परिपथ बंद करके देखो कि ज़िंक की छड़ पतली होती है और ताँबे की मोटी। फिर सांद्रता के स्लाइडर हिलाओ: सेल की वोल्टता नर्स्ट समीकरण के हिसाब से ऊपर-नीचे होती है।
नियंत्रण
मापन
- मानक EMF (E°)
- 1.10V
- अभी का EMF (नर्स्ट)
- 1.100V
- Q = [Zn²⁺] ÷ [Cu²⁺]
- 1.00
- [Zn²⁺]
- 1.00M
- [Cu²⁺]
- 1.00M
- Zn छड़ का द्रव्यमान बदलाव
- 0.000g
- Cu छड़ का द्रव्यमान बदलाव
- 0.000g
- बहा आवेश
- 0C
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- ऊपर समीकरण और वोल्टमीटर पर अभी का EMF देखो। परिपथ बंद हो तो पीले इलेक्ट्रॉन तार से Zn से Cu की ओर चलते हैं।
- नीचे के ग्राफ़ में दोनों छड़ों का द्रव्यमान देखो: ज़िंक घटता है, ताँबा बढ़ता है। परिपथ खोलो तो सब रुक जाता है, पर वोल्टता बनी रहती है।
- अब Zn²⁺ और Cu²⁺ के स्लाइडर हिलाओ। Cu²⁺ घटाने पर EMF घटता है, Zn²⁺ घटाने पर बढ़ता है। यही नर्स्ट समीकरण है।
- सेल को देर तक चलाओ तो अभिकारक घटते हैं, Q बढ़ता है और EMF धीरे-धीरे गिरता है। सिमुलेशन की गति बढ़ाकर इसे जल्दी देख सकते हो।
टॉर्च के अंदर क्या होता है
टॉर्च की बैटरी खोलो तो अंदर कोई मशीन नहीं, बस कुछ रसायन हैं। फिर भी स्विच दबाते ही बल्ब जल उठता है। एक सिरे पर कोई पदार्थ इलेक्ट्रॉन छोड़ना चाहता है, दूसरे सिरे पर कोई उन्हें लेना चाहता है। बीच में तार मिल जाए तो इलेक्ट्रॉन उसी से दौड़ते हैं, और रास्ते में बल्ब हो तो वह जल जाता है।
गैल्वेनिक सेल ठीक यही व्यवस्था है। एक अभिक्रिया अपने-आप होना चाहती है, पर हम उसे एक बीकर में नहीं होने देते। ऑक्सीकरण एक में, अपचयन दूसरे में, और इलेक्ट्रॉनों को तार से गुज़रना पड़ता है। वही दौड़ बिजली है।
सिमुलेशन में ज़िंक की छड़ इलेक्ट्रॉन छोड़ती है और ताँबे के विलयन का Cu²⁺ उन्हें लेता है। दोनों सिरों की खिंचाव का यही अंतर वोल्टमीटर पर 1.10 V बनकर दिखता है।
डेनियल सेल के हिस्से
1836 में जॉन डेनियल ने यह सेल बनाया था। इसके हर हिस्से का एक तय काम है।
| हिस्सा | किससे बना | काम |
|---|---|---|
| ऐनोड (−) | ZnSO₄ विलयन में Zn छड़ | यहाँ ऑक्सीकरण होता है: Zn → Zn²⁺ + 2e⁻ |
| कैथोड (+) | CuSO₄ विलयन में Cu छड़ | यहाँ अपचयन होता है: Cu²⁺ + 2e⁻ → Cu |
| बाहरी तार | धातु का तार | इलेक्ट्रॉन ऐनोड से कैथोड तक जाते हैं |
| लवण सेतु | KNO₃ भरी U-नली | आयनों के चलने से परिपथ पूरा करता है और आवेश संतुलित रखता है |
| वोल्टमीटर | तार के बीच | दोनों छड़ों के बीच विभवांतर (EMF) नापता है |
दो अर्ध-अभिक्रियाएँ, एक पूरी अभिक्रिया
ज़िंक की छड़ से Zn परमाणु इलेक्ट्रॉन छोड़कर Zn²⁺ आयन बनकर विलयन में चले जाते हैं। इसलिए छड़ पतली होती है और द्रव्यमान घटता है। इलेक्ट्रॉन तार से ताँबे की छड़ तक पहुँचते हैं। वहाँ विलयन के Cu²⁺ आयन उन्हें लेकर Cu परमाणु बनते हैं और छड़ पर जम जाते हैं, इसलिए छड़ मोटी होती है और द्रव्यमान बढ़ता है।
दोनों अर्ध-अभिक्रियाएँ जोड़ें तो पूरी अभिक्रिया मिलती है: Zn + Cu²⁺ → Zn²⁺ + Cu। दोनों ओर इलेक्ट्रॉन बराबर हैं, इसलिए n = 2।
ऐनोड: Zn → Zn²⁺ + 2e⁻ऑक्सीकरण, द्रव्यमान घटता है
कैथोड: Cu²⁺ + 2e⁻ → Cuअपचयन, द्रव्यमान बढ़ता है
कुल: Zn + Cu²⁺ → Zn²⁺ + Cuसेल अभिक्रिया
Zn | Zn²⁺ ‖ Cu²⁺ | Cuसेल संकेत: बाएँ ऐनोड, दाएँ कैथोड, ‖ यानी लवण सेतु
लवण सेतु न होता तो क्या होता
Zn²⁺ जमा होता जाए तो बायाँ बीकर धनात्मक होता जाता है। Cu²⁺ घटता जाए तो दाएँ बीकर में ऋणात्मक सल्फेट आयन बचे रह जाते हैं। आवेश का यह असंतुलन इलेक्ट्रॉनों का बहना रोक देगा, क्योंकि अगले इलेक्ट्रॉन को और ज़्यादा रुकावट पार करनी पड़ेगी।
लवण सेतु यह गड़बड़ी सुलझाता है। K⁺ धनायन कैथोड की ओर और NO₃⁻ ऋणायन ऐनोड की ओर जाते हैं। दोनों बीकर उदासीन रहते हैं, परिपथ पूरा रहता है और इलेक्ट्रॉन बहते रहते हैं।
सिमुलेशन में परिपथ बंद करने पर सेतु में नीले कण दाएँ और लाल कण बाएँ चलते दिखेंगे। परिपथ खोलते ही वे रुक जाते हैं।
मानक विभव और सेल EMF
हर धातु-आयन जोड़ी का एक मानक अपचयन विभव E° होता है, जो हाइड्रोजन इलेक्ट्रोड के सापेक्ष नापा जाता है। Zn²⁺/Zn का E° = -0.76 V और Cu²⁺/Cu का E° = +0.34 V है। जिसका E° ज़्यादा है वह इलेक्ट्रॉन लेने में आगे है, इसलिए वही कैथोड है।
सेल EMF = कैथोड का E° − ऐनोड का E° = 0.34 − (-0.76) = 1.10 V। यह धनात्मक है, इसलिए अभिक्रिया स्वतः होती है। धनात्मक EMF का मतलब ऋणात्मक ΔG° भी है: ΔG° = −nFE° = −-212.3 kJ।
किसी भी धातु की जोड़ी बनाओ, E° देखकर पता चल जाता है कि ऐनोड कौन होगा। यहाँ हर एक को ताँबे के साथ जोड़ा गया है:
E°सेल = E°कैथोड − E°ऐनोडदोनों अपचयन विभव हैं
ΔG° = −nFE°F = 96,485 C/mol
| जोड़ी | E° (V) | Cu के साथ ऐनोड | सेल EMF (V) |
|---|---|---|---|
| Mg²⁺/Mg | -2.37 | Mg | 2.71 |
| Zn²⁺/Zn | -0.76 | Zn | 1.10 |
| Fe²⁺/Fe | -0.44 | Fe | 0.78 |
| Ag⁺/Ag | 0.80 | Cu | 0.46 |
नर्स्ट समीकरण: सांद्रता EMF को बदल देती है
मानक मान तब मिलता है जब दोनों आयनों की सांद्रता 1 M हो। असली सेल में सांद्रताएँ अलग होती हैं, तब EMF के लिए नर्स्ट समीकरण चाहिए। Q अभिक्रिया-भागफल है: उत्पाद ÷ अभिकारक, यहाँ [Zn²⁺] ÷ [Cu²⁺]।
25 °C पर 2.303RT ÷ F का मान 0.0592 V है। n = 2 के लिए गुणांक 0.0592 ÷ 2 = 0.0296 होता है।
Q बड़ा (Zn²⁺ ज़्यादा या Cu²⁺ कम) हो तो EMF घटता है, Q छोटा हो तो बढ़ता है, और Q = 1 पर EMF = E°। नीचे की सारणी को सिमुलेशन के स्लाइडरों से मिलाकर देखो।
E = E° − (0.0592 ÷ n) × log₁₀ Q25 °C पर
Q = [Zn²⁺] ÷ [Cu²⁺]ठोस धातुएँ Q में नहीं आतीं
| [Zn²⁺] (M) | [Cu²⁺] (M) | Q | EMF (V) |
|---|---|---|---|
| 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.100 |
| 1.00 | 0.10 | 10.00 | 1.070 |
| 1.00 | 0.01 | 100.00 | 1.041 |
| 0.10 | 1.00 | 0.10 | 1.130 |
| 0.01 | 1.00 | 0.01 | 1.159 |
| 2.00 | 0.05 | 40.00 | 1.053 |
छड़ें कितनी बदलती हैं: फैराडे का हिसाब
तार से जितना आवेश बहता है, उतने ही मोल इलेक्ट्रॉन सरकते हैं। 1 मोल इलेक्ट्रॉन का आवेश 96,485 C है (फैराडे स्थिरांक F)। Zn → Zn²⁺ + 2e⁻ के अनुसार 2 मोल इलेक्ट्रॉन 1 मोल Zn घोलते हैं और 1 मोल Cu जमाते हैं।
सिमुलेशन में हर बीकर 100 mL का है। 10 मिलीमोल अभिक्रिया के बाद 0.654 g Zn घुलता है, 0.636 g Cu जमता है और 1,930 C आवेश बहता है। तब [Zn²⁺] 1.10 M, [Cu²⁺] 0.90 M और EMF गिरकर 1.097 V हो जाता है।
m = (I × t × M) ÷ (n × F)I ऐम्पियर में, t सेकंड में, M g/mol में
आवेश = I × tकूलॉम में
सिमुलेशन में खुद करके देखो
प्रयोग एक-एक करके करो, और हर बार पहले अनुमान लिख लो।
- प्रयोग 1: दोनों स्लाइडर 10⁰ M (1 M) पर रखकर परिपथ बंद करो। EMF लगभग 1.10 V है, और चलते-चलते थोड़ा-थोड़ा गिरता है।
- प्रयोग 2: परिपथ खोल दो। इलेक्ट्रॉन और आयन दोनों रुक जाते हैं, द्रव्यमान नहीं बदलता, पर वोल्टमीटर फिर भी वोल्टता दिखाता है।
- प्रयोग 3: [Cu²⁺] को −2 (0.01 M) तक घटाओ। EMF गिरकर लगभग 1.041 V हो जाता है, क्योंकि Q = 100।
- प्रयोग 4: [Zn²⁺] को 0.1 M करो और [Cu²⁺] 1 M रखो। EMF बढ़कर 1.130 V हो जाता है, क्योंकि Q छोटा है।
- प्रयोग 5: [Cu²⁺] बहुत कम रखो और गति बढ़ाओ। Cu²⁺ जल्दी चुक जाता है, सेल “ख़त्म” दिखाता है और द्रव्यमान बदलना बंद हो जाता है।
हल किए हुए सवाल
यहाँ की सारी संख्याएँ सिमुलेशन के अपने मॉडल से निकाली गई हैं, इसलिए स्क्रीन से मिलाकर देख सकते हो।
सवाल 1: Zn-Cu सेल का मानक EMF क्या है?
कैथोड Cu (E° = 0.34 V), ऐनोड Zn (E° = -0.76 V)। E°सेल = 0.34 − (-0.76) = 1.10 V।
सवाल 2: [Zn²⁺] = 0.10 M और [Cu²⁺] = 1.00 M हो तो EMF क्या होगा?
Q = 0.10 ÷ 1.00 = 0.10। E = 1.10 − 0.0296 × log 0.10 = 1.130 V।
Q 1 से छोटा है, इसलिए log Q ऋणात्मक है और EMF मानक मान से ऊपर आता है।
सवाल 3: [Zn²⁺] = 1.00 M और [Cu²⁺] = 0.01 M हो तो EMF क्या होगा?
Q = 1.00 ÷ 0.01 = 100, इसलिए log Q = 2। E = 1.10 − 0.0296 × 2 = 1.041 V।
यह मानक मान से 0.059 V कम है। सांद्रता सौ गुना घटाने पर भी वोल्टता ज़्यादा नहीं हिलती।
सवाल 4: 0.50 A धारा 30 मिनट बहे तो कितना Zn घुलेगा और कितना Cu जमेगा?
आवेश = 0.50 × 1,800 = 900 C। अभिक्रिया की मात्रा = 900 ÷ (2 × 96,485) = 4.664 मिलीमोल, यही Zn के मोल हैं।
Zn घटा: 4.664 मिलीमोल × 65.38 g/mol = 0.305 g। Cu जमा: 4.664 × 63.55 = 0.296 g।
सवाल 5: Cu-Ag सेल में ऐनोड कौन है, EMF क्या है, और Zn-Cu सेल का साम्य स्थिरांक क्या है?
Ag⁺/Ag का E° 0.80 V है, Cu का 0.34 V। Cu का E° कम है, इसलिए Cu ऐनोड है। EMF = 0.80 − 0.34 = 0.46 V।
Zn-Cu सेल के लिए log K = nE° ÷ 0.0592 = 37.2, इसलिए K ≈ 1.5 × 10³⁷। अभिक्रिया लगभग पूरी होकर ही रुकती है।
वे ग़लतियाँ जो सब करते हैं
परीक्षा में सबसे ज़्यादा अंक यहीं कटते हैं।
- ऐनोड और कैथोड उलझाना: गैल्वेनिक सेल में ऐनोड ऋणात्मक और कैथोड धनात्मक होता है। विद्युत अपघटन में उल्टा।
- घटाने का क्रम उलट देना: कैथोड घटा ऐनोड, और दोनों अपचयन विभव हों।
- E° को गुणांक से गुणा करना: विभव गहन गुण है, समीकरण को दोगुना करने पर भी नहीं बदलता।
- इलेक्ट्रॉन लवण सेतु से जाते हैं सोचना: इलेक्ट्रॉन तार से, आयन सेतु से।
- Q में ठोस धातु लिखना: Zn और Cu ठोस हैं, इसलिए Q में सिर्फ़ आयनों की सांद्रता आती है।
- log Q का चिह्न ग़लत करना: Q = [उत्पाद] ÷ [अभिकारक] और E = E° − …।
असल ज़िंदगी में गैल्वेनिक सेल
डेनियल सेल अब संग्रहालय की चीज़ है, पर यही सिद्धांत आज की हर बैटरी में चलता है।
- टॉर्च और घड़ी की बैटरी: ज़िंक-कार्बन या क्षारीय सेल ठीक इसी सिद्धांत पर चलते हैं।
- फ़ोन की बैटरी: लिथियम-आयन सेल एक गैल्वेनिक सेल है जिसे दोबारा चार्ज किया जा सकता है।
- गाड़ी की बैटरी: लेड-ऐसिड बैटरी में कई सेल श्रेणी में जुड़े होते हैं।
- जंग से बचाव: गैल्वेनाइज़्ड लोहे पर ज़िंक की परत होती है, ज़िंक ऐनोड बनकर पहले घिसता है और लोहा बच जाता है।
- ईंधन सेल: हाइड्रोजन और ऑक्सीजन से सीधे बिजली।
परीक्षा का कोना
पहले ख़ुद हल करो, फिर उत्तर मिलाओ।
- लघु प्रश्न: गैल्वेनिक सेल क्या है? लवण सेतु के दो काम लिखो। ऐनोड और कैथोड पर क्या होता है?
- संख्यात्मक: Zn-Cu सेल का मानक EMF क्या है? उत्तर: 1.10 V।
- संख्यात्मक: [Zn²⁺] = 0.10 M, [Cu²⁺] = 1.00 M हो तो EMF? उत्तर: 1.130 V।
- संख्यात्मक: 0.50 A, 30 मिनट में कितना Zn घुलेगा? उत्तर: 0.305 g।
- तर्क: समय के साथ Zn-Cu सेल की वोल्टता क्यों घटती है? Zn²⁺ बढ़ता है, Cu²⁺ घटता है, Q बढ़ता है।
- संकेत: Zn-Cu सेल को संकेत में लिखो। उत्तर: Zn | Zn²⁺ ‖ Cu²⁺ | Cu।
दोहराव: एक नज़र में
परीक्षा से पहले की रात यह सूची पढ़ लो।
- गैल्वेनिक सेल स्वतः होने वाली रेडॉक्स अभिक्रिया से बिजली बनाता है।
- ऐनोड पर ऑक्सीकरण (ऋणात्मक), कैथोड पर अपचयन (धनात्मक); इलेक्ट्रॉन तार से ऐनोड से कैथोड जाते हैं।
- लवण सेतु आयन चलाकर आवेश संतुलित रखता है और परिपथ पूरा करता है।
- E°सेल = E°कैथोड − E°ऐनोड; Zn-Cu सेल में 1.10 V।
- नर्स्ट: E = E° − (0.0592 ÷ n) log Q; Q बढ़े तो EMF घटता है।
- Zn का द्रव्यमान घटता है, Cu का बढ़ता है; मात्रा m = I t M ÷ (n F) से।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
गैल्वेनिक सेल क्या है?
वह विद्युत रासायनिक सेल जिसमें स्वतः होने वाली रेडॉक्स अभिक्रिया की रासायनिक ऊर्जा विद्युत ऊर्जा में बदलती है, गैल्वेनिक या वोल्टीय सेल कहलाता है। डेनियल सेल इसका सरल उदाहरण है।
डेनियल सेल में कौन-सी छड़ ऐनोड है और कौन-सी कैथोड?
ज़िंक की छड़ ऐनोड (ऋणात्मक) है, जहाँ Zn ऑक्सीकृत होकर Zn²⁺ बनता है और छड़ का द्रव्यमान घटता है। ताँबे की छड़ कैथोड (धनात्मक) है, जहाँ Cu²⁺ अपचयित होकर Cu बनता है और द्रव्यमान बढ़ता है।
लवण सेतु का काम क्या है?
यह दोनों अर्ध-सेलों को आयनों के रास्ते से जोड़कर परिपथ पूरा करता है और दोनों विलयनों में आवेश का संतुलन रखता है। K⁺ कैथोड की ओर और NO₃⁻ ऐनोड की ओर जाता है।
Zn-Cu सेल का मानक EMF कितना है?
E°सेल = E°(Cu²⁺/Cu) − E°(Zn²⁺/Zn) = 0.34 − (-0.76) = 1.10 V।
नर्स्ट समीकरण क्या कहता है?
सांद्रताएँ मानक न हों तो 25 °C पर E = E° − (0.0592 ÷ n) log Q होता है। Zn-Cu सेल में Q = [Zn²⁺] ÷ [Cu²⁺]। [Cu²⁺] = 0.01 M और [Zn²⁺] = 1.00 M हो तो EMF 1.041 V है।
सेल की वोल्टता समय के साथ क्यों घटती है?
अभिक्रिया चलने पर Zn²⁺ बढ़ता और Cu²⁺ घटता है, इसलिए Q बढ़ता है और नर्स्ट समीकरण के अनुसार EMF गिरता है। कोई अभिकारक चुक जाए तो वोल्टता शून्य के पास पहुँच जाती है।
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भौतिकी
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
भौतिकी
आनत तल
भौतिकी
एकसमान वृत्तीय गति
भौतिकी
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
भौतिकी
उत्तोलक और आघूर्ण
भौतिकी
द्रव्यमान केंद्र
भौतिकी
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
भौतिकी
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
भौतिकी
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
भौतिकी
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
भौतिकी
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, g और उपग्रह
भौतिकी
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
भौतिकी
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
भौतिकी
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
भौतिकी
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
भौतिकी
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
भौतिकी
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
भौतिकी
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
भौतिकी
एकल झिरी से विवर्तन
भौतिकी
आँख के दोष और उनका निवारण
भौतिकी
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
भौतिकी
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
भौतिकी
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
भौतिकी
एसी जनित्र
भौतिकी
ट्रांसफ़ॉर्मर
भौतिकी
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
भौतिकी
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
भौतिकी
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
भौतिकी
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
भौतिकी
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
भौतिकी
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
भौतिकी
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
जीव विज्ञान
समसूत्री कोशिका विभाजन
जीव विज्ञान
विसरण और परासरण
जीव विज्ञान
प्रकाश संश्लेषण
जीव विज्ञान
मानव हृदय की संरचना और कार्य
जीव विज्ञान
मेंडल के आनुवंशिकता नियम
जीव विज्ञान
डीएनए प्रतिकृति
जीव विज्ञान
कोशिकीय श्वसन
जीव विज्ञान
एंजाइम क्रिया
जीव विज्ञान
तंत्रिका आवेग और एक्शन पोटेंशियल
जीव विज्ञान
नेफ्रॉन और मूत्र निर्माण की प्रक्रिया
जीव विज्ञान
अर्धसूत्री विभाजन (मियोसिस)
जीव विज्ञान
पाचन तंत्र
जीव विज्ञान
श्वसन क्रियाविधि: अंतःश्वसन और उच्छ्वसन
जीव विज्ञान
प्रोटीन संश्लेषण
जीव विज्ञान
रक्त परिसंचरण: दोहरा परिसंचरण और हृदय निर्गम
जीव विज्ञान
कोशिका की संरचना और कोशिकांग: पादप कोशिका बनाम जंतु कोशिका
जीव विज्ञान
प्रतिवर्ती क्रिया और प्रतिवर्ती चाप
जीव विज्ञान
मानव नेत्र: संरचना, प्रतिबिंब और समंजन
जीव विज्ञान
पेशी संकुचन और स्लाइडिंग-फ़िलामेंट मॉडल
जीव विज्ञान
पौधों में परिवहन: जाइलम, फ्लोएम और वाष्पोत्सर्जन
जीव विज्ञान
खाद्य श्रृंखला और खाद्य जाल: ऊर्जा प्रवाह और 10 % नियम
जीव विज्ञान
जनसंख्या वृद्धि: चरघातांकी और लॉजिस्टिक वक्र
जीव विज्ञान
प्राकृतिक चयन: पेप्पर्ड मॉथ और कालिख वाला पेड़
जीव विज्ञान
प्रतिरक्षा अनुक्रिया: प्राथमिक और द्वितीयक प्रतिपिंड अनुक्रिया
जीव विज्ञान
परागण और निषेचन
गणित
पाइथागोरस प्रमेय
गणित
त्रिकोणमितीय अनुपात और इकाई वृत्त
गणित
द्विघात समीकरण और द्विघात फलन का ग्राफ़
गणित
वृत्त के प्रमेय
गणित
ऊँचाई और दूरी: उन्नयन कोण और अवनमन कोण
गणित
प्रायिकता: प्रयोगसिद्ध बनाम सैद्धांतिक प्रायिकता
गणित
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी
गणित
माध्य, माध्यिका और बहुलक
गणित
समुच्चय और वेन आरेख
गणित
रैखिक समीकरण युग्म और सरल रेखा का आलेख
गणित
sin, cos, tan के आलेख
गणित
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि और द्विघात समीकरण
गणित
वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
गणित
ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
गणित
समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
गणित
निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
गणित
शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
गणित
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
गणित
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
गणित
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
गणित
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
गणित
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
गणित
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
गणित
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
गणित