ऊपर के ग्राफ़ पर खींचकर P हिलाइए
नियंत्रण
फलन f(x)
मापन
- बिंदु P
- (1, 1)
- बिंदु Q
- (3, 9)
- अभी खिंची रेखा
- छेदक (h > 0)
- छेदक की ढाल
- 4
- सटीक अवकलज f′(x)
- 2
- दोनों में अंतर
- 2
- स्पर्श रेखा
- y = 2x − 1
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- “फलन f(x)” से एक फलन चुनिए: x², x³, sin x, eˣ या 1/x। ऊपर का मोटा वक्र y = f(x) है। काला बिंदु P वह जगह है जहाँ हम ढाल नाप रहे हैं। ऊपर के ग्राफ़ पर खींचकर या “बिंदु P का x” स्लाइडर से P हिलाइए।
- नारंगी बिंदु Q, P से h की दूरी पर है और दोनों से जाती नारंगी रेखा छेदक है। शुरुआत में h = 2 है, इसलिए Q दूर है और छेदक की ढाल बस एक मोटा औसत है, P पर वक्र की असली ढाल से काफ़ी अलग।
- प्ले दबाइए। h धीरे-धीरे घटता है, Q वक्र पर चलकर P की ओर आता है और छेदक घूमती है। h जब 0 पर पहुँचता है तो रेखा हरी हो जाती है: यही स्पर्श रेखा है, जो P पर वक्र को बस छूती है।
- रीडिंग देखिए। “छेदक की ढाल” है (f(x + h) − f(x)) / h। “सटीक अवकलज” असली f′(x) है। h घटने पर “दोनों में अंतर” शून्य की ओर गिरता है। रोककर h स्लाइडर खुद खींचिए और हर आकार पर देखिए।
- नीचे का ग्राफ़ देखिए। यह y = f′(x) है, यानी अवकलज फलन। हरा बिंदु P पर f′ दिखाता है और खोखला नारंगी घेरा मौजूदा छेदक की ढाल। h शून्य की ओर जाते ही घेरा हरे बिंदु पर बैठ जाता है।
- P को किसी और जगह ले जाकर फिर देखिए। x² पर हरा बिंदु एक सीधी रेखा पर चढ़ता है, sin x पर वह कोसाइन तरंग पर चलता है। रीडिंग में स्पर्श रेखा का समीकरण भी हर स्थिति पर बदलता है।
वक्र कितना खड़ा है?
सीधी रेखा की ढाल हर जगह एक ही होती है: उठान भाग चौड़ाई। वक्र थोड़ा पेचीदा है। ऊपर फेंकी गई गेंद पहले तेज़ी से चढ़ती है, चोटी पर सपाट होती है, फिर गिरती है। हर पल उसकी तीव्रता बदलती है। तो “ठीक इस बिंदु की ढाल” का मतलब क्या हुआ?
तरकीब है ज़ूम करना। किसी भी चिकने वक्र पर काफ़ी ज़ूम करें तो वह सीधी रेखा जैसा दिखता है। उस छोटे सीधे टुकड़े की ढाल ही उस बिंदु पर वक्र की ढाल है, और उस रेखा को स्पर्श रेखा कहते हैं। अवकलज वह मशीन है जो यह संख्या देती है।
छेदक से स्पर्श रेखा तक
एक बिंदु से ढाल नहीं मिलती, दो बिंदु चाहिए। इसलिए थोड़ी चालाकी करते हैं। वक्र पर P लीजिए और थोड़ा आगे Q। दोनों से जाती रेखा छेदक कहलाती है और उसकी ढाल आसान है: उठान भाग चौड़ाई।
अब Q को P की ओर खिसकाइए। छेदक घूमती है और ढाल बदलती है। नीचे x = 1 पर x² का हिसाब है, जहाँ P = (1, 1)। पहला स्तंभ अंतर h है, दूसरा छेदक की ढाल।
- h = 1 पर छेदक की ढाल 3.0000 है। यह पूरी एक इकाई का औसत है, इसलिए सच्चाई से दूर है।
- h = 0.1 पर यह 2.1000 है, और h = 0.001 पर 2.0010।
- संख्याएँ 2 की ओर बढ़ रही हैं। यही लक्ष्य x = 1 पर x² का अवकलज है।
| h | छेदक की ढाल |
|---|---|
| 1 | 3.0000 |
| 0.5 | 2.5000 |
| 0.1 | 2.1000 |
| 0.01 | 2.0100 |
| 0.001 | 2.0010 |
परिभाषा लिख लें
x और x + h से जाती छेदक की ढाल (f(x + h) − f(x)) / h है। h के शून्य की ओर घटने पर यह अनुपात जिस मान पर टिकता है, वही अवकलज है। इस “टिकने” का सटीक नाम सीमा है।
हम h = 0 कभी नहीं रखते, क्योंकि 0 ÷ 0 का कोई अर्थ नहीं। हम सिर्फ़ यह देखते हैं कि अनुपात किस मान के पास जा रहा है। सिमुलेशन में आख़िरी कदम पर h = 0 केवल अंतिम स्पर्श रेखा खींचने के लिए रखा गया है।
f′(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)] / hप्रथम सिद्धांत से परिभाषा
स्पर्श रेखा: y = f′(a)·(x − a) + f(a)x = a पर स्पर्श रेखा का समीकरण
अवकलज का भी ग्राफ़ होता है
P हिलाने पर स्पर्श रेखा की ढाल बदलती है। हर x की ढाल लिखते जाएँ तो एक नया फलन मिलता है, f′(x)। सिमुलेशन का निचला ग्राफ़ वही है। ऊपर का वक्र जहाँ चढ़ता है वहाँ निचला ग्राफ़ शून्य से ऊपर रहता है। जहाँ चोटी या घाटी है, वहाँ निचला ग्राफ़ शून्य को छूता है। जहाँ वक्र उतरता है, वहाँ निचला ऋणात्मक है।
x² के लिए पाँच बिंदुओं की ऊँचाई और ढाल नीचे की तालिका में है। ढाल ठीक x की दुगनी है।
| x | x² | x² की ढाल |
|---|---|---|
| -2 | 4 | -4 |
| -1 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
सिमुलेशन के पाँच फलन
इन सबके अवकलज ज्ञात हैं। तालिका में अवकलज और अंतिम स्तंभ में x = 1 पर ढाल है; “बिंदु P का x” को 1 करके सिमुलेशन से मिला लीजिए।
- x² की ढाल धीरे-धीरे बढ़ती है: 2x। 0 पर सपाट, दाएँ चढ़ती, बाएँ उतरती।
- x³ की ढाल 3x² है, जो कभी ऋणात्मक नहीं होती। वक्र कभी नीचे नहीं जाता, बस 0 पर क्षण भर सपाट होता है।
- sin x की ढाल cos x है। अवकलज का ग्राफ़ वही तरंग है, बस चौथाई चक्र खिसकी हुई।
- eˣ वह फलन है जिसकी ढाल हर जगह उसकी ऊँचाई के बराबर है। दोनों ग्राफ़ एक जैसे हैं।
- 1/x की ढाल −1/x² है, हमेशा ऋणात्मक। 0 पर टूट के दोनों ओर वक्र उतरता है।
| f(x) | f′(x) | x = 1 पर ढाल |
|---|---|---|
| x² | 2x | 2 |
| x³ | 3x² | 3 |
| sin x | cos x | 0.5403 |
| eˣ | eˣ | 2.7183 |
| 1/x | −1/x² | -1 |
सिमुलेशन में खुद करके देखिए
छह छोटे प्रयोग, हर एक मिनट का।
- x² चुनकर प्ले दबाइए और h को घटते देखिए। अंत में छेदक की ढाल को अपने P पर 2x से मिलाइए।
- रोककर x² पर P को x = 0 पर ले जाइए। स्पर्श रेखा सपाट है। निचले ग्राफ़ में वहाँ क्या पढ़ा जा रहा है?
- eˣ चुनकर दोनों ग्राफ़ देखिए। नाम देखे बिना बता सकते हैं कौन-सा कौन-सा है?
- sin x चुनकर P को तरंग की चोटी पर ले जाइए, स्पर्श रेखा सपाट। अब वहाँ जहाँ वक्र अक्ष काटता है। क्या यहाँ स्पर्श रेखा सबसे खड़ी है?
- 1/x चुनकर P को दाईं ओर 0 के बहुत पास ले जाइए, फिर बाईं ओर। ढाल इतनी बड़ी क्यों हो जाती है?
- x³ चुनकर h = 2 रखिए और P घुमाइए। बड़े h पर छेदक बहुत आगे निकल जाती है। h कितना छोटा हो तो वह स्पर्श रेखा जैसी लगने लगती है?
हल सहित आठ प्रश्न
आठ आम प्रश्न। नीचे की हर संख्या सिमुलेशन के उन्हीं फलनों से निकाली गई है।
प्रश्न 1: x = 1 पर x² की ढाल
P = (1, 1)। ऊपर की तालिका में छेदक की ढाल 2 की ओर जा रही है। प्रथम सिद्धांत से: (1 + h)² − 1 = 2h + h², h से भाग देने पर 2 + h, और h के 0 होने पर 2। स्पर्श रेखा: y = 2x − 1।
प्रश्न 2: x = 2 पर x³ की स्पर्श रेखा
P = (2, 8)। ढाल 3x² = 3 × 4 = 12। तालिका में छेदक की ढाल ऊपर से 12 पर उतर रही है। स्पर्श रेखा: y = 12x − 16।
| h | छेदक की ढाल |
|---|---|
| 1 | 19.0000 |
| 0.5 | 15.2500 |
| 0.1 | 12.6100 |
| 0.01 | 12.0601 |
| 0.001 | 12.0060 |
प्रश्न 3: 0 और π/2 पर sin x की ढाल
x = 0 पर छेदक की ढाल sin h ÷ h है। नीचे के मान 1 की ओर चढ़ रहे हैं। इसलिए मूलबिंदु पर स्पर्श रेखा y = x है: छोटे कोणों के लिए sin x लगभग x है।
x = π/2 (तरंग की चोटी) पर ऊँचाई 1, ढाल cos(π/2) = 0, यानी सपाट स्पर्श रेखा: y = 1।
| h | छेदक की ढाल |
|---|---|
| 1 | 0.8415 |
| 0.5 | 0.9589 |
| 0.1 | 0.9983 |
| 0.01 | 1.0000 |
| 0.001 | 1.0000 |
प्रश्न 4: 0 और 1 पर eˣ की ढाल
x = 0 पर छेदक की ढाल 1 के पास जाती है, स्पर्श रेखा y = x + 1। x = 1 पर ऊँचाई e ≈ 2.7183 है और ढाल भी वही संख्या, इसलिए स्पर्श रेखा y = 2.7183x: यह सीधे मूलबिंदु से गुज़रती है, eˣ की एक मज़ेदार विशेषता।
| h | 0 पर छेदक की ढाल |
|---|---|
| 1 | 1.7183 |
| 0.5 | 1.2974 |
| 0.1 | 1.0517 |
| 0.01 | 1.0050 |
| 0.001 | 1.0005 |
प्रश्न 5: x = 2 पर 1/x की स्पर्श रेखा
P = (2, 0.5)। ढाल −1/x² = −1/4 = -0.25। स्पर्श रेखा: y = −0.25x + 1। तालिका में छेदक की ढाल -0.25 की ओर जाती है, पर शुरुआत दूर से होती है क्योंकि 0 के पास वक्र तेज़ मुड़ता है।
| h | छेदक की ढाल |
|---|---|
| 1 | -0.1667 |
| 0.5 | -0.2000 |
| 0.1 | -0.2381 |
| 0.01 | -0.2488 |
| 0.001 | -0.2499 |
प्रश्न 6: x² की स्पर्श रेखा y = 4x + 1 के समांतर कहाँ है?
समांतर रेखाओं की ढाल बराबर होती है, इसलिए 2x = 4 और x = 2। बिंदु (2, 4), स्पर्श रेखा y = 4x − 4। ढाल मिल गई, पर अंतःखंड अलग है, इसलिए रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।
प्रश्न 7: x = 3 पर x² का प्रथम सिद्धांत
(3 + h)² − 3² = 6h + h²। h से भाग देने पर 6 + h। तालिका में तीन अंतरों के लिए अंश और ढाल हैं; ढाल 6 की ओर जा रही है।
| h | (3 + h)² − 9 | छेदक की ढाल |
|---|---|---|
| 1 | 7 | 7.00 |
| 0.1 | 0.61 | 6.10 |
| 0.01 | 0.0601 | 6.01 |
प्रश्न 8: x³ की ढाल 12 कहाँ है?
3x² = 12 से x² = 4, इसलिए x = 2 या x = −2। स्पर्श रेखाएँ: (2, 8) पर y = 12x − 16 और (−2, -8) पर y = 12x + 16। दो बिंदु, एक ढाल, क्योंकि 3x² धनात्मक और ऋणात्मक x में फ़र्क नहीं करता।
असली ज़िंदगी का उदाहरण: कार की स्थिति t सेकंड में s = t² मीटर है। t = 3 पर वेग ढाल है, 6 मी/से, और t = 5 पर 10 मी/से।
आम गलतियाँ
हर साल अंक कटवाने वाली चार चूकें।
- भिन्न में सीधे h = 0 रख देना। 0 ÷ 0 मिलेगा। पहले फैलाइए और सरल कीजिए, फिर h घटाइए।
- छेदक और स्पर्श रेखा में गड़बड़ी। छेदक वक्र के दो बिंदु जोड़ती है, स्पर्श रेखा एक बिंदु पर छूती है।
- अवकलज को ऊँचाई समझना। f′(a) बिंदु a पर ढाल है, f(a) नहीं।
- स्पर्श रेखा के समीकरण में बिंदु भूल जाना: y = f′(a)(x − a) + f(a) लिखिए, सिर्फ़ y = f′(a)x नहीं।
अवकलज कहाँ काम आता है
वेग स्थिति का अवकलज है, त्वरण वेग का। जनसंख्या बढ़ने की दर, टंकी खाली होने की दर, खून में दवा घटने की दर, सब अवकलज हैं। अर्थशास्त्री सीमांत लागत में, इंजीनियर संकेत कितनी तेज़ी से चढ़ता है इसमें, और मशीन लर्निंग ढलान पर उतरते-उतरते ही सीखती है।
परीक्षा के लिए
इस अध्याय पर कक्षा 11-12 और पहले वर्ष के आम प्रश्न।
- परिभाषा (प्रथम सिद्धांत) से x², x³ या 1/x का f′(x) निकालना।
- दिए गए बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण लिखना।
- वह बिंदु ढूँढना जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समांतर या क्षैतिज हो।
- ग्राफ़ देखकर बताना कि अवकलज कहाँ धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक है।
दोहराव का सार
वक्र की ढाल = स्पर्श रेखा की ढाल। छेदक की ढाल = (f(x + h) − f(x)) / h। h शून्य की ओर जाए तो छेदक स्पर्श रेखा बनती है। सीमा ही अवकलज f′(x) है। स्पर्श रेखा: y = f′(a)(x − a) + f(a)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
आसान भाषा में अवकलज क्या है?
किसी ख़ास बिंदु पर वक्र कितना खड़ा है, यानी वहाँ की स्पर्श रेखा की ढाल। यह बताता है कि ठीक उसी क्षण x की तुलना में y कितनी तेज़ी से बदल रहा है।
छेदक और स्पर्श रेखा में क्या अंतर है?
छेदक वक्र को दो बिंदुओं पर काटती है। स्पर्श रेखा एक बिंदु पर छूती है और वहाँ वक्र की ही दिशा में चलती है। दूसरा बिंदु पहले के पास आए तो छेदक की सीमा ही स्पर्श रेखा है।
सीधे h = 0 क्यों नहीं रख सकते?
क्योंकि तब (f(x + h) − f(x)) / h बनता है 0 ÷ 0, जो अपरिभाषित है। पहले सरल करके h काट देते हैं, फिर देखते हैं कि अनुपात किस मान के पास जाता है।
स्पर्श रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
f(a) और f′(a) निकालकर y = f′(a)(x − a) + f(a) रखिए। ज़रूरत हो तो y = mx + c रूप में सजा लीजिए।
अवकलज शून्य होने का क्या मतलब है?
वहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज है। चिकने वक्र पर यह आम तौर पर चोटी, घाटी या क्षण भर का सपाट हिस्सा होता है, जैसे 0 पर x³।
0 के पास 1/x की ढाल इतनी बड़ी क्यों हो जाती है?
x के 0 की ओर जाने पर वक्र लगभग सीधा ऊपर या नीचे भागता है, इसलिए x में ज़रा-सा बदलाव y में भारी बदलाव देता है। ढाल −1/x² बिना सीमा के बढ़ती है।
क्या अवकलज हमेशा मौजूद होता है?
नहीं। |x| की नोक जैसे तीखे कोने या टूट पर बाएँ और दाएँ से छेदक की ढालें मेल नहीं खातीं, इसलिए एक स्पर्श रेखा नहीं बनती। इस सिमुलेशन के सारे फलन जहाँ परिभाषित हैं वहाँ चिकने हैं।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
रसायन विज्ञान
परमाणु की संरचना
रसायन विज्ञान
अम्ल, क्षारक और pH मान
रसायन विज्ञान
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास
रसायन विज्ञान
गैस नियम: बॉयल, चार्ल्स, गे-लुसाक, आवोगाद्रो और PV = nRT
रसायन विज्ञान
आयनिक बंध कैसे बनता है
रसायन विज्ञान
वैद्युत अपघटन और फैराडे के नियम
रसायन विज्ञान
सहसंयोजक बंध
रसायन विज्ञान
आवर्त सारणी की आवर्तिता
रसायन विज्ञान
अभिक्रिया की दर और संघट्ट सिद्धांत
रसायन विज्ञान
द्रव्य की अवस्थाएँ: ठोस, द्रव, गैस और तापन वक्र
रसायन विज्ञान
परमाणु कक्षक: s, p, d के आकार, क्वांटम संख्याएँ और नोड
रसायन विज्ञान
आणविक आकृतियाँ और VSEPR सिद्धांत: आबंध युग्म, एकाकी युग्म और कोण
रसायन विज्ञान
मोल अवधारणा: मोलर द्रव्यमान, आवोगाद्रो संख्या और मोलर आयतन
रसायन विज्ञान
विसरण और निःस्राव: ग्राहम का नियम
रसायन विज्ञान
रासायनिक समीकरण संतुलन: विधि, उदाहरण और अभ्यास
रसायन विज्ञान
रासायनिक साम्य: साम्य स्थिरांक Kc और ले शातेलिए का सिद्धांत
रसायन विज्ञान
अनुमापन: ब्यूरेट और सूचक से अज्ञात सांद्रता निकालना
रसायन विज्ञान
गैल्वेनिक सेल: डेनियल सेल, EMF और नर्स्ट समीकरण
रसायन विज्ञान
ऑक्सीकरण-अपचयन अभिक्रियाएँ: ऑक्सीकरण संख्या, इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण और अर्ध-अभिक्रिया
रसायन विज्ञान
हाइड्रोकार्बन: ऐल्केन, ऐल्कीन, ऐल्काइन और संरचनात्मक समावयवी 3D में
रसायन विज्ञान
प्रकार्यात्मक समूह: ऐल्कोहॉल, ऐल्डिहाइड, कीटोन, अम्ल, एस्टर और ऐमीन
रसायन विज्ञान
बहुलकीकरण: योगात्मक और संघनन बहुलक, पॉलिथीन और नायलॉन
रसायन विज्ञान
मिश्रण अलग करने की विधियाँ: निस्यंदन, आसवन, क्रोमैटोग्राफी, क्रिस्टलन
रसायन विज्ञान
क्रिस्टल जालक: SC, BCC और FCC एकक कोष्ठिका, संकुलन क्षमता और घनत्व
रसायन विज्ञान
रेडियोएक्टिवता: अल्फ़ा, बीटा, गामा क्षय और अर्ध-आयु
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान