जब ओम का नियम काफ़ी नहीं: दो आसान नियमों से कोई भी परिपथ हल करो

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. डिफ़ॉल्ट मानों से शुरू करो: 12 V और 6 V की बैटरियाँ, प्रतिरोध 4 Ω, 3 Ω और 6 Ω। तीन तीर दिखा रहे हैं I₁ = 1.33 A, I₂ = -0.22 A, I₃ = 1.11 A।
2. I₂ को देखो। यह ऋणात्मक है, इसलिए तीर नीचे की ओर है और आवेश के बिंदु उलटी दिशा में चल रहे हैं। कमज़ोर बैटरी को ताक़तवर बैटरी पीछे की ओर धकेल रही है।
3. पैनल की पहली पंक्ति देखो, यह संधि नियम है। ऊपरी संधि में आती दोनों धाराएँ जोड़कर I₃ घटाया गया है। स्लाइडर कहीं भी रखो, योग शून्य ही रहता है।
4. फिर तीनों लूप की पंक्तियाँ देखो। हर एक में बैटरी के वोल्टेज में से विभव पतन घटाने पर शून्य मिलता है। E₂ को धीरे-धीरे बढ़ाओ: I₂ घटकर शून्य होती है, फिर चिह्न बदल लेती है।
5. E₂ को शून्य कर दो। दायीं बैटरी गायब, और परिपथ अब एक बैटरी व दो समांतर प्रतिरोध बन जाता है। रीडिंग नीचे के तीसरे उदाहरण से मिलाओ।
6. “इलेक्ट्रॉन प्रवाह” चुनकर देखो कि आवेश तीर के उलट चलते हैं। तीर और योग नहीं बदलते, क्योंकि वे परंपरागत धारा से बने हैं।

एक नियम काफ़ी क्यों नहीं

ओम का नियम V = IR एक प्रतिरोध के लिए बिल्कुल सही है। श्रेणी और समांतर क्रम के सूत्र थोड़े जटिल परिपथ भी निपटा देते हैं। पर सिमुलेशन का परिपथ देखो। बीच का प्रतिरोध R₃ दोनों बैटरियों में साझा है। वह न किसी के श्रेणी क्रम में है, न समांतर में। इसलिए “तुल्य प्रतिरोध” निकालकर परिपथ छोटा करने की चाल यहाँ नहीं चलती।

जर्मन भौतिक विज्ञानी गुस्ताव किरख़ोफ़ ने 1845 में दो नियम दिए, जो चाहे जितने उलझे जाल पर लागू होते हैं। ये कोई नई भौतिकी नहीं हैं। जो बात तुम पहले से मानते हो, उसी को हिसाब लायक रूप दिया गया है: आवेश कहीं जमा नहीं होता, और ऊर्जा शून्य से पैदा नहीं होती।

परीक्षा में ये “हर शाखा की धारा ज्ञात करो” जैसे सवालों में आते हैं, अक्सर दो सेल और कुछ प्रतिरोधों के साथ। समीकरण बनाना आ गया तो बाक़ी स्कूल की बीजगणित है।

दोनों नियम आसान भाषा में

संधि नियम (धारा नियम, KCL): परिपथ की किसी भी संधि पर जितनी धारा अंदर आती है, उतनी ही बाहर जाती है। जहाँ तीन या अधिक तार मिलते हैं, वही संधि है।

लूप नियम (वोल्टता नियम, KVL): किसी भी बंद लूप का एक चक्कर लगाकर सारे विभव वृद्धि और पतन जोड़ो, तो योग शून्य आता है। तुम उसी बिंदु पर लौट आए हो, तो विभव भी वही लौटना चाहिए।

संधि नियम, संख्याओं के साथ

एक संधि पर 5 A और 3 A अंदर आ रही हैं। बाहर जा रही हैं 2 A और एक अज्ञात धारा। अंदर कुल 5 + 3 = 8 A आई, तो बाहर भी 8 A जानी चाहिए। ज्ञात बाहरी धाराएँ 2 A और 1.5 A हैं, जिनका योग 3.5 A है। इसलिए अज्ञात धारा 8 − 3.5 = 4.5 A।

सिमुलेशन में ऊपरी संधि पर I₁ और I₂ आ रही हैं, I₃ जा रही है। नियम बनता है I₁ + I₂ = I₃, यानी I₁ + I₂ − I₃ = 0। डिफ़ॉल्ट मानों पर 1.33 + (-0.22) − 1.11 = 0।

ध्यान दो, तुम्हें पहले से यह जानने की ज़रूरत नहीं थी कि धारा असल में किधर जाती है। हर धारा की एक दिशा मान लो, नियम लिखो, और बीजगणित सच बता देगा।

लूप नियम और चिह्नों के क़ायदे

अंक सबसे ज़्यादा चिह्नों में कटते हैं, इसलिए एक पक्की आदत बना लो। लूप पर चलने की एक दिशा चुनो। फिर जिस भी अवयव को पार करो, नीचे की तालिका से उसका चिह्न देखो।

पहले एक सरल लूप पर आज़माओ: 12 V की बैटरी और श्रेणी में 3 Ω व 5 Ω। धारा 12 ÷ (3 + 5) = 1.50 A। विभव पतन 1.50 × 3 = 4.50 V और 1.50 × 5 = 7.50 V। चक्कर लगाकर: +12 − 4.50 − 7.50 = 0। बैटरी ने जितना विभव दिया, प्रतिरोधों ने ठीक उतना ख़र्च कर दिया।

हर सवाल में चलने वाला तरीक़ा

किरख़ोफ़ के किसी भी सवाल में यही क्रम अपनाओ। एक मिनट का काम है, और हर बार एक जैसा।

• हर शाखा की धारा का नाम रखो (I₁, I₂, I₃) और हर एक पर एक तीर बनाओ। जैसा चाहो मान लो, ग़लत मानने का कोई नुक़सान नहीं।
• एक संधि के लिए संधि नियम लिखो। दो संधियों में दूसरा समीकरण पहले का दोहराव है, इसलिए एक ही काफ़ी है।
• कुछ स्वतंत्र लूप चुनो ताकि हर शाखा कम से कम एक बार आ जाए। चिह्न-तालिका से हर एक का लूप नियम लिखो।
• अब जितनी अज्ञात धाराएँ हैं उतने समीकरण हैं। प्रतिस्थापन या सारणिक से हल करो।
• उत्तरों के चिह्न देखो। धनात्मक हो तो तुम्हारी मानी दिशा सही थी। ऋणात्मक हो तो असली धारा तुम्हारे तीर के उलट है, मान सही है।
• जो लूप इस्तेमाल नहीं किया, उसमें रखकर जाँच लो। योग शून्य न आए तो कहीं चूक है।

सिमुलेशन का परिपथ, हाथ से हल

डिफ़ॉल्ट मान E₁ = 12 V, E₂ = 6 V, R₁ = 4 Ω, R₂ = 3 Ω, R₃ = 6 Ω हैं। मान लेते हैं कि I₁ और I₂ अपनी बैटरी से होकर ऊपर जाती हैं और I₃ बीच की शाखा से नीचे उतरती है।

ऋणात्मक धारा का मतलब क्या है

I₂ आई -0.22 A। यह कोई ग़लती नहीं है। इसका मतलब है कि दायीं शाखा में असली धारा 6 V की बैटरी में से नीचे की ओर, धन प्लेट से ऋण प्लेट की ओर, 0.22 A की बह रही है। 12 V की बैटरी ज़्यादा ताक़तवर है और कमज़ोर बैटरी में से धारा को उलटा धकेल रही है। बैटरी इसी तरह चार्ज होती है।

शक्ति के हिसाब से भी यही निकलता है। बैटरी 1 दे रही है 16.00 W। बैटरी 2 की E₂ × I₂ = -1.33 W है, ऋण चिह्न का मतलब वह देने की जगह 1.33 W सोख रही है। दोनों मिलकर कुल 14.67 W की आपूर्ति करती हैं।

यह ऊर्जा जाती कहाँ है? प्रतिरोधों में ऊष्मा बनकर: R₁ में 7.11 W, R₂ में 0.15 W, R₃ में 7.41 W, कुल 14.67 W। आपूर्ति और ऊष्मा बराबर हैं। लूप नियम का ऊर्जा संरक्षण यहाँ दूसरी तरफ़ से दिख गया।

कुछ और हल किए उदाहरण

उदाहरण क (सममित परिपथ): दो बराबर 10 V की बैटरियाँ, बाहरी प्रतिरोध हर एक 5 Ω, बीच का प्रतिरोध 10 Ω। सममिति से I₁ = I₂, इसलिए I₃ = 2I₁। लूप नियम से 5 I₁ + 10 × 2I₁ = 10, अतः I₁ = I₂ = 0.40 A और I₃ = 0.80 A। ऊपरी संधि निचली से 8.00 V ऊँचे विभव पर है।

उदाहरण ख (सिर्फ़ एक बैटरी): बैटरी 2 हटा दो: E₁ = 12 V, R₁ = 4 Ω, R₂ = 3 Ω, R₃ = 6 Ω और E₂ = 0। अब R₂ और R₃ समांतर हैं, तुल्य 2.00 Ω। कुल प्रतिरोध 4 + 2.00 = 6.00 Ω, इसलिए I₁ = 2.00 A। संधि का वोल्टेज 2.00 × 2.00 = 4.00 V है, अतः I₃ = 0.67 A और I₂ = −1.33 A। किरख़ोफ़ के नियम और श्रेणी-समांतर विधि एक ही उत्तर देते हैं, और ऋण चिह्न बस यह बताता है कि R₂ की धारा नीचे की ओर है।

दूसरा रास्ता: संधि का विभव

इस परिपथ को एक और तरह से भी हल कर सकते हैं: ऊपरी संधि का विभव V मान लो। तब हर शाखा की धारा ओम के नियम से मिल जाती है, और संधि नियम से सिर्फ़ V का एक समीकरण बनता है।

यहाँ चालकताएँ जोड़ने पर 1/4 + 1/3 + 1/6 = 0.75 S, और बैटरी वाले पद जोड़ने पर 12/4 + 6/3 = 5.00 A। अतः V = 5.00 ÷ 0.75 = 6.67 V, और I₃ = V ÷ 6 = 1.11 A। वही उत्तर, तीन की जगह एक समीकरण से। जब परिपथ में कई समांतर शाखाएँ हों पर संधियाँ सिर्फ़ दो, तब यह काम आता है।

आम ग़लतियाँ

इन चार ग़लतियों में सबसे ज़्यादा अंक जाते हैं।

• अपने बनाए तीर को सच्ची दिशा मान लेना। वह अनुमान है, उत्तर का चिह्न उसे सुधारता है।
• लूप पर चलते समय E और IR के चिह्न गड़बड़ा देना। बैटरी और प्रतिरोध दोनों दिशा के अनुसार विभव बढ़ाते या घटाते हैं।
• संधि नियम में तीनों धाराओं को अंदर आती लिख देना। जब तक कोई ऋणात्मक न हो, तीनों एक साथ अंदर नहीं आ सकतीं।
• यह भूल जाना कि साझा प्रतिरोध में संयुक्त धारा बहती है। लूप समीकरण में R₃ के साथ I₃ गुणा होगी, I₁ या I₂ नहीं।

परीक्षा का कोना

अंक आम तौर पर ऐसे बँटते हैं: नियम का कथन, नामांकित चित्र के साथ सही समीकरण, हल, और दिशा व मात्रक। तीर वाला साफ़ चित्र अपने आप में अंक दिलाता है।

लघु प्रश्नों में संधि नियम और लूप नियम का कथन तथा हर एक के पीछे का संरक्षण सिद्धांत (आवेश और ऊर्जा) पूछा जाता है। संख्यात्मक प्रश्नों में अक्सर दो सेल और तीन प्रतिरोध होते हैं। व्हीटस्टोन सेतु आए तो याद रखो कि वह भी असल में किरख़ोफ़ का सवाल है, और इस श्रृंखला का अगला एनिमेशन उसी पर है।

दोहराने की सूची

परीक्षा से पहले इन्हें ज़ोर से बोलकर देखो।

• संधि नियम: अंदर आती धारा = बाहर जाती धारा, क्योंकि आवेश संरक्षित है।
• लूप नियम: बंद लूप में विभव परिवर्तनों का योग शून्य, क्योंकि ऊर्जा संरक्षित है।
• प्रतिरोध से धारा की दिशा में जाओ तो −IR, विपरीत जाओ तो +IR।
• सेल में − से + की ओर जाओ तो +E, + से − की ओर जाओ तो −E।
• जितनी अज्ञात धाराएँ, उतने स्वतंत्र समीकरण चाहिए।
• ऋणात्मक उत्तर भी सही उत्तर है, बस तीर उलटा बना था।
• नतीजे को एक और लूप से जाँच लो।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न