निर्देशांक ज्यामिति: ज्यामिति को ग्रिड पर रखिए, बाकी काम बीजगणित करेगा

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

1. “दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल” मोड से शुरू करें। ग्रिड पर A और B दो बिंदु हैं (शुरू में (-4, -2) और (4, 4))। किसी को भी खींचिए; बिंदु पूर्णांक वाले खानों में बैठ जाते हैं। धराशायी भुजाएँ और समकोण का चिह्न दूरी सूत्र के पीछे छिपा समकोण त्रिभुज दिखाते हैं।
2. संख्याएँ पढ़िए। Δx और Δy दो भुजाएँ हैं, “दूरी का वर्ग” Δx² + Δy² है, और दूरी उसका वर्गमूल। शुरू में AB = 10.000। हरा बिंदु M मध्य-बिंदु है, यहाँ (0, 1)।
3. A और B को एक ही क्षैतिज रेखा पर (समान y) लाएँ तो ढाल 0 आएगा। एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर (समान x) लाएँ तो ढाल “अपरिभाषित” है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर रेखा का ढाल नहीं होता। बीच की स्थितियों में ढाल = ऊर्ध्वाधर बदलाव ÷ क्षैतिज बदलाव।
4. “अनुपात में विभाजन” मोड में जाइए। दो स्लाइडर m और n तय करते हैं (शुरू में 2 और 3)। रेखाखंड 5 बराबर कदमों में बँटता है और P, A से 2 कदम दूर (-0.80, 0.40) पर बैठता है। रीडिंग में AP ÷ PB और m ÷ n मिलाइए; दोनों बराबर हैं।
5. “बाह्य विभाजन” पर टिक करें तो P रेखाखंड के बाहर चला जाता है। फिर m = n कीजिए: बाह्य बिंदु गायब हो जाता है, क्योंकि तब शून्य से भाग देना पड़ता।
6. अंत में “बिंदुपथ (समदूरस्थ)” मोड में जाइए। हरी रेखा A और B से बराबर दूरी वाले सभी बिंदुओं का समूह है। नारंगी बिंदु P को रेखा के आर-पार खींचिए: PA और PB तभी बराबर होते हैं जब P ठीक रेखा पर हो, और निष्कर्ष बताता है कि कौन-सी तरफ़ कौन पास है।

ग्रिड पर एक रोबोट

सोचिए एक फ़र्श वर्गाकार टाइलों से ढका है और उस पर एक रोबोट है। आप कहते हैं “चार टाइल दाएँ, तीन टाइल ऊपर”, और रोबोट ठीक जानता है कि कहाँ रुकना है। अब कठिन सवाल: शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु सीधी रेखा में कितनी दूर है, टाइलों के रास्ते नहीं? या ठीक बीच का बिंदु कहाँ है? या एक-तिहाई रास्ते का बिंदु?

निर्देशांक ज्यामिति इन सबका जवाब बिना पैमाने के देती है। 1600 के आसपास रेने देकार्त का बड़ा विचार हर बिंदु को दो संख्याओं से पहचानना था। जब बिंदु संख्याओं की जोड़ी है, तो रेखा एक समीकरण है, वृत्त एक समीकरण है, और ज्यामिति की पहेली ऐसा हिसाब बन जाती है जिसे कैलकुलेटर पूरा कर सकता है।

शून्य से निर्देशांक: अक्ष, मूल-बिंदु और चतुर्थांश

एक क्षैतिज संख्या-रेखा खींचिए, x-अक्ष, और एक ऊर्ध्वाधर रेखा, y-अक्ष। ये जहाँ मिलती हैं वह मूल-बिंदु है, यानी (0, 0)। समतल के हर बिंदु की एक क्रमित जोड़ी (x, y) होती है: x बताता है कि x-अक्ष पर कितना चलना है (दाएँ धनात्मक, बाएँ ऋणात्मक), और y बताता है कि ऊपर या नीचे कितना।

क्रम मायने रखता है। (3, 2) का मतलब तीन कदम दाएँ और दो ऊपर। (2, 3) बिल्कुल दूसरी जगह है। दोनों अक्ष समतल को चार भागों में बाँटते हैं, जिनकी गिनती ऊपर-दाएँ से घड़ी की उलटी दिशा में होती है।

दूरी सूत्र: भेष बदला हुआ पाइथागोरस

A(x₁, y₁) से B(x₂, y₂) की सीधी दूरी निकालने के लिए कुछ नापना नहीं पड़ता। बस A से B तक दो चालों में चलिए: पहले बगल में Δx = x₂ − x₁, फिर ऊपर या नीचे Δy = y₂ − y₁। ये दो चालें एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं, और सीधी रेखा AB उसका कर्ण।

सिमुलेशन में यह त्रिभुज धराशायी भुजाओं और समकोण चिह्न के साथ बना है। पाइथागोरस कहता है कर्ण का वर्ग दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, इसलिए वर्गमूल लेते ही दूरी मिल जाती है। वर्ग करने से ऋण चिह्न हट जाता है, इसलिए किसे A कहें, इससे फ़र्क नहीं पड़ता।

मध्य-बिंदु: बस निर्देशांकों का औसत

AB का मध्य-बिंदु M ठीक बीच का बिंदु है। x में बीच का मतलब दोनों x का औसत, y में बीच का मतलब दोनों y का औसत। इससे ज़्यादा कुछ नहीं।

सिमुलेशन में A या B खींचने पर हरा बिंदु M खिसकता है। शुरू में वह (0, 1) पर है: x जोड़कर आधा, y जोड़कर आधा।

ढाल: रेखा कितनी तीखी है?

A और B से जाने वाली रेखा का ढाल m ऊर्ध्वाधर बदलाव ÷ क्षैतिज बदलाव है: दाएँ एक इकाई चलने पर रेखा कितना चढ़ती है। दाएँ ऊपर चढ़े तो ढाल धनात्मक, नीचे उतरे तो ऋणात्मक, क्षैतिज रेखा का ढाल 0, और ऊर्ध्वाधर रेखा का ढाल नहीं होता क्योंकि क्षैतिज बदलाव 0 है और 0 से भाग नहीं होता।

ढाल से दो रेखाओं का संबंध भी पता चलता है। समांतर रेखाओं के ढाल बराबर होते हैं। लंब रेखाओं के ढालों का गुणनफल −1 होता है, जैसे 2 और −1/2।

विभाजन सूत्र: रेखाखंड को अनुपात में काटना

कभी-कभी ठीक बीच का बिंदु नहीं चाहिए होता। सर्वेक्षक को सीमा के एक-तिहाई रास्ते पर खूँटा गाड़ना है। गेम डिज़ाइनर चाहता है कि दुश्मन फाटक से मीनार के दो-पाँचवें रास्ते पर प्रकट हो। यही रेखाखंड AB को m : n अनुपात में बाँटना है।

सोचिए AB को m + n बराबर कदमों में बाँटा गया है। बिंदु P, A से m कदम और B से n कदम दूर है। कदम बराबर हैं, इसलिए P, A और B का भारित औसत है: B का भार m, A का भार n, फिर m + n से भाग। सिमुलेशन कदमों की निशानियाँ खींचता है ताकि आप गिनकर देख सकें।

बिंदुपथ: दो बिंदुओं से बराबर दूरी वाले सभी बिंदु

बिंदुपथ उन सभी बिंदुओं का पथ है जो एक नियम मानते हैं। नियम लीजिए “A से और B से बराबर दूरी”। कुछ बिंदु परखिए: मध्य-बिंदु M मानता है। M के ठीक ऊपर का बिंदु भी, और नीचे वाला भी। सबको जोड़ें तो M से होकर AB पर लंब एक सरल रेखा मिलती है: लंब समद्विभाजक।

सिमुलेशन में नारंगी बिंदु P खींचिए। PA और PB दूरियाँ हैं। दोनों बराबर हों तो P ठीक हरी रेखा पर है और निष्कर्ष हरा हो जाता है। रेखा की एक तरफ़ P, A के पास है; दूसरी तरफ़ B के पास। छोटा हरा बिंदु Q रेखा पर सरकता है और जहाँ भी हो QA और QB बराबर रहते हैं।

समीकरण के लिए PA² = PB² लिखकर फैलाइए। x² और y² कट जाते हैं और एक सरल रेखा बचती है: Δx · x + Δy · y = (|B|² − |A|²) ÷ 2, जहाँ |B|² का मतलब x₂² + y₂²। रीडिंग में आपके बिंदुओं के लिए यही समीकरण छपता है।

सिमुलेशन में खुद आज़माइए

पाँच छोटे प्रयोग सूत्रों को हाथ से महसूस कराते हैं। सिर्फ़ पढ़िए मत, बिंदु और स्लाइडर हिलाइए।

• B को ऐसी जगह खींचिए कि Δx = 3 और Δy = 4 हो। दूरी ठीक 5 है। अब Δx = 5, Δy = 12 कीजिए तो 13।
• A और B को एक ही क्षैतिज रेखा पर रखिए। दूरी बस |Δx| है और ढाल 0। ऊर्ध्वाधर रेखा पर रखें तो ढाल अपरिभाषित।
• “अनुपात में विभाजन” में m = n कीजिए। P मध्य-बिंदु पर बैठता है। m बढ़ाइए और P को B की ओर सरकते देखिए।
• “बाह्य विभाजन” पर टिक करके m = 3, n = 2 कीजिए। P छलाँग लगाकर B के पार चला जाता है। AP ÷ PB अब भी m ÷ n है, पर P रेखाखंड के बाहर है।
• “बिंदुपथ” में P को तिरछी रेखा पर खींचिए और PA, PB देखिए। लंब समद्विभाजक को काटने वाली हर रेखा पर ठीक एक बिंदु पर दोनों बराबर होते हैं।

हल किए हुए प्रश्न

नीचे का हर उत्तर उन्हीं फ़ंक्शनों से निकाला गया है जो सिमुलेशन इस्तेमाल करता है।

आम गलतियाँ

ये गलतियाँ हर साल अंक कटवाती हैं। कॉपी जमा करने से पहले जाँच लीजिए।

• ऋणात्मक अंतर का वर्ग करना भूल जाना। (−4)² बराबर 16 है, −16 नहीं और 4 भी नहीं।
• दूरी सूत्र में x और y का घटाना अलग क्रम में करना। वर्ग से चिह्न छिप जाता है, फिर भी हर जोड़ी अपने भीतर एकरूप होनी चाहिए।
• विभाजन सूत्र में भार उलट देना। B के साथ m और A के साथ n, उलटा नहीं।
• बाह्य विभाजन में m = n होने पर m − n से भाग देना। ऐसा कोई बिंदु नहीं होता।
• ढाल को क्षैतिज ÷ ऊर्ध्वाधर लिखना, या ऊर्ध्वाधर रेखा का ढाल 0 कहना। वह अपरिभाषित है; क्षैतिज रेखा का ढाल 0 होता है।

असल ज़िंदगी में निर्देशांक

हर मैप ऐप निर्देशांक ज्यामिति है। आपका फ़ोन आपकी जगह को संख्याओं की जोड़ी में बदलता है, जोड़ियों के बीच की दूरी नापता है और “बीच में मिलें” सुझाव के लिए मध्य-बिंदु निकालता है। वीडियो गेम में हर किरदार निर्देशांक है, और टकराव की जाँच यानी दूरी सूत्र का सेकंड में हज़ारों बार चलना।

इंजीनियर पुल और सड़कें निर्देशांक ग्रिड पर बनाते हैं, वास्तुकार दीवारों और दरवाज़ों की जगह भी वैसे ही तय करते हैं। विभाजन सूत्र सीमा के एक-तिहाई रास्ते पर खूँटा लगवाता है, और बिंदुपथ का विचार तय करता है कि दो गाँवों से बराबर दूरी पर नया स्कूल कहाँ बने।

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, रोबोटिक्स और मौसम का पूर्वानुमान भी इसी विचार पर चलते हैं: दुनिया को संख्याओं से बताइए, फिर हिसाब लगाइए।

परीक्षा का कोना

कक्षा 9 से 11 के निर्देशांक के प्रश्न ज़्यादातर पाँच प्रकार के होते हैं। लिखना शुरू करने से पहले प्रकार पहचान लीजिए।

• दूरी: AB निकालना, या दूरियाँ तुलना करके त्रिभुज को समद्विबाहु, समबाहु या समकोण सिद्ध करना।
• मध्य-बिंदु: मध्य-बिंदु निकालना, या छूटा सिरा अथवा प्राचल ज्ञात करना।
• ढाल: समांतर, लंब या संरेख बिंदुओं की जाँच।
• विभाजन सूत्र: अनुपात में बाँटना, अनुपात ज्ञात करना, या अक्ष रेखा को कहाँ काटता है।
• बिंदुपथ: दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समीकरण।

पुनरावृत्ति सार

इस पन्ने से कुछ और याद न रहे तो ये पंक्तियाँ याद रखिए।

• दूरी यानी Δx और Δy भुजाओं पर पाइथागोरस।
• मध्य-बिंदु औसत है; विभाजन बिंदु भारित औसत।
• समांतर: ढाल बराबर। लंब: गुणनफल −1।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न