नियंत्रण
क्या देखना है
बिट पलटिए (बाएँ सबसे बड़ा स्थानीय मान)
मापन
- दशमलव
- 45
- बाइनरी
- 101101₂
- ऑक्टल
- 55₈
- हेक्साडेसिमल
- 2D₁₆
- 1 वाले बिट
- 4
- ज़रूरी बिट
- 6
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- आठ खानों के ऊपर 2⁷ से 2⁰ लिखा है। हर खाने के नीचे एक डिब्बा है, 1 (चालू, रंगीन) या 0 (बंद)। हर डिब्बा एक स्विच है।
- नियंत्रण के नीचे छोटे बिट बटन दबाइए, या “दशमलव संख्या” स्लाइडर खींचिए। डिब्बे बदलेंगे और रीडिंग में वही संख्या दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स में दिखेगी।
- पहले “स्थानीय मान जोड़ना” देखिए। चलाइए, खाने बाएँ से एक-एक करके जलते हैं। जो खाना चालू है वह अपना स्थानीय मान देता है और हरी रेखा उन्हें जोड़ती जाती है।
- अब “2 से भाग” देखिए। संख्या बार-बार आधी होती है और हर शेषफल दाईं ओर के डिब्बे में गिरता है। डिब्बों को नीचे से ऊपर पढ़ने पर बाइनरी संख्या मिलती है।
- “ऑक्टल” और “हेक्स” आज़माइए। बिट दाएँ से 3-3 या 4-4 के रंगीन समूहों में बँटते हैं और हर समूह एक अंक बनता है। ध्यान दीजिए, पूरी संख्या पर कोई हिसाब नहीं करना पड़ता।
- “बाइनरी जोड़” खोलकर दूसरी संख्या तय कीजिए। जोड़ दाएँ से खाना-दर-खाना होता है। खाने के ऊपर लाल 1 का मतलब हासिल है। मंच के नीचे की पंक्ति हर खाने का हिसाब लिखती है।
कंप्यूटर दो से ही गिनती क्यों करते हैं
कंप्यूटर के अंदर सब कुछ स्विच है। ट्रांज़िस्टर या तो करंट गुज़रने देता है या नहीं। डिस्क का एक निशान या तो चमकीला है या फीका। तार में वोल्टेज या तो ऊँचा है या नीचा। दो अवस्थाएँ बनाना आसान है, नकल सस्ती है और गड़बड़ाने का डर कम। दस अंकों के लिए दस अलग वोल्टेज चाहिए होते, और गर्मी में लाइन पर ज़रा-सा शोर आते ही वे आपस में उलझ जाते।
इसलिए कंप्यूटर संख्याएँ सिर्फ़ दो चिह्नों, 0 और 1, से लिखता है। हर चिह्न को बिट कहते हैं (बाइनरी डिजिट का संक्षेप)। गिनती का नियम वही है जो आप जानते हैं, बस वर्णमाला छोटी है। पैटर्न पकड़ में आते ही बाइनरी और दशमलव का रूपांतरण रहस्य नहीं रहता, अभ्यास का सीधा हिसाब बन जाता है।
स्थानीय मान: हर संख्या पद्धति के पीछे का विचार
दशमलव संख्या 3,507 लीजिए। 7 का अर्थ सात इकाइयाँ, 0 का अर्थ कोई दहाई नहीं, 5 का अर्थ पाँच सैकड़े और 3 का अर्थ तीन हज़ार। हर खाना अपने दाएँ वाले खाने का दस गुना है। यह दस ही आधार (बेस) है, इसीलिए दशमलव को बेस 10 कहते हैं।
बाइनरी में बिल्कुल यही विचार है, बस आधार 2 है। दाएँ से खानों के मान 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… हर बार दुगुने। अंक 0 या 1 ही हो सकता है, इसलिए कोई खाना या तो एक बार गिना जाता है या बिल्कुल नहीं। “इस खाने के तीन” जैसी कोई चीज़ नहीं होती। पूरी पद्धति बस इतनी है।
| खाना | स्थानीय मान |
|---|---|
| 2⁰ | 1 |
| 2¹ | 2 |
| 2² | 4 |
| 2³ | 8 |
| 2⁴ | 16 |
| 2⁵ | 32 |
| 2⁶ | 64 |
| 2⁷ | 128 |
| 2⁸ | 256 |
| 2⁹ | 512 |
| 2¹⁰ | 1,024 |
बाइनरी से दशमलव: चालू खानों के मान जोड़िए
214 को बाइनरी में लिखें तो 11010110। इसे स्थानीय मान के खानों के नीचे रखिए और हर खाने से एक ही सवाल पूछिए: क्या स्विच चालू है? चालू हो तो खाने का मान लीजिए, वरना शून्य। फिर जोड़िए।
चालू खाने 128 + 64 + 16 + 4 + 2 हैं, यानी आठ में से 5। योगफल 214। और कुछ नहीं चाहिए। सिमुलेशन का “स्थानीय मान जोड़ना” दृश्य यही है।
11010110₂ = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214सिर्फ़ वे खाने जोड़िए जिनमें 1 है।
| खाना | स्थानीय मान | बिट | जो जुड़ता है |
|---|---|---|---|
| 2⁷ | 128 | 1 | 128 |
| 2⁶ | 64 | 1 | 64 |
| 2⁵ | 32 | 0 | 0 |
| 2⁴ | 16 | 1 | 16 |
| 2³ | 8 | 0 | 0 |
| 2² | 4 | 1 | 4 |
| 2¹ | 2 | 1 | 2 |
| 2⁰ | 1 | 0 | 0 |
दशमलव से बाइनरी: बार-बार आधा कीजिए
उलटी दिशा में जाने के लिए दूसरा सवाल पूछिए: संख्या सम है या विषम? 2 से भाग देकर शेषफल लिख लीजिए, विषम हो तो 1, सम हो तो 0। फिर भागफल पर यही कीजिए। भागफल 0 होने तक चलिए। 45 के लिए 6 बार भाग लगता है।
पहला शेषफल इकाई वाले खाने का है (1) और आख़िरी सबसे बड़े खाने का (1)। इसलिए शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ने होते हैं, जिससे 101101 मिलता है। यह उस क्रम का उलटा है जिसमें आपने उन्हें निकाला था, और इस अध्याय की सबसे आम चूक यही है।
45 = 101101₂स्थानीय मान जोड़कर जाँचिए: 32 + 8 + 4 + 1 = 45।
| भाग | भागफल | शेषफल |
|---|---|---|
| 45 ÷ 2 | 22 | 1 |
| 22 ÷ 2 | 11 | 0 |
| 11 ÷ 2 | 5 | 1 |
| 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
पहली सोलह संख्याएँ चार पद्धतियों में
यह तालिका याद रख लें तो आधा अध्याय आसान हो जाता है। चार बिट ठीक 0 से 15 तक चलते हैं, इसीलिए एक हेक्स अंक चार बिट के बराबर है। 9 के बाद हेक्स में अंक कम पड़ जाते हैं, तो A से F अक्षर उधार लिए जाते हैं: A यानी दस, B यानी ग्यारह, F यानी पंद्रह।
| दशमलव | बाइनरी | ऑक्टल | हेक्स |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
ऑक्टल: तीन बिट के समूह
बाइनरी संख्याएँ जल्दी लंबी हो जाती हैं। ऑक्टल उनका छोटा रूप है और इसमें कोई हिसाब नहीं लगता, क्योंकि आठ 2³ है और तीन बिट से ठीक एक ऑक्टल अंक बनता है। बिट दाएँ से तीन-तीन में बाँटिए (ज़रूरत हो तो बाईं ओर शून्य जोड़िए) और हर समूह अलग पढ़िए।
214 = 11010110 के आगे एक शून्य लगाकर काटें तो 011 010 110 मिलता है। इन समूहों के मान से 214 का ऑक्टल रूप 326₈ है।
| तीन बिट का समूह | ऑक्टल अंक |
|---|---|
| 011 | 3 |
| 010 | 2 |
| 110 | 6 |
हेक्साडेसिमल: चार बिट के समूह
हेक्साडेसिमल यानी बेस 16, और सोलह 2⁴ है, इसलिए हर चार बिट से एक हेक्स अंक बनता है। प्रोग्रामर इसे पसंद करते हैं क्योंकि एक बाइट (आठ बिट) हमेशा ठीक दो हेक्स अंकों का होता है।
214 के लिए 11010110 को चार-चार में काटिए: 1101 0110। बायाँ समूह 13 है, जो D लिखा जाता है, और दायाँ समूह दूसरा अंक देता है। साथ में D6₁₆।
| चार बिट का समूह | हेक्स अंक | मान |
|---|---|---|
| 1101 | D | 13 |
| 0110 | 6 | 6 |
कैरी के साथ बाइनरी जोड़
बाइनरी जोड़ में याद रखने लायक सिर्फ़ चार तथ्य हैं: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 और 1 + 1 = 10 (यानी 0 लिखो, 1 हासिल)। यह वही स्कूल वाला खाना-दर-खाना जोड़ है, बस कोई खाना 10 पर नहीं, 2 पर पहुँचते ही छलक जाता है।
दाएँ से शुरू कीजिए। दोनों बिट और आए हुए हासिल को जोड़िए। कुल 0 या 1 हो तो लिख दीजिए। कुल 2 हो तो 0 लिखकर 1 अगले खाने को हासिल दीजिए। कुल 3 (1 + 1 + 1 हासिल) हो तो 1 लिखकर 1 हासिल। 101101 और 11011 (यानी 45 + 27) जोड़ने में 6 बार हासिल बनता है और उत्तर 1001000 है, यानी 72।
| खाना | बिट + बिट + आया हासिल | कुल | लिखो | आगे का हासिल |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 + 1 + 0 | 2 | 0 | 1 |
| 2 | 0 + 1 + 1 | 2 | 0 | 1 |
| 3 | 1 + 0 + 1 | 2 | 0 | 1 |
| 4 | 1 + 1 + 1 | 3 | 1 | 1 |
| 5 | 0 + 1 + 1 | 2 | 0 | 1 |
| 6 | 1 + 0 + 1 | 2 | 0 | 1 |
| 7 | 0 + 0 + 1 | 1 | 1 | 0 |
कितने बिट चाहिए?
n बिट से 2ⁿ अलग पैटर्न बनते हैं, यानी 0 से 2ⁿ − 1 तक की संख्याएँ। एक बिट और जोड़ते ही गिनती दुगुनी हो जाती है। इसीलिए आठ बिट (एक बाइट) में 256 मान आते हैं और 32 व 64 बिट के कंप्यूटरों की मेमोरी की संख्याएँ इतनी विशाल होती हैं।
किसी संख्या N के लिए कितने बिट चाहिए, यह जानने को ऐसा सबसे छोटा n ढूँढिए जिसमें 2ⁿ, N से बड़ा हो। आसान तरीका: N के ठीक ऊपर वाली 2 की घात पकड़ लीजिए।
| बिट | पैटर्न (2ⁿ) | सबसे बड़ी संख्या (2ⁿ − 1) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 |
| 4 | 16 | 15 |
| 8 | 256 | 255 |
| 10 | 1,024 | 1,023 |
| 16 | 65,536 | 65,535 |
| 32 | 4,29,49,67,296 | 4,29,49,67,295 |
सिमुलेशन में खुद करके देखिए
पाँच छोटे प्रयोग। हर एक एक मिनट से कम का है और हर एक नियम को पक्का कर देता है।
- सिर्फ़ सबसे दाएँ वाला डिब्बा चालू कीजिए: संख्या 1। सिर्फ़ उसके बाद वाला: 2। हर डिब्बा बस 2 की एक घात है।
- आठों डिब्बे चालू कीजिए। एक बाइट की सबसे बड़ी संख्या मिलेगी। सबसे दाएँ बटन से एक 1 बंद कीजिए, संख्या ठीक 1 घटेगी।
- कोई भी संख्या चुनकर “2 से भाग” चलाइए, फिर उसी संख्या पर “स्थानीय मान जोड़ना”। दो बिल्कुल अलग रास्ते, एक ही उत्तर।
- “हेक्स” में ऐसी संख्या ढूँढिए जिसका बायाँ समूह 1111 हो। उसका हेक्स अंक F है, सबसे ऊँचा एकल अंक।
- “बाइनरी जोड़” में दोनों संख्याएँ 127 कीजिए। हासिल गिनिए: योगफल को नौवाँ खाना चाहिए, इसीलिए इस सिमुलेशन में दूसरी संख्या 127 तक रखी गई है।
हल किए गए सवाल
अध्याय के छह आम सवाल। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले उसी कोड से निकाली गई है।
सवाल 1: 156 को बाइनरी में लिखिए
बार-बार 2 से भाग दीजिए और शेषफल रखिए।
शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ने पर 10011100₂ मिलता है। इसलिए 156 = 10011100₂।
| भाग | भागफल | शेषफल |
|---|---|---|
| 156 ÷ 2 | 78 | 0 |
| 78 ÷ 2 | 39 | 0 |
| 39 ÷ 2 | 19 | 1 |
| 19 ÷ 2 | 9 | 1 |
| 9 ÷ 2 | 4 | 1 |
| 4 ÷ 2 | 2 | 0 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
सवाल 2: 10110101 को दशमलव में लिखिए
बिट के नीचे स्थानीय मान रखिए और 1 के नीचे वाले मान चुनिए: 128 + 32 + 16 + 4 + 1।
योगफल 181 है। इसलिए 10110101₂ = 181।
सवाल 3: बाइनरी से ऑक्टल और हेक्स
11101011₂ को बदलिए (जिसका मान 235 है)।
ऑक्टल के लिए बाईं ओर एक शून्य जोड़कर तीन-तीन में काटिए: 011 101 011, जो 353₈ पढ़ा जाता है।
हेक्स के लिए चार-चार में काटिए: 1110 1011। बाएँ समूह का मान 14 है, जो अक्षर E है, इसलिए उत्तर EB₁₆ है।
सवाल 4: 1011 और 110 जोड़िए
दशमलव में 11 + 6 = 17। अब बाइनरी में कीजिए: दाएँ से जोड़ते हुए, जब भी कोई खाना 2 छुए तो हासिल।
3 बार हासिल बनता है और उत्तर 10001₂ है, जो 17 से मेल खाता है।
सवाल 5: 1000 रखने के लिए कितने बिट चाहिए?
2⁹ = 512 कम पड़ता है और 2¹⁰ = 1,024 काफ़ी है। इसलिए 1,000 के लिए 10 बिट चाहिए।
10 बिट में सबसे बड़ी संख्या 1,023 रखी जा सकती है।
सवाल 6: परीक्षा के बाहर यह कहाँ मिलता है?
192.168.1.1 जैसा आईपी पता एक-एक बाइट की चार संख्याएँ हैं। बाइनरी में 192 होता है 11000000 और 168 होता है 10101000।
बड़ा अक्षर A कोड 65 से रखा जाता है, जो 01000001₂ है और हेक्स में 41₁₆।
इन गलतियों से बचिए
इनसे बार-बार अंक कटते हैं।
- शेषफल ऊपर से नीचे पढ़ना। उन्हें नीचे से ऊपर पढ़ना है।
- भाग को 1 पर रोक देना, 0 पर नहीं। आख़िरी कदम 1 ÷ 2 में भागफल 0 और शेषफल 1 है, और वही 1 आपका सबसे बायाँ बिट है।
- ऑक्टल या हेक्स के समूह बाईं ओर से काटना। हमेशा दाएँ से काटिए और सबसे बाएँ समूह में शून्य जोड़िए।
- बाइनरी में 1 + 1 = 2 लिखना। 2 नाम का कोई अंक नहीं है। उत्तर 10 है, यानी 0 लिखो और 1 हासिल।
- यह भूल जाना कि हेक्स के अक्षर भी अंक हैं: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15।
- आधार का सबस्क्रिप्ट न लिखना। 101₂ लिखिए ताकि कोई इसे एक सौ एक न पढ़े।
बाइनरी कहाँ काम आती है
आपके फ़ोन की हर फ़ाइल बिटों की लंबी कतार है। तस्वीर, गाना, संदेश, सब 0 और 1 के पैटर्न हैं, और सामान्य इकाई बाइट (आठ बिट) है। किलोबाइट, मेगाबाइट और गीगाबाइट 2 की घातों में गिने जाते हैं।
नेटवर्क में पते असल में बाइनरी संख्याएँ हैं जिन्हें इंसानों के लिए दशमलव में लिखा जाता है। वेब डिज़ाइन में #1E90FF जैसा रंग तीन हेक्स बाइट है: लाल, हरा, नीला। प्रोग्रामिंग में चालू या बंद एक झंडा एक बिट है। इसीलिए आईसीटी के कंप्यूटर सिस्टम, डेटा निरूपण, नेटवर्क और वेब डिज़ाइन के अध्याय बार-बार इसी एक विचार पर लौटते हैं।
परीक्षा कोना
संख्या पद्धति के प्रश्नों के लिए ये बातें याद रखिए।
- बाइनरी से दशमलव: दाएँ से 1, 2, 4, 8… रखिए और जहाँ बिट 1 है वहाँ के मान जोड़िए।
- दशमलव से बाइनरी: 0 आने तक 2 से भाग दीजिए और शेषफल ऊपर की ओर पढ़िए।
- बाइनरी से ऑक्टल: दाएँ से 3 बिट के समूह। बाइनरी से हेक्स: दाएँ से 4 बिट के समूह।
- ऑक्टल या हेक्स से दशमलव: हर अंक को 8 या 16 की घात से गुणा करके जोड़िए, या पहले बाइनरी बना लीजिए।
- हर संख्या के नीचे आधार का सबस्क्रिप्ट लिखिए और हर कदम दिखाइए। आख़िरी अंक चूक जाए तो भी विधि के अंक मिलते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
बाइनरी संख्या पद्धति क्या है?
यह संख्याएँ लिखने का तरीका है जिसमें सिर्फ़ दो अंक, 0 और 1, इस्तेमाल होते हैं। हर खाने का मान दाएँ वाले खाने का दुगुना होता है, इसलिए कोई भी पूर्ण संख्या चालू स्थानीय मानों के योग के रूप में लिखी जा सकती है।
दशमलव को बाइनरी में जल्दी कैसे बदलें?
संख्या को बार-बार 2 से भाग देकर हर बार शेषफल लिखिए, भागफल 0 होने तक। फिर शेषफल नीचे से ऊपर पढ़िए। छोटी संख्याओं में 2 की सबसे बड़ी घात जो समा जाए, उसे बार-बार घटाकर भी यह किया जा सकता है।
कंप्यूटर दशमलव की जगह बाइनरी क्यों इस्तेमाल करते हैं?
दो अवस्थाएँ, चालू और बंद, हार्डवेयर में बनाना आसान और भरोसेमंद है। दस वोल्टेज स्तर पहचानने वाला सर्किट महँगा और गलती-प्रवण होता, इसलिए कंप्यूटर दो अवस्थाओं से ही बाकी सब बनाते हैं।
ऑक्टल और हेक्साडेसिमल किस काम आते हैं?
ये लंबी बाइनरी संख्याओं को छोटा लिखने के तरीके हैं। तीन बिट से एक ऑक्टल अंक और चार बिट से एक हेक्स अंक बनता है, इसलिए रूपांतरण सिर्फ़ नए सिरे से समूह बनाना है, हिसाब नहीं।
8 बिट में कितने मान रखे जा सकते हैं?
आठ बिट में 256 अलग मान रखे जा सकते हैं, 0 से 255 तक। यही एक बाइट है।
यह विषय आईसीटी की किताब में है या गणित की?
दोनों में। आईसीटी (सूचना एवं संचार प्रौद्योगिकी) के संख्या पद्धति अध्याय में यही रूपांतरण हैं और गणित में आधार बदलने के सवालों में भी यही विधि चलती है।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
SSC
SSC Mathematics: syllabus and preparation
Bangla
রচনা: তথ্যপ্রযুক্তি ও বাংলাদেশ (बांग्ला में)
Textbook
Class 9-10 Mathematics textbook
SSC
SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
HSC
HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Higher Mathematics textbook
Admission
Engineering admission test preparation
Admission
Jahangirnagar University mathematical and physical sciences unit
English
Paragraph: Artificial Intelligence
Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
SSC
SSC suggestions
HSC
HSC suggestions
Admission
University admission guide
SSC
SSC syllabus
HSC
HSC syllabus
Test prep
GRE Quantitative Reasoning guide
Test prep
Digital SAT Math guide
Scholarship
Scholarships to study abroad
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Compound interest calculator
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Data scientist resume example
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छह ठोसों को 3D में घुमाइए, जाल खोलकर देखिए और शंकु का पानी बेलन में उड़ेलकर समझिए कि वह ठीक तीन बार में क्यों भरता है। सूत्रों और हल किए प्रश्नों के साथ निःशुल्क सिमुलेशन।
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कक्षा 9 · 10
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कक्षा 11 · 12
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
द्वि-शंकु के आर-पार तल को झुकाइए और देखिए वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय कैसे बनता है। मानक समीकरण, नाभि और उत्केंद्रता के साथ मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
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