्टिक | Shikkha Web

चरघातांकीलॉजिस्टिकवहन क्षमता K

गति

नियंत्रण

वृद्धि दर r0.40 h⁻¹

वहन क्षमता K1,000 कोशिकाएँ

शुरुआती संख्या N₀10 कोशिकाएँ

चरघातांकी रेखा दिखाएँनाम दिखाएँ

मापन

समय: 15.0घंटे
चरघातांकी संख्या: 4,034कोशिकाएँ
लॉजिस्टिक संख्या: 803कोशिकाएँ
दोगुना होने का समय: 1.73घंटे
अभी की वृद्धि दर: 63.3कोशिकाएँ/घंटा
अधिकतम वृद्धि दर: 100.0कोशिकाएँ/घंटा
K/2 तक पहुँचने का समय: 11.5घंटे
प्रति कोशिका वृद्धि r(1 − N/K): 0.08h⁻¹

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

बाईं ओर का ग्राफ़ देखें। नारंगी वक्र चरघातांकी वृद्धि है और नीला वक्र लॉजिस्टिक वृद्धि। धराशायी रेखा वहन क्षमता K दिखाती है। एक प्लेहेड समय की धुरी पर चलता है और वक्रों पर बिंदु अभी की संख्या दिखाते हैं।
दाईं ओर पेट्री डिश को बिंदुओं से भरते देखें। यह लॉजिस्टिक जनसंख्या है; K बड़ा हो तो एक बिंदु कई कोशिकाओं का प्रतीक है।
वृद्धि दर का स्लाइडर r बढ़ाएँ। दोनों वक्र तेज़ी से चढ़ते हैं और दोगुना होने के समय की रीडिंग घटती है।
वहन क्षमता का स्लाइडर K खींचें। नीला वक्र शुरू में नारंगी के साथ चलता है, पर नई छत पर आकर समतल हो जाता है जबकि नारंगी आगे निकल जाता है।
शुरुआती संख्या N₀ बदलें और वक्रों को बाएँ-दाएँ खिसकते देखें, क्योंकि बड़ी शुरुआत को उसी आकार तक पहुँचने में कम समय लगता है।
चरघातांकी वक्र बंद करके केवल S-वक्र पढ़ें, फिर रीसेट दबाकर सामान्य मानों पर लौटें और नीचे के हल किए सवालों से संख्याएँ मिलाएँ।

वह फ़्लास्क जिसका भोजन खत्म हो गया

गर्म पोषक शोरबे के एक फ़्लास्क में एक जीवाणु डालिए। लगभग हर बीस मिनट में वह दो हो जाता है। एक घंटे में आठ, तीन घंटे में पाँच सौ बारह, और अगली सुबह तक फ़्लास्क में पृथ्वी के इंसानों से ज़्यादा जीवाणु होने चाहिए। कम से कम हिसाब तो यही कहता है।

असल में फ़्लास्क कभी इतना नहीं भरता। शोरबे की चीनी खत्म होती है, अपशिष्ट जमता है, द्रव अम्लीय हो जाता है, और वृद्धि धीमी होकर रुक जाती है। अंतिम संख्या फ़्लास्क तय करता है, जीवाणु नहीं।

इसी एक उदाहरण में पूरा विषय है। अकेला छोड़ने पर जनसंख्या गुणा होकर बढ़ती है, और गुणा जोड़ से बहुत जल्दी जीतता है। पर हर आवास सीमित संख्या ही सँभाल सकता है, और उस सीमा के पास पहुँचते ही वृद्धि दर गिरती है।

इस पन्ने पर आप स्लाइडर से दोनों तस्वीरें चला सकते हैं, खुद देखेंगे कि वे कहाँ मिलती हैं, कहाँ अलग होती हैं और r व K क्या नियंत्रित करते हैं।

साथ-साथ दो वृद्धि चित्र

पाठ्यपुस्तकें आकार के नाम पर दो वक्र बनाती हैं। दोनों लगभग साथ शुरू होते हैं और जनसंख्या भीड़ भरी होने पर अलग हो जाते हैं।

विशेषता	चरघातांकी (J आकार)	लॉजिस्टिक (S आकार)
संसाधन	असीमित	सीमित
प्रति सदस्य वृद्धि दर	r पर स्थिर रहती है	K के पास जाने पर घटती है
आकार	लगातार और खड़ा होकर ऊपर मुड़ता है	चढ़ता है, फिर K पर समतल होता है
अंतिम आकार	कोई नहीं: बढ़ता ही रहता है	वहन क्षमता K पर ठहरता है
समीकरण	dN/dt = rN	dN/dt = rN(1 − N/K)
कहाँ होता है	छोटे दौर: नया आवास, ताज़ा कल्चर	ज़्यादातर जनसंख्याओं में लंबे समय में

पहले ये शब्द जान लें

जनसंख्या पारिस्थितिकी की शब्दावली छोटी है। सूत्रों से पहले इन्हें सीख लें।

शब्द	अर्थ
जनसंख्या	एक समय में एक जगह रहने वाली एक प्रजाति के सभी सदस्य।
वृद्धि दर	सदस्यों की संख्या कितनी तेज़ी से बदलती है, प्रति इकाई समय में कितने।
r (आंतरिक दर)	भोजन और जगह भरपूर होने पर प्रति सदस्य वृद्धि दर।
जैव विभव	आदर्श परिस्थितियों में प्रजाति जितनी अधिकतम तेज़ी से बढ़ सकती है।
वहन क्षमता (K)	सबसे बड़ी जनसंख्या जिसे आवास सदा के लिए टिका सकता है।
पर्यावरणीय प्रतिरोध	वृद्धि रोकने वाली सारी सीमाएँ: भोजन, जगह, रोग, शिकारी, अपशिष्ट।
दोगुना होने का समय	जनसंख्या को दोगुना होने में लगने वाला समय।
लैग चरण	धीमी शुरुआत, जब पहले सदस्य आवास के अनुकूल ढलते हैं।
घनत्व-निर्भर कारक	वह सीमा जिसका ज़ोर भीड़ पर निर्भर है: भोजन, रोग।
घनत्व-स्वतंत्र कारक	वह सीमा जो भीड़ कितनी भी हो काम करती है: बाढ़, पाला।

चरघातांकी वृद्धि

अगर हर सदस्य समान योगदान दे तो बड़ी जनसंख्या बस और तेज़ बढ़ती है। कलन की भाषा में dN/dt = rN। हल N = N₀ e^(rt): t समय पर संख्या N₀ से शुरू होकर हर इकाई समय में e^r गुना होती है।

स्लाइडर r वही दर है। r = 0.40 प्रति घंटा पर कल्चर हर घंटे e^0.40 गुना होता है, जो लगभग 1.49 है। यह हर घंटे एक निश्चित संख्या से नहीं बढ़ता; एक निश्चित प्रतिशत से बढ़ता है।

इसलिए दोगुना होने का समय स्थिर है। N = 2N₀ रखकर हल करें: t = ln 2 ÷ r। r = 0.40 पर दोगुना होने का समय 1.73 घंटे है, चाहे शुरुआत 10 कोशिकाओं से हो या एक करोड़ से। सिमुलेशन की दोगुना होने के समय की रीडिंग ठीक यही है।

dN/dt = r Nवृद्धि जनसंख्या के समानुपाती

N(t) = N₀ e^(rt)N₀ = शुरुआती संख्या, t = समय

दोगुना होने का समय = ln 2 ÷ rलगभग 0.693 ÷ r

लॉजिस्टिक वृद्धि और वहन क्षमता

लॉजिस्टिक मॉडल एक विचार जोड़ता है: आवास भरने पर वृद्धि धीमी होती है। यह चरघातांकी दर को एक ब्रेक, 1 − N/K, से गुणा करता है। N छोटा हो तो ब्रेक लगभग 1 है और वृद्धि चरघातांकी। N जब K तक पहुँचता है ब्रेक 0 है और वृद्धि रुक जाती है।

इन दोनों छोरों के बीच वक्र S है। इसके तीन चरण हैं। शुरू में वृद्धि धीमी होती है क्योंकि प्रजनन करने वाले सदस्य कम हैं। बीच में सबसे तेज़ होती है, ठीक वहन क्षमता के आधे पर, यहाँ 500 कोशिकाओं पर। अंत में भोजन, जगह और अपशिष्ट हावी होते हैं तो वह धीमी होकर समतल हो जाती है।

हल N = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) e^(−rt)) है। लिखने में लंबा है, पर आकार आसान है: N₀ से K तक चढ़ता है और K को पार नहीं करता।

dN/dt = r N (1 − N/K)ब्रेक (1 − N/K) 1 से 0 तक गिरता है

N(t) = K ÷ (1 + ((K − N₀) ÷ N₀) e^(−rt))S आकार का हल

सबसे तेज़ वृद्धि = r K ÷ 4जब N = K ÷ 2

K/2 तक पहुँचने का समय = ln((K − N₀) ÷ N₀) ÷ rS का मोड़ बिंदु

S-वक्र को पढ़ना

नीले वक्र को देखकर तीन सवाल पूछें।

सबसे खड़ा कहाँ है? वहन क्षमता के आधे पर। यह मोड़ बिंदु है, और धराशायी निर्देशक रेखाएँ इसे दिखाती हैं।
प्रति सदस्य वृद्धि का क्या होता है? वह लगातार घटती है। शुरू में हर कोशिका लगभग पूरी दर r से प्रजनन करती है; K के पास प्रति कोशिका दर r(1 − N/K) शून्य के पास है, जबकि कुल जनसंख्या तब सबसे बड़ी है।
क्या कुल वृद्धि दर अंत में सबसे ज़्यादा है? नहीं। जनसंख्या अंत में सबसे बड़ी है, पर प्रति घंटे नए सदस्यों की संख्या बीच में सबसे ज़्यादा होती है, फिर शून्य पर गिरती है।

r और K क्या नियंत्रित करते हैं

दोनों स्लाइडर स्वतंत्र हैं और अलग काम करते हैं।

स्लाइडर	क्या बदलता है	क्या नहीं बदलता
r (वृद्धि दर)	कल्चर कितनी तेज़ी से चढ़ता है: ढलान, दोगुना होने का समय, K/2 तक का समय	अंतिम छत K
K (वहन क्षमता)	जिस ऊँचाई पर S समतल होता है, और अधिकतम वृद्धि दर rK/4	शुरुआती आकार, जो e^(rt) का ही अनुसरण करता है
N₀ (शुरुआती संख्या)	वक्र कितनी जल्दी उड़ान भरता है	r और K

असली जनसंख्या को क्या रोकता है

पर्यावरणीय प्रतिरोध सीमाओं का एक गुच्छा है। कुछ जनसंख्या घनी होने पर ज़्यादा काटती हैं और कुछ नहीं।

प्रकार	उदाहरण	असर
घनत्व-निर्भर	भोजन, जगह, रोग, शिकार, अपशिष्ट, प्रतिस्पर्धा	भीड़ में प्रबल, इसलिए जनसंख्या को K की ओर खींचती हैं
घनत्व-स्वतंत्र	बाढ़, चक्रवात, सूखा, पाला, आग	विरल और घनी जनसंख्या पर समान चोट करती हैं

मनुष्य और 70 का नियम

दोगुना होने के समय का एक आसान शॉर्टकट है। ln 2 ≈ 0.7 होने से सालाना p % की दर से बढ़ती जनसंख्या लगभग 70 ÷ p साल में दोगुनी हो जाती है। सालाना 1 % पर यह 69.3 साल है, और 2 % पर 34.7 साल।

इतिहास के ज़्यादातर समय मानव संख्या बहुत धीरे बढ़ी, फिर लगभग 1800 के बाद भोजन, स्वच्छता और चिकित्सा सुधरने पर तेज़ी से। दशकों से वृद्धि दर गिर रही है, जो लॉजिस्टिक जैसे वक्र की ओर मुड़ने का शुरुआती रूप है, हालाँकि सीमा क्या है और कहाँ है इस पर बहस है।

भारत एक अच्छा उदाहरण है। 1970 के दशक के बाद प्रति परिवार बच्चों की औसत संख्या घटने से वृद्धि दर काफ़ी गिरी है। यह r का गिरना है, K का बदलना नहीं।

सिमुलेशन में खुद करके देखें

दस मिनट ये प्रयोग करें। हर एक ऐसा सवाल है जो परीक्षा में आ सकता है।

सब कुछ सामान्य रखकर दोगुना होने का समय पढ़ें। प्लेहेड 5 घंटे पार करे तो दोनों वक्र कितने पास हैं?
r बढ़ाकर 0.80 करें। दोगुना होने का समय कितने गुना बदलता है, और कल्चर K/2 तक कब पहुँचता है?
K बढ़ाकर 2,000 करें। क्या K दोगुना होने का समय बदलता है? अब K/2 तक कब पहुँचता है?
प्लेहेड चलते समय वृद्धि दर की रीडिंग देखें। यह सबसे ज़्यादा कब है?
N₀ को 100 और फिर 5 करें। कौन-सा वक्र पहले K पर पहुँचता है, और क्या अंतिम आकार बदलता है?
चरघातांकी वक्र बंद करके S के तीन चरण बताएँ।
स्वीप के अंत के पास प्रति कोशिका वृद्धि की रीडिंग देखें। जनसंख्या सबसे बड़ी होने पर भी वह शून्य के पास क्यों है?

हल किए गए सवाल

हर हल में पहले सूत्र, फिर संख्याएँ रखी गई हैं। हर मान उसी कोड से निकाला गया है जो सिमुलेशन चलाता है।

सवाल 1: दोगुना होने का समय (r = 0.40 प्रति घंटा)

t = ln 2 ÷ r = 0.693 ÷ 0.40 = 1.73 घंटे। यह इस पर निर्भर नहीं कि कितनी कोशिकाएँ हैं, इसलिए 10 कोशिकाएँ 1.73 घंटे बाद 10 × 2 हो जाती हैं, और आगे भी यही चलता है।

सवाल 2: 5 घंटे बाद वक्र कितने अलग हैं?

चरघातांकी: N = 10 × e^(0.40 × 5) = 74 कोशिकाएँ। लॉजिस्टिक: N = 1,000 ÷ (1 + 99 e^(−0.40 × 5)) = 69 कोशिकाएँ। वे कुछ कोशिकाओं के भीतर मेल खाते हैं क्योंकि ब्रेक 1 − N/K अभी लगभग 1 है।

सवाल 3: 12 घंटे बाद

चरघातांकी: 10 × e^(0.40 × 12) = 1,215 कोशिकाएँ, पहले ही K से ऊपर। लॉजिस्टिक: 1,000 ÷ (1 + 99 e^(−0.40 × 12)) = 551 कोशिकाएँ। वहन क्षमता के आधे से ज़रा ही ज़्यादा: वक्र अलग हो चुके हैं।

सवाल 4: वृद्धि सबसे तेज़ कब है, और कितनी तेज़?

सबसे तेज़ वृद्धि N = K ÷ 2 = 500 कोशिकाओं पर है। समय: t = ln((1,000 − 10) ÷ 10) ÷ 0.40 = 11.5 घंटे। दर: r K ÷ 4 = 0.40 × 1,000 ÷ 4 = 100 कोशिकाएँ प्रति घंटा। कल्चर K का 95 % 18.8 घंटे बाद छूता है।

सवाल 5: तेज़ कल्चर (r = 0.80)

दोगुना होने का समय = 0.693 ÷ 0.80 = 0.87 घंटे, पहले का आधा। K/2 तक का समय = ln 99 ÷ 0.80 = 5.7 घंटे, वह भी आधा। r दोगुना करने से मॉडल में हर समय आधा हो जाता है, पर K नहीं बदलता।

सवाल 6: बड़ा फ़्लास्क (K = 2,000)

दोगुना होने का समय वही 1.73 घंटे रहता है क्योंकि यह केवल r पर निर्भर है। K/2 तक का समय = ln((2,000 − 10) ÷ 10) ÷ 0.40 = 13.2 घंटे, थोड़ा देर से क्योंकि रास्ता लंबा है। अधिकतम वृद्धि r K ÷ 4 दोगुनी होकर 200 कोशिकाएँ प्रति घंटा हो जाती है।

सवाल 7: भीड़ भरा कल्चर कितनी तेज़ी से बढ़ता है (N = 800)?

प्रति कोशिका: r(1 − N/K) = 0.40 × (1 − 800 ÷ 1,000) = 0.08 प्रति घंटा, जबकि N केवल 10 था तब 0.396 था। पूरी जनसंख्या: 0.08 × 800 = 64 कोशिकाएँ प्रति घंटा। जनसंख्या बड़ी है, पर हर कोशिका मुश्किल से प्रजनन कर रही है।

सवाल 8: बिना सीमा का एक दिन (24 घंटे)

चरघातांकी: 10 × e^(0.40 × 24) = 1,47,648 कोशिकाएँ, जो वहन क्षमता का 148 गुना है। लॉजिस्टिक: 993 कोशिकाएँ। कोई फ़्लास्क 1,47,648 नहीं रख सकता; इसीलिए चरघातांकी वृद्धि हमेशा अस्थायी होती है।

आम गलतियाँ

ये चूकें हर साल अंक कटवाती हैं।

हर चढ़ते वक्र को चरघातांकी कहना। चरघातांकी का मतलब है आकार के समानुपाती वृद्धि, जिसमें दोगुना होने का समय स्थिर रहता है।
यह कहना कि लॉजिस्टिक वक्र अंत में सबसे तेज़ है। यह बीच में, K ÷ 2 पर सबसे तेज़ है।
K को प्रजाति की स्थिर संख्या मानना। यह आवास की होती है, और मौसम तथा भोजन के साथ बदलती है।
J-वक्र और S-वक्र को मिला देना। J चरघातांकी है, S लॉजिस्टिक।
लैग चरण भूल जाना। असली वक्र मॉडल से धीमे शुरू होते हैं।
दर और आकार को गड्डमड्ड करना। जनसंख्या सबसे बड़ी हो सकती है जबकि वृद्धि दर शून्य के पास हो।
K को जनसंख्या की छुई गई अधिकतम संख्या समझना। असली जनसंख्या उसे लाँघ सकती है।

असल ज़िंदगी में कहाँ दिखता है

दही, रोटी का ख़मीर और किण्वन टैंक सब S-वक्र का पालन करते हैं: कल्चर बढ़ता है, फिर भोजन खत्म होने पर धीमा पड़ता है। दही बनाने वाला या शराब बनाने वाला S के बीच से बैच का समय तय करता है।

जलकुंभी नदियों और तालाबों को जाम कर देती है; अनुकूल हालात में उसका फैलाव एक-दो हफ़्ते में दोगुना हो सकता है, जो तालाब में चरघातांकी वृद्धि है। वह तभी रुकती है जब तालाब भर जाता है।

वन्यजीव प्रबंधक मछली के तालाब में बीज डालने या जंगल कितने हिरण सँभाल सकता है यह तय करने में K का उपयोग करते हैं। वहन क्षमता से ज़्यादा बीज वाले तालाब में मछलियाँ धीरे बढ़ती हैं और तनाव में रहती हैं।

परीक्षा का कोना

आम सवाल, और पूरे अंक वाले उत्तर में क्या होता है।

सवाल	मुख्य बिंदु
वहन क्षमता की परिभाषा दीजिए	पर्यावरण जितनी अधिकतम जनसंख्या सदा के लिए टिका सकता है।
चरघातांकी और लॉजिस्टिक वृद्धि की तुलना कीजिए	असीमित बनाम सीमित संसाधन; J बनाम S; बिना छत बनाम K।
लॉजिस्टिक समीकरण लिखिए	dN/dt = rN(1 − N/K), हर प्रतीक की व्याख्या सहित।
S-वक्र के चरण बताइए	लैग, तीव्र (चरघातांकी) चरण, धीमा होने का चरण, K पर पठार।
पर्यावरणीय प्रतिरोध क्या है?	सभी सीमाओं का योग: भोजन, जगह, शिकारी, रोग, अपशिष्ट।
घनत्व-निर्भर और स्वतंत्र कारकों के उदाहरण दीजिए	भोजन, रोग बनाम बाढ़, पाला।

दोहराव का सार

असीमित संसाधन हों तो जनसंख्या चरघातांकी रूप से बढ़ती है, N = N₀ e^(rt), और हर ln 2 ÷ r समय में दोगुनी होती है (r = 0.40 पर 1.73 घंटे)। असली जनसंख्याएँ पर्यावरणीय प्रतिरोध से टकराती हैं और लॉजिस्टिक वक्र, dN/dt = rN(1 − N/K), का अनुसरण करती हैं, जिसका S आकार वहन क्षमता पर समतल हो जाता है। पूरी जनसंख्या की वृद्धि K ÷ 2 पर चरम पर होती है (यहाँ 100 कोशिकाएँ प्रति घंटा), जबकि प्रति सदस्य वृद्धि लगातार गिरकर K पर शून्य हो जाती है। बड़ा r चढ़ाई तेज़ करता है और बड़ा K छत ऊँची करता है। शुरू में दोनों वक्र लगभग मिले रहते हैं, इसलिए अंतर बाद के हिस्से में ही दिखता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

चरघातांकी और लॉजिस्टिक वृद्धि में क्या अंतर है?

चरघातांकी वृद्धि में कोई सीमा नहीं होती, जनसंख्या गुणा होती रहती है और वक्र J आकार का होता है। लॉजिस्टिक वृद्धि वहन क्षमता के पास धीमी हो जाती है, जिससे S आकार का वक्र बनता है जो समतल हो जाता है।

वहन क्षमता क्या है?

उपलब्ध भोजन, जगह और अन्य संसाधनों के हिसाब से पर्यावरण जितनी सबसे बड़ी जनसंख्या सदा के लिए टिका सकता है। इसे K लिखते हैं।

दोगुना होने का समय कैसे निकालें?

दोगुना होने का समय = ln 2 ÷ r, यानी लगभग 0.693 ÷ r। r = 0.40 प्रति घंटा पर यह 1.73 घंटे है।

लॉजिस्टिक वृद्धि सबसे तेज़ कब होती है?

जब जनसंख्या वहन क्षमता के आधे, K ÷ 2, पर हो। तब दर r K ÷ 4 है, जो इस मॉडल में 100 कोशिकाएँ प्रति घंटा है।

घनत्व-निर्भर कारक क्या हैं?

वे सीमाएँ जिनका असर भीड़ के साथ बढ़ता है, जैसे भोजन की कमी, रोग, शिकार और प्रतिस्पर्धा। यही जनसंख्या को वापस K की ओर खींचती हैं।

70 का नियम क्या है?

दोगुना होने के समय का शॉर्टकट। प्रति अवधि प्रतिशत वृद्धि दर से 70 को भाग दें तो दोगुना होने में लगने वाली अवधियाँ मिल जाती हैं।

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साथ-साथ दो वृद्धि चित्र

पहले ये शब्द जान लें

चरघातांकी वृद्धि

लॉजिस्टिक वृद्धि और वहन क्षमता

S-वक्र को पढ़ना

r और K क्या नियंत्रित करते हैं

असली जनसंख्या को क्या रोकता है

मनुष्य और 70 का नियम

सिमुलेशन में खुद करके देखें

हल किए गए सवाल

सवाल 1: दोगुना होने का समय (r = 0.40 प्रति घंटा)

सवाल 2: 5 घंटे बाद वक्र कितने अलग हैं?

सवाल 3: 12 घंटे बाद

सवाल 4: वृद्धि सबसे तेज़ कब है, और कितनी तेज़?

सवाल 5: तेज़ कल्चर (r = 0.80)

सवाल 6: बड़ा फ़्लास्क (K = 2,000)

सवाल 7: भीड़ भरा कल्चर कितनी तेज़ी से बढ़ता है (N = 800)?

सवाल 8: बिना सीमा का एक दिन (24 घंटे)

आम गलतियाँ

असल ज़िंदगी में कहाँ दिखता है

परीक्षा का कोना

दोहराव का सार

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

चरघातांकी और लॉजिस्टिक वृद्धि में क्या अंतर है?

वहन क्षमता क्या है?

दोगुना होने का समय कैसे निकालें?

लॉजिस्टिक वृद्धि सबसे तेज़ कब होती है?

घनत्व-निर्भर कारक क्या हैं?

70 का नियम क्या है?

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