फलनों का रूपांतरण: एक ग्राफ़, चार घुंडियाँ, और उनके पीछे का नियम

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. “मूल फलन f(x)” से एक चुनिए: x², |x|, √x, sin x या 2ˣ। फीका धूसर वक्र मूल y = f(x) है, गाढ़े रंग का वक्र रूपांतरित ग्राफ़। स्लाइडर y = 2(x − 1)² − 1 से शुरू होते हैं: a = 2, h = 1, k = -1।
2. पहले k बदलिए। पूरा ग्राफ़ ऊपर-नीचे खिसकता है, और कुछ नहीं बदलता। फिर h बदलिए: ग्राफ़ बगल में खिसकता है, और चिह्न ही हैरानी है, क्योंकि h = 1 ग्राफ़ को बाएँ नहीं, दाएँ खिसकाता है।
3. अब a। बड़े धनात्मक मान ग्राफ़ को x-अक्ष से दूर खींचते हैं, 0 और 1 के बीच के मान x-अक्ष की ओर दबाते हैं, और ऋणात्मक मान x-अक्ष पर पलट देते हैं। a = 0 करने पर ग्राफ़ रेखा y = k पर सपाट हो जाता है।
4. अब b। यह x की दिशा में काम करता है और आपकी उम्मीद का उलटा करता है: b = 2 ग्राफ़ को आधा चौड़ा कर देता है, b = 0.5 दोगुना चौड़ा, और ऋणात्मक b y-अक्ष पर पलट देता है। sin x पर आज़माइए, तरंग तेज़ होगी।
5. धूसर बिंदु P मूल ग्राफ़ पर चल रहा है और नारंगी बिंदु P′, उसका प्रतिबिंब, नए ग्राफ़ पर, बीच में बिंदीदार रेखा। वह रेखा ही नियम (x, y) → (x ÷ b + h, a·y + k) का चलता-फिरता रूप है।
6. मापन के “असर” खाने पढ़िए। हर स्लाइडर का असर शब्दों में लिखा है। आख़िरी दो खाने स्लाइडर बदलने के साथ शीर्ष, मध्य रेखा या अनंतस्पर्शी और प्रांत, आवर्तकाल या परिसर को दिखाते हैं।

एक ग्राफ़, चार घुंडियाँ

x² के ग्राफ़ को U आकार का रबर बैंड समझिए। पूरे बैंड को ऊपर-नीचे, दाएँ-बाएँ खिसका सकते हैं। खींचकर लंबा या दबाकर चपटा कर सकते हैं। उलट सकते हैं। दबाकर पतला कर सकते हैं। बैंड वही रहता है, बस पकड़ने का तरीक़ा बदलता है। फलन रूपांतरण ठीक यही है।

मज़े की बात यह है कि हर नए समीकरण के लिए नया ग्राफ़ नहीं सीखना पड़ता। पाँच-छह बुनियादी ग्राफ़ और चार घुंडियाँ आती हों तो y = −2√(x + 3) + 1 या y = 3 sin(2x) − 1 एक मिनट में बन जाता है। यह सिमुलेशन आपको हर घुंडी अलग-अलग घुमाकर उसका असर देखने देता है।

पाँच मूल फलन

हर मूल फलन अपने परिवार का सबसे सरल सदस्य है। नीचे की तालिका में x = −2, 0 और 2 पर हर एक के तीन मान हैं। डैश का मतलब है वहाँ फलन परिभाषित नहीं है: √x केवल x ≥ 0 के लिए है।

• x²: U आकार, शीर्ष मूल-बिंदु पर, कभी शून्य से नीचे नहीं जाता।
• |x|: V आकार, शीर्ष मूल-बिंदु पर, कभी शून्य से नीचे नहीं जाता।
• √x: करवट लिए U का आधा हिस्सा, मूल-बिंदु से शुरू, ऋणात्मक x के लिए कुछ नहीं।
• sin x: −1 और 1 के बीच चिकनी तरंग, हर 2π (लगभग 6.28) पर दोहराती है।
• 2ˣ: हमेशा धनात्मक, दाएँ हर क़दम पर दोगुना, बाएँ x-अक्ष की ओर चपटा होता जाता है।

k: ऊपर-नीचे खिसकाना

फलन के मान में k जोड़ने से हर बिंदु k ऊपर उठ जाता है। y = x² + 3 में शीर्ष (0, 0) से (0, 3) पर जाता है, और हर y-मान मूल से 3 ज़्यादा है। यह वैसे ही काम करता है जैसा दिखता है: जोड़ना मतलब ऊपर, घटाना मतलब नीचे।

h: दाएँ-बाएँ खिसकाना (चिह्न का जाल)

इनपुट से h घटाने पर ग्राफ़ दाएँ h खिसकता है। (x − 2)² का शीर्ष x = 2 पर है: इनपुट 2 हो तो आउटपुट शून्य। इसलिए x − 2 में ऋण चिह्न होने पर भी ग्राफ़ दाएँ जाता है। और x + 3 = x − (−3) बाएँ ले जाता है।

याद रखने का सबसे सीधा तरीक़ा: वह इनपुट ढूँढिए जिस पर कोष्ठक शून्य होता है। (x − 2) के लिए x = 2, (x + 3) के लिए x = −3। मूल फलन का ख़ास बिंदु (शीर्ष, शुरुआत, बीच का बिंदु) वहीं जाकर बैठता है।

a: खींचना और पलटना

आउटपुट को a से गुणा करने पर हर ऊँचाई a गुना हो जाती है। |a| > 1 हो तो ग्राफ़ x-अक्ष से दूर खिंचकर लंबा होता है। 0 < |a| < 1 हो तो x-अक्ष की ओर दब जाता है। a ऋणात्मक हो तो हर ऊँचाई का चिह्न बदल जाता है, और ग्राफ़ x-अक्ष पर पलट जाता है। जो बिंदु x-अक्ष पर हैं (जहाँ y = 0), वे बिल्कुल नहीं हिलते।

b: क्षैतिज दबाना और पलटना

इनपुट को b से गुणा करने पर फलन b गुना तेज़ चलता है, इसलिए ग्राफ़ क्षैतिज दिशा में 1/b गुना चौड़ा रह जाता है। b = 2 पर आधा चौड़ा। b = 0.5 पर दोगुना चौड़ा। ऋणात्मक b ग्राफ़ को y-अक्ष पर भी पलट देता है।

सबसे साफ़ उदाहरण sine है। sin x हर 6.28 (यानी 2π) पर दोहराता है। sin(2x) हर 3.14 पर, दोगुनी बार। sin(x/2) हर 12.57 पर, आधी बार। सामान्य सूत्र: आवर्तकाल = 2π ÷ |b|।

सब साथ में: बिंदु का नियम

चारों घुंडियाँ साथ हों तो y = a·f(b(x − h)) + k। इसे भीतर से बाहर पढ़िए: h घटाइए, b से गुणा, f लगाइए, a से गुणा, k जोड़िए। मूल ग्राफ़ का बिंदु (x, y) तब (x ÷ b + h, a·y + k) पर पहुँचता है: x-निर्देशांक b को हटाकर h खिसकता है, y-निर्देशांक a से गुणा होकर k खिसकता है।

शुरू में सिमुलेशन y = 2(x − 1)² − 1 दिखाता है, जिसमें a = 2, b = 1, h = 1 और k = -1। शीर्ष (0, 0) से (1, -1) पर पहुँचा। देखिए x² के पाँच बिंदु कहाँ जाते हैं।

हर मूल फलन पर घुंडियों का असर

वही चार घुंडियाँ, हर मूल फलन पर पढ़ी हुई। ट्रेसर हमेशा मूल के “अहम” बिंदु की मंज़िल दिखाता है।

• x² और |x|: शीर्ष (h, k) पर जाता है और सममिति अक्ष रेखा x = h है। a < 0 हो तो ग्राफ़ नीचे की ओर खुलता है।
• √x: शुरुआती बिंदु (h, k) पर जाता है। b धनात्मक हो तो ग्राफ़ x ≥ h के लिए है, b ऋणात्मक हो तो x ≤ h के लिए।
• sin x: मध्य रेखा y = k, सबसे ऊँचा और सबसे नीचा बिंदु k + |a| और k − |a|, आवर्तकाल 2π ÷ |b|।
• 2ˣ: क्षैतिज अनंतस्पर्शी y = k। a > 0 हो तो ग्राफ़ उसके ऊपर रहता है, a < 0 हो तो नीचे।

सिमुलेशन में खुद आज़माइए

छह छोटे प्रयोग, हर एक एक मिनट का।

• रीसेट करके k = 0 और h = 0 कीजिए। अब y = 2x² है। a को 2 से 0.5 और फिर −1 कीजिए। कौन-से बिंदु कभी नहीं हिले?
• |x| चुनकर h = −3 कीजिए। शीर्ष कहाँ है? देखने से पहले “कोष्ठक शून्य” तरकीब से अनुमान लगाइए।
• sin x चुनकर b = 2, फिर b = 0.5 कीजिए। आवर्तकाल पढ़िए। क्या वह 2π ÷ |b| से मेल खाता है?
• √x चुनकर b को ऋणात्मक कीजिए। ग्राफ़ अब बाईं ओर चलता है। प्रांत का खाना क्या कहता है?
• 2ˣ चुनकर k = −3 कीजिए। अनंतस्पर्शी कहाँ है? a को ऋणात्मक करके ग्राफ़ को रेखा के नीचे पलटते देखिए।
• कोई भी फलन चुनकर सारे स्लाइडर अलग-अलग अशून्य मान पर रखिए। बिंदु के नियम से अनुमान लगाइए कि P किसी साफ़ जगह हो तो P′ कहाँ होगा, फिर बिंदीदार रेखा से जाँचिए।

हल किए हुए प्रश्न

आठ आम प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन वाले उन्हीं फलनों से निकाली गई है।

आम गलतियाँ

इन गलतियों से बार-बार अंक कटते हैं।

• (x − 2) को “बाएँ 2 खिसकाओ” पढ़ना। वह दाएँ 2 खिसकाता है।
• f(2x) को “दोगुना चौड़ा” पढ़ना। वह आधा चौड़ा है। x-दिशा की चालें व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं।
• 2(x − 3) और (2x − 3) को एक समझना। पहले b का गुणनखंड निकालिए, फिर h पढ़िए।
• यह भूल जाना कि ऋणात्मक a ग्राफ़ को x-अक्ष पर और ऋणात्मक b y-अक्ष पर पलटता है। x² और |x| सममित हैं, इसलिए y-अक्ष पर पलटना दिखता नहीं।
• खिसकाने और खींचने का क्रम उलट देना। बाहर पहले खिंचाव (a), फिर खिसकाव (k)।
• अनंतस्पर्शी या मध्य रेखा को a से खिसकाना। उन्हें सिर्फ़ k खिसकाता है।

असल ज़िंदगी में रूपांतरण

यही चार घुंडियाँ कक्षा से बहुत दूर भी दिखती हैं।

• ध्वनि: एक सुर sine तरंग है। a आवाज़ की तीव्रता (आयाम), b सुर की ऊँचाई (आवृत्ति), h चक्र में शुरुआत कहाँ से, और k पूरे संकेत को ऊपर उठाता है।
• ग्राफ़िक्स और गेम: स्क्रीन का हर स्प्राइट वही आकृति है, खिसकाई गई (h, k), पैमाना बदला गया (a, b) या पलटी गई (ऋणात्मक a या b)।
• वित्त: 2ˣ चक्रवृद्धि वृद्धि है। ऋणात्मक a कर्ज़ की कमी बताता है, और k आधार रेखा खिसकाता है।
• भौतिकी: स्प्रिंग पर लटका द्रव्यमान a·sin(bt) + k के अनुसार चलता है। ज्वार-भाटा और दिन की लंबाई भी वही आकृति हैं, घुंडियाँ अलग।
• डेटा साइंस: डेटा का सामान्यीकरण एक रूपांतरण है, माध्य घटाना (h) और फैलाव से भाग देना (b)।

परीक्षा का कोना

कक्षा 11-12, JEE, SAT और A-level में रूपांतरण के प्रश्न आते हैं। उनके ढर्रे अनुमान से पकड़े जा सकते हैं।

• y = f(x) से y = f(x − 3) + 2 तक का रूपांतरण शब्दों में बताइए (दाएँ 3, ऊपर 2)।
• ग्राफ़ और कुछ बिंदु देकर समीकरण लिखवाना।
• बिंदु के नियम से किसी तालिका के बिंदुओं पर कई चालें लगाना।
• नया शीर्ष, अनंतस्पर्शी, प्रांत, परिसर या आवर्तकाल बताना।
• बहुविकल्पीय: वर्णित ग्राफ़ से चार समीकरणों में कौन-सा मेल खाता है।

त्वरित दोहराव

चार अक्षर, चार चालें:

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न