नियंत्रण
कौन-सा दृश्य
मापन
- गुरुत्वाकर्षण बल
- 3.34 × 10⁻⁷N
- दूरी दोगुनी होने पर बल
- 8.34 × 10⁻⁸N
- दूरी आधी होने पर बल
- 1.33 × 10⁻⁶N
- पहले पिंड का त्वरण
- 3.34 × 10⁻⁹m/s²
- दूसरे पिंड का त्वरण
- 1.67 × 10⁻⁹m/s²
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- पहले “दो पिंड” दृश्य में डिफ़ॉल्ट मान से शुरू करें: 100 kg और 200 kg, 2.0 m की दूरी पर। बल 3.34 × 10⁻⁷ N दिखेगा, इतना छोटा कि हाथ से महसूस करना असंभव है।
- दूरी का स्लाइडर खींचें और लाल निशान को ग्राफ़ पर फिसलते देखें। दूरी दोगुनी करने पर बल एक-चौथाई रह जाता है। दोनों स्थितियाँ रीडिंग में लिखी हैं।
- दोनों पिंडों के त्वरण की रीडिंग साथ-साथ देखें। बल दोनों पर बराबर है, पर हल्के पिंड का त्वरण ज़्यादा है। द्रव्यमान बराबर कर दें तो त्वरण भी बराबर हो जाएगा।
- “ऊँचाई और गहराई पर g” दृश्य खोलें। दाईं ओर (अंतरिक्ष) से r/R = 1 (सतह) तक आएँ, फिर पृथ्वी के अंदर जाएँ। बाहर वक्र 1/r² की तरह घटता है, अंदर सीधी रेखा की तरह।
- “उपग्रह की कक्षा” दृश्य में 400 km से शुरू करें। चाल और आवर्तकाल पढ़कर ऊँचाई बढ़ाएँ। उपग्रह धीमा होता जाता है और एक चक्कर में ज़्यादा समय लगता है।
- हरे बिंदीदार घेरे पर ऊँचाई ले जाएँ। लगभग 35,764 km पर आवर्तकाल ठीक एक दिन है, इसलिए उपग्रह ज़मीन के एक ही बिंदु के ऊपर टिका रहता है।
सेब, चंद्रमा और एक ही विचार
कहानी है कि न्यूटन ने एक सेब गिरते देखा और अजीब सवाल पूछा: जो खिंचाव सेब को नीचे लाता है, क्या वह चंद्रमा तक भी पहुँचता है? अगर पहुँचता है, तो चंद्रमा भी गिर रहा है। बस वह बगल में इतनी तेज़ी से दौड़ रहा है कि हर बार पृथ्वी से चूक जाता है।
इस एक विचार ने आसमान और ज़मीन को जोड़ दिया। जिस नियम से क्रिकेट की गेंद नीचे आती है, उसी से चंद्रमा महीने में एक बार पृथ्वी का चक्कर लगाता है, ग्रह सूर्य के गिर्द बने रहते हैं, और तय होता है कि उपग्रह को कितनी तेज़ी से उड़ना होगा।
परीक्षा में इस अध्याय से मोटे तौर पर तीन तरह के सवाल आते हैं। एक, दो पिंडों के बीच बल निकालना या दूरी बदलने पर क्या होगा। दो, किसी ऊँचाई या गहराई पर g निकालना। तीन, उपग्रह की चाल या आवर्तकाल निकालना। तीनों असल में एक ही विचार हैं, बस कपड़े अलग हैं। सिमुलेशन में तीनों चलाकर देख सकते हैं।
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम
ब्रह्मांड का हर कण हर दूसरे कण को आकर्षित करता है। बल का मान दोनों द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। बल दोनों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश लगता है।
संख्याएँ रखें तो F = G m₁ m₂ / r²। नियतांक G पूरे ब्रह्मांड में समान है, G = 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²। यह इतना छोटा है कि बगल में बैठे व्यक्ति की ओर आपको खिंचाव महसूस नहीं होता। पर ग्रह जैसे विशाल द्रव्यमान गुणनफल को इतना बड़ा कर देते हैं कि खिंचाव अनदेखा नहीं किया जा सकता।
दो बातें याद रखें। गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षण का होता है, गुरुत्व से कोई धक्का नहीं लगता। और पिंड 1 पर लगा बल तथा पिंड 2 पर लगा बल बराबर और विपरीत हैं, यह न्यूटन का तीसरा नियम है।
F = G m₁ m₂ / r²दो बिंदु-द्रव्यमानों के बीच आकर्षण बल
G = 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक
F ∝ 1 / r²व्युत्क्रम वर्ग नियम: r दोगुना तो बल एक-चौथाई
रोज़मर्रा की चीज़ों के बीच खिंचाव कितना है?
60 kg और 70 kg के दो व्यक्ति 1 m की दूरी पर खड़े हैं। उनके बीच बल 2.80 × 10⁻⁷ N है। यह रेत के कुछ दानों के भार जितना है। फ़र्श का घर्षण इससे करोड़ों गुना ज़्यादा है, इसलिए कोई किसी की ओर नहीं खिसकता।
अब सिमुलेशन के डिफ़ॉल्ट लें: 100 kg और 200 kg, 2.0 m पर। बल 3.34 × 10⁻⁷ N है। दूरी आधी करें तो बल 1.33 × 10⁻⁶ N, यानी चार गुना। दूरी दोगुनी करें तो घटकर 8.34 × 10⁻⁸ N रह जाता है।
चार मूल बलों में गुरुत्व सबसे कमज़ोर है, फिर भी आसमान का राजा है। क्यों? क्योंकि यह कभी कटता नहीं। विद्युत बल में धन और ऋण आवेश एक-दूसरे को निष्प्रभावी कर देते हैं। पर ग्रह का द्रव्यमान बस जुड़ता ही जाता है।
व्युत्क्रम वर्ग नियम ग्राफ़ पर
वर्ग क्यों? सोचिए, खिंचाव बल्ब की रोशनी की तरह चारों ओर फैल रहा है। दोगुनी दूरी पर गोले का क्षेत्रफल चार गुना होता है, इसलिए हर टुकड़े को एक-चौथाई मिलता है। रोशनी, ध्वनि और गुरुत्व, तीनों में यही तस्वीर लागू होती है।
तालिका में द्रव्यमान 100 kg और 200 kg रखकर दूरी बढ़ाई गई है। आख़िरी स्तंभ में हर बल को 1 m वाले बल से भाग दिया गया है, इसलिए 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25 का ढर्रा आँखों से दिख जाता है।
| दूरी r (m) | बल F (N) | F ÷ (1 m पर F) |
|---|---|---|
| 1 | 1.33 × 10⁻⁶ | 1.000 |
| 2 | 3.34 × 10⁻⁷ | 0.250 |
| 3 | 1.48 × 10⁻⁷ | 0.111 |
| 4 | 8.34 × 10⁻⁸ | 0.063 |
| 5 | 5.34 × 10⁻⁸ | 0.040 |
बल बराबर, त्वरण अलग
न्यूटन का तीसरा नियम कहता है कि पृथ्वी आपको जिस बल से खींचती है, आप भी पृथ्वी को उसी बल से खींचते हैं। फिर सिर्फ़ सेब ही क्यों हिलता है? क्योंकि त्वरण बल ÷ द्रव्यमान है, और पृथ्वी का द्रव्यमान विशाल है।
दोनों त्वरण की रीडिंग यही दिखाती हैं। 100 kg और 200 kg के लिए हल्के पिंड का त्वरण 3.34 × 10⁻⁹ m/s² और भारी का 1.67 × 10⁻⁹ m/s² है। बल समान, द्रव्यमान अलग, इसलिए त्वरणों का अनुपात द्रव्यमानों के अनुपात का उल्टा होता है।
पृथ्वी और एक सेब के द्रव्यमानों का अनुपात लगभग 10²⁵ है। पृथ्वी भी सेब की ओर त्वरित होती है, पर इतना कम कि कोई यंत्र उसे पकड़ नहीं सकता।
g आता कहाँ से है
पृथ्वी के पास m द्रव्यमान की वस्तु पर बल F = G M m / R² है। न्यूटन का दूसरा नियम कहता है F = m g। m कट जाता है और बचता है g = G M / R²। इसी वजह से द्रव्यमान चाहे जो हो, हर वस्तु एक ही त्वरण से गिरती है।
g = 9.8 m/s² और R = 6,371 km लेकर पृथ्वी का द्रव्यमान भी निकाला जा सकता है। M = g R² / G = 5.96 × 10²⁴ kg। पृथ्वी को तराज़ू पर कोई नहीं रख सकता, पर एक लोलक और नियतांक G काफ़ी हैं। इसीलिए कैवेंडिश के G मापने के प्रयोग को “पृथ्वी को तौलना” कहा गया।
g का मान ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है, गिरने वाली वस्तु पर नहीं। जिस ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी का 2 गुना और त्रिज्या 2 गुना है, वहाँ g = 0.50 × 9.8 = 4.90 m/s² होगा।
g = G M / R²सतह पर गुरुत्वीय त्वरण
M = g R² / Gg से पृथ्वी का द्रव्यमान
g ∝ M / R²दो ग्रहों की तुलना अनुपात से करें
ऊपर चढ़ने पर: ऊँचाई के साथ g
सतह से h ऊँचाई पर केंद्र से दूरी R + h होती है, इसलिए g(h) = G M / (R + h)²। सतह के मान से भाग दें तो g(h) = g (R / (R + h))²। g घटता है, पर शुरू में धीरे-धीरे।
तालिका में संख्याएँ हैं। अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन की ऊँचाई 400 km पर भी g 8.68 m/s² है, यानी सतह के मान का 88.5%। वहाँ 60 kg के व्यक्ति का भार 521 N होता, जबकि ज़मीन पर 588 N। अंतरिक्ष यात्री इसलिए भारहीन महसूस करते हैं कि गुरुत्व ख़त्म हो गया है, ऐसा नहीं, बल्कि वे और उनका यान साथ-साथ मुक्त रूप से गिर रहे हैं।
h = R पर (6,371 km ऊपर, केंद्र से दूरी दोगुनी) g एक-चौथाई, 2.45 m/s² रह जाता है। और दूर जाने पर घटता ही रहता है, पर शून्य कभी नहीं होता।
g(h) = g · R² / (R + h)²सतह के ऊपर सटीक सूत्र
g(h) ≈ g (1 − 2h / R)h बहुत छोटा हो तो सन्निकट सूत्र
| ऊँचाई h (km) | g (m/s²) | सतह के g का अंश (%) |
|---|---|---|
| 0 | 9.80 | 100.0 |
| 100 | 9.50 | 96.9 |
| 400 | 8.68 | 88.5 |
| 1,000 | 7.32 | 74.7 |
| 6,371 | 2.45 | 25.0 |
| 35,786 | 0.22 | 2.3 |
नीचे उतरने पर: गहराई के साथ g
सतह के नीचे कहानी बदल जाती है। एकसमान पृथ्वी मानें तो सिर्फ़ आपकी त्रिज्या के भीतर का द्रव्यमान आपको खींचता है, ऊपर वाली परत का खिंचाव कट जाता है। भीतर का द्रव्यमान r³ की दर से घटता है, दूरी का वर्ग r² की दर से, इसलिए g, r के समानुपाती घटता है: g(d) = g (1 − d / R)।
केंद्र की ओर आधे रास्ते पर g आधा रह जाता है, 4.90 m/s²। केंद्र पर g ठीक शून्य है, क्योंकि खिंचाव हर दिशा से बराबर है।
असली पृथ्वी का कोर ज़्यादा घना है, इसलिए असली g पहले थोड़ा बढ़ता है, फिर घटता है। पाठ्यपुस्तकों में एकसमान मॉडल लिया जाता है, सिमुलेशन में भी। ग्राफ़ देखें: बाईं ओर से g एक सीधी रेखा पर r/R = 1 तक चढ़ता है, फिर मुड़कर 1/r² की दर से उतरता है। अधिकतम मान ठीक सतह पर है।
g(d) = g (1 − d / R)सतह के नीचे, एकसमान पृथ्वी
केंद्र पर g = 0हर दिशा से बराबर खिंचाव
| गहराई d (km) | g (m/s²) | सतह के g का अंश (%) |
|---|---|---|
| 0 | 9.80 | 100 |
| 1,593 | 7.35 | 75 |
| 3,186 | 4.90 | 50 |
| 4,778 | 2.45 | 25 |
| 6,371 | 0.00 | 0 |
उपग्रह वह गेंद है जो बार-बार चूक जाती है
पहाड़ से एक पत्थर बगल में फेंकिए। ज़ोर से फेंकें तो और दूर गिरता है। इतनी तेज़ फेंकें कि ज़मीन की वक्रता पत्थर के गिरने की रफ़्तार से तालमेल बिठाकर हटती जाए, तो पत्थर कभी ज़मीन पर नहीं उतरता। वही पत्थर कक्षा में है।
गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्र बल देता है: m v² / r = G M m / r²। उपग्रह का द्रव्यमान m कट जाता है, इसलिए चाल सिर्फ़ कक्षा की त्रिज्या r = R + h पर निर्भर करती है: v = √(G M / r) = √(g R² / (R + h))।
आवर्तकाल परिधि ÷ चाल है। 400 km ऊँचाई का उपग्रह 7.66 km/s की चाल से उड़ता है, लगभग 27,593 km/h, और एक चक्कर में 92.5 मिनट लेता है। यानी अंदर बैठे लोग दिन में 15.6 बार सूर्योदय देखते हैं।
जितना ऊँचा, उतना धीमा। यह उल्टा लगता है, क्योंकि ऊँचे उपग्रह में ऊर्जा ज़्यादा होती है। पर वह कमज़ोर क्षेत्र से गुज़र रहा है, इसलिए उसे थामने के लिए छोटी चाल काफ़ी है, और उसका रास्ता भी ज़्यादा लंबा है। नतीजा यह कि ऊँचाई बढ़ने पर आवर्तकाल तेज़ी से बढ़ता है।
v = √(G M / (R + h))कक्षीय चाल; उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं
T = 2π (R + h) / vएक चक्कर का समय
T² ∝ (R + h)³केप्लर का तीसरा नियम
| ऊँचाई h (km) | कक्षीय चाल (km/s) | आवर्तकाल (मिनट) |
|---|---|---|
| 200 | 7.78 | 88.4 |
| 400 | 7.66 | 92.5 |
| 2,000 | 6.89 | 127.2 |
| 20,200 | 3.87 | 719.2 |
| 35,786 | 3.07 | 1,437.2 |
भूस्थिर कक्षा
जो उपग्रह भूमध्य रेखा के ऊपर, पृथ्वी के घूमने की दिशा में, एक नाक्षत्र दिन में एक चक्कर लगाता है, वह ज़मीन के एक बिंदु के ऊपर टिका रहता है। टीवी और मौसम की तस्वीरों के लिए यह आदर्श है, छत की डिश को घुमाना नहीं पड़ता।
केप्लर के नियम में T = 24 घंटे रखने पर त्रिज्या तय हो जाती है। ऊँचाई 35,764 km, चाल 3.07 km/s और आवर्तकाल 23.93 घंटे आता है। कोई दूसरी ऊँचाई चुनने की गुंजाइश नहीं, एक दिन ही कक्षा तय कर देता है। सिमुलेशन में यही हरा बिंदीदार घेरा है।
कक्षा की त्रिज्या दोगुनी करने पर आवर्तकाल 2 गुना नहीं, 2.83 गुना होता है। यह 3/2 घात का कमाल है, क्योंकि 2 को 1.5 घात पर उठाने से 2.83 मिलता है।
पलायन वेग और भारहीनता
पृथ्वी का खिंचाव हमेशा के लिए छोड़ने के लिए वस्तु को पलायन वेग चाहिए: v = √(2 g R)। सतह से यह 11.17 km/s है। सतह के पास घूमने वाले उपग्रह को सिर्फ़ 7.90 km/s चाहिए, यानी वही संख्या √2 से भाग दी हुई। “उपग्रह की कक्षा” दृश्य की रीडिंग में उपग्रह जहाँ है वहाँ से पलायन वेग दिखाया गया है।
बाहर निकलने के लिए हमेशा इतना तेज़ भागना ज़रूरी नहीं। रॉकेट इंजन चलाते रहकर धीरे-धीरे भी चढ़ सकता है। यह संख्या उस चाल की है जो शुरू में फेंके जाने के बाद इंजन बंद होने पर भी काम चला दे।
कक्षा में भारहीनता का गुरुत्व से बच निकलने से कोई संबंध नहीं है। स्टेशन के अंदर की हर चीज़ स्टेशन के साथ उसी दर से गिर रही है, इसलिए कोई किसी पर दबाव नहीं डालता। पैरों के नीचे का तराज़ू शून्य दिखाता है, क्योंकि तराज़ू भी गिर रहा है।
v(पलायन) = √(2 g R) = √2 · v(सतह के पास की कक्षा)अनंत तक पहुँचने के लिए ऊर्जा
हल किए गए सवाल
परीक्षा की शैली के पाँच सवाल, उन्हीं फ़ंक्शनों से हल किए गए जो एनिमेशन को चलाते हैं।
सवाल 1: दूरी बदलने पर
दो पिंड 2.0 m की दूरी पर 3.34 × 10⁻⁷ N बल से एक-दूसरे को खींचते हैं। दूरी तीन गुनी करने पर बल कितना होगा?
F ∝ 1/r², इसलिए r तीन गुना होने पर बल 9 गुना घटता है: F = 3.34 × 10⁻⁷ ÷ 9। तालिका में 1 m से 3 m तक यही ढर्रा दिखता है, जहाँ अनुपात 1 से गिरकर 0.111 हो जाता है।
सवाल 2: चंद्रमा का त्वरण
चंद्रमा पृथ्वी से 3.84 × 10⁸ m दूर है, और द्रव्यमान क्रमशः 5.97 × 10²⁴ kg तथा 7.35 × 10²² kg हैं। बल और चंद्रमा का त्वरण निकालिए।
F = G M m / r² = 1.99 × 10²⁰ N। चंद्रमा का त्वरण F / m = 2.70 × 10⁻³ m/s²। न्यूटन की मशहूर जाँच: चंद्रमा पृथ्वी की त्रिज्या का 60.3 गुना दूर है, इसलिए व्युत्क्रम वर्ग नियम से उसका त्वरण g ÷ 60.3² = 2.70 × 10⁻³ m/s² होना चाहिए। दोनों उत्तर मेल खाते हैं।
सवाल 3: किसी और ग्रह पर g
एक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी का 2 गुना और त्रिज्या 2 गुनी है। वहाँ g कितना है?
g ∝ M / R², इसलिए अनुपात 2 ÷ 2² = 0.50। g = 0.50 × 9.8 = 4.90 m/s²। द्रव्यमान ज़्यादा है, पर त्रिज्या और ज़्यादा बढ़ने से वहाँ की सतह हमारी सतह से कमज़ोर है।
सवाल 4: 400 km पर उपग्रह
पृथ्वी से 400 km ऊपर के उपग्रह की कक्षीय चाल और आवर्तकाल निकालिए। g = 9.8 m/s² और R = 6,371 km लीजिए।
r = R + h = 6,371 + 400 km। v = √(g R² / r) = 7.66 km/s। T = 2π r / v = 92.5 मिनट। ध्यान दें, उपग्रह का द्रव्यमान एक बार भी काम नहीं आया।
सवाल 5: भूस्थिर उपग्रह
किस ऊँचाई पर उपग्रह भूमध्य रेखा के एक बिंदु के ऊपर स्थिर दिखता है?
आवर्तकाल एक नाक्षत्र दिन होना चाहिए। T = 2π r / v में v = √(g R² / r) रखकर r निकालिए। ऊँचाई 35,764 km है और कक्षीय चाल 3.07 km/s।
जिन गलतियों से अंक कटते हैं
परीक्षा से पहले यह सूची एक बार देख लें। हर गलती से किसी न किसी के अंक गए हैं।
- r को सतह से मापना। r केंद्र से मापा जाता है; h ऊँचाई के उपग्रह के लिए r = R + h।
- ऊँचाई या गहराई पर भी g = 9.8 m/s² मान लेना। g बदलता है, सूत्र लगाइए।
- सतह के नीचे g(d) = g (R − d)² / R² लिख देना। वह ऊँचाई का सूत्र है; नीचे g केंद्र से दूरी के साथ रैखिक है।
- भारी उपग्रह को तेज़ घूमने वाला मानना। द्रव्यमान कट जाता है; चाल सिर्फ़ कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर है।
- कहना कि अंतरिक्ष यात्री इसलिए भारहीन हैं कि वहाँ गुरुत्व नहीं है। गुरुत्व भरपूर है, वे मुक्त रूप से गिर रहे हैं।
- मात्रक भूल जाना: G का मात्रक N m² kg⁻² है, और सूत्र में रखने से पहले किलोमीटर को मीटर में बदलना होता है।
- पलायन वेग को 11.2 m/s लिखना। सही मान 11.2 km/s है, यानी लगभग 40,000 km/h।
यह नियम और कहाँ मिलता है
समुद्र में ज्वार इसलिए आता है कि पृथ्वी के नज़दीकी हिस्से पर चंद्रमा का खिंचाव दूर वाले हिस्से से थोड़ा ज़्यादा होता है। जीपीएस उपग्रह लगभग 20,200 km की ऊँचाई पर रहते हैं, जहाँ आवर्तकाल क़रीब आधा दिन है, इसलिए एक साथ कई आसमान में रहते हैं। मौसम उपग्रह नीची कक्षा में ध्रुवों के ऊपर से गुज़रकर पूरी पृथ्वी स्कैन करते हैं।
यही नियम सूर्य और ग्रहों पर लगाइए तो केप्लर के तीनों नियम बिना मेहनत मिल जाते हैं। वृत्त की जगह अंडाकार कक्षा देखनी हो तो अगला एनिमेशन केप्लर की कक्षाएँ चलाइए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम क्या कहता है?
कोई भी दो पिंड एक-दूसरे को ऐसे बल से खींचते हैं जो द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और केंद्रों की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: F = G m₁ m₂ / r²।
G का मान कितना है और क्या यह बदलता है?
G = 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²। यह सार्वत्रिक नियतांक है और जगह के साथ नहीं बदलता। जबकि g ऊँचाई, गहराई और ग्रह के साथ बदलता है।
ऊँचाई और गहराई के साथ g कैसे बदलता है?
सतह के ऊपर g, 1/(R + h)² की दर से घटता है। सतह के नीचे एकसमान पृथ्वी के लिए g गहराई के साथ रैखिक घटता है और केंद्र पर शून्य होता है। अधिकतम मान सतह पर है।
उपग्रह की कक्षीय चाल कैसे निकालें?
v = √(G M / r) = √(g R² / (R + h)) का उपयोग करें। चाल सिर्फ़ कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर है, उपग्रह के द्रव्यमान पर नहीं।
अंतरिक्ष स्टेशन में यात्री तैरते क्यों हैं?
उस ऊँचाई पर गुरुत्व अब भी सतह के मान का लगभग नब्बे प्रतिशत है। वे इसलिए तैरते हैं कि वे और स्टेशन साथ-साथ मुक्त रूप से गिर रहे हैं, इसलिए उनके बीच कोई संपर्क बल नहीं है।
भूस्थिर उपग्रह क्या होता है?
भूमध्य रेखा के ऊपर का ऐसा उपग्रह जिसका आवर्तकाल एक दिन है, इसलिए वह ज़मीन के एक बिंदु के ऊपर टिका रहता है। उसकी ऊँचाई सतह से लगभग 36,000 km पर तय है।
पलायन वेग किसे कहते हैं?
सतह से वह न्यूनतम चाल जिससे फेंकने पर वस्तु बिना और धक्के के हमेशा के लिए पृथ्वी छोड़ देती है। इसका मान √(2 g R) है, पृथ्वी के लिए लगभग 11.2 km/s।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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उत्तल लेंस और अवतल लेंस के किरण आरेख इंटरैक्टिव: बिंब खिसकाकर सभी छह स्थितियाँ देखें, लेंस सूत्र 1/v − 1/u = 1/f, आवर्धन और लेंस की क्षमता तुरंत पढ़ें।
कक्षा 9 · 11
न्यूटन के गति के नियम
न्यूटन के गति के तीनों नियम, जड़त्व, संवेग, F = ma, आवेग और क्रिया-प्रतिक्रिया: ट्रॉली धकेलकर खुद देखें, उदाहरण और हल किए गए प्रश्नों के साथ (कक्षा 9, 11)।
कक्षा 10 · 12
गोलीय दर्पण किरण आरेख
अवतल और उत्तल दर्पण द्वारा प्रतिबिंब बनना, ध्रुव, वक्रता केंद्र, मुख्य फोकस, दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f और आवर्धन m = −v/u: बिंब खींचकर किरण आरेख ख़ुद देखें।
कक्षा 10 · 12
विद्युत चुंबकीय प्रेरण
विद्युत चुंबकीय प्रेरण किसे कहते हैं? चुंबक को कुंडली से गुज़ारो और सेंटर-ज़ीरो गैल्वेनोमीटर देखो। फैराडे का नियम e = −N dΦ/dt और लेंज़ का नियम हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 9 · 11
संवेग संरक्षण और संघट्ट
संवेग संरक्षण का नियम क्या है? दो गाड़ियों को टकराओ और प्रत्यावस्थान गुणांक e को 0 (चिपकना) से 1 (प्रत्यास्थ) तक बदलो। संवेग और गतिज ऊर्जा के बार-चार्ट लाइव देखो, हल किए गए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 9 · 11
कार्य, ऊर्जा और शक्ति
कार्य किसे कहते हैं, गतिज व स्थितिज ऊर्जा और शक्ति के सूत्र क्या हैं: घुमावदार पथ पर लुढ़कती कार्ट की सिमुलेशन में ऊर्जा का रूपांतरण देखें, हल किए गए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 11 · JEE
आनत तल
ढलान पर भार कैसे दो भागों में बँटता है, विराम कोण क्या है, घर्षण ब्लॉक को कब रोकता है और कब फिसलने देता है — कोण बदलकर बल-चित्र में स्वयं देखें, हल किए गए प्रश्नों के साथ।
कक्षा 9 · 11
एकसमान वृत्तीय गति
डोरी से बँधी गेंद घुमाकर कोणीय वेग, आवर्तकाल, a=v²/r और अभिकेंद्र बल F=mv²/r देखें। डोरी कटने पर गेंद कहाँ जाती है? बैंकिंग व हल किए उदाहरणों सहित।
कक्षा 9
अनुप्रस्थ और अनुदैर्घ्य तरंग
एक ही स्रोत से रस्सी की अनुप्रस्थ तरंग और स्प्रिंग या ध्वनि की अनुदैर्घ्य तरंग साथ-साथ देखें। शृंग, गर्त, संपीडन, विरलन, तरंगदैर्घ्य, v = fλ और कण तरंग के साथ क्यों नहीं चलते, हल सहित।
कक्षा 9 · 11
उत्तोलक और आघूर्ण
सी-सॉ पर भार खिसकाकर बल आघूर्ण M = F × d देखें। आघूर्णों का सिद्धांत, उत्तोलक के तीन वर्ग और यांत्रिक लाभ हल किए गए प्रश्नों के साथ सीखें।
कक्षा 11
द्रव्यमान केंद्र
छड़ और पट्टिका पर द्रव्यमान खिसकाकर द्रव्यमान केंद्र x = Σmx/Σm देखें। आधार कहाँ रखें कि छड़ संतुलित रहे, बस कब उलटती है, स्थायी, अस्थायी और उदासीन संतुलन: सिमुलेशन और हल उदाहरणों सहित।
कक्षा 11
कमानी-द्रव्यमान की सरल आवर्त गति
कमानी से लटके द्रव्यमान की सरल आवर्त गति खुद चलाकर देखें। हुक का नियम, T = 2π√(m/k), ऊर्जा रूपांतरण, श्रेणी व समानांतर कमानी, हल किए गए प्रश्न और CBSE अभ्यास।
कक्षा 11
सदिशों का योग: त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम
दो सदिशों का परिणामी, त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम, घटक, नदी में नाव और बारिश में छाते का आपेक्षिक वेग खुद करके देखें। हल किए प्रश्न और NCERT अभ्यास सहित।
कक्षा 11
सापेक्ष वेग: रेलगाड़ियाँ और नदी पार करना
दो रेलगाड़ियों और नदी पार करते तैराक को खुद चलाकर देखो। सापेक्ष चाल, रेलगाड़ी के पार होने का समय, कोण, बहाव, सबसे कम समय बनाम सबसे छोटा रास्ता, हल के साथ।
कक्षा 11
केपलर के नियम और दीर्घवृत्ताकार कक्षा
उत्केंद्रता स्लाइडर खींचकर कक्षा को लंबा होते देखो। बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल के सेक्टर, आवर्तकाल का नियम T² ∝ a³ और पलायन वेग, हल के साथ।
कक्षा 11
तार और नलियों में अप्रगामी तरंगें
सिमुलेशन में तार छेड़ें और खुली-बंद नलियों में फूँकें। निस्पंद, प्रस्पंद, हार्मोनिक देखें और जानें कि लंबाई, तनाव व तापमान सुर कैसे तय करते हैं, हल किए गए सवालों सहित।
कक्षा 11
अनुनाद नली और ध्वनि की चाल
अनुनाद नली में पानी का स्तर खिसकाकर तेज़ आवाज़ की जगहें खुद खोजें। L1 = λ/4 − e और L2 = 3λ/4 − e देखें, v = 2f(L2 − L1) से ध्वनि की चाल निकालें और हल किए गए सवाल करें।
कक्षा 11
विस्पंद: दो पास-पास के सुरों की धड़कन
लगभग बराबर आवृत्ति की दो तरंगें जोड़कर तीव्रता की धड़कन देखें। आवरण देखें, विस्पंद आवृत्ति |f₁ − f₂| पढ़ें, आवाज़ सुनें और गिटार को विस्पंद से मिलाना सीखें, हल किए गए सवालों के साथ।
कक्षा 11 · 12
डॉप्लर प्रभाव: चलता स्रोत, चलता श्रोता और सोनिक बूम
ध्वनि के स्रोत को तेज़-धीमा चलाइए और देखिए तरंगाग्र आगे कैसे सिकुड़ते और पीछे कैसे फैलते हैं। डॉप्लर सूत्र, एम्बुलेंस और ट्रेन के हल किए सवाल और सोनिक बूम सीखिए।
कक्षा 10 · 12
प्रिज़्म, प्रकाश का वर्ण-विक्षेपण और इंद्रधनुष
सफ़ेद प्रकाश को प्रिज़्म से गुज़ारिए, प्रिज़्म कोण और आपतन कोण बदलिए और स्पेक्ट्रम बनते देखिए। विचलन, न्यूनतम विचलन, विक्षेपण क्षमता और वर्षा की बूँद में इंद्रधनुष बनना हल किए सवालों के साथ सीखिए।
कक्षा 12
किरख़ोफ़ के नियम: संधि नियम और लूप नियम
दो बैटरियों और तीन प्रतिरोधों वाला दो-लूप परिपथ खुद बनाओ। संधि पर धारा को बँटते देखो, विभव के योग को शून्य बनते देखो और किरख़ोफ़ के नियमों के सवाल कदम-दर-कदम हल करना सीखो।
कक्षा 12
व्हीटस्टोन सेतु और मीटर सेतु
व्हीटस्टोन सेतु का संतुलन बिगाड़कर गैल्वेनोमीटर की सुई को हिलते देखो। P/Q = R/S होने पर सुई शून्य पर आती है। मीटर सेतु में जॉकी खिसकाकर अज्ञात प्रतिरोध मापो, हल किए उदाहरणों के साथ।
कक्षा 12
एकल झिरी से विवर्तन
झिरी की चौड़ाई और तरंगदैर्घ्य बदलकर देखें कि प्रकाश कैसे फैलता है। तीव्रता का सूत्र I = I₀(sin β/β)², निम्निष्ठ की शर्त a sin θ = mλ और केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई 2λD/a, हल सहित।
कक्षा 10 · 12
आँख के दोष और उनका निवारण
सामान्य, निकट-दृष्टि, दूर-दृष्टि और बढ़ती उम्र वाली आँख बदलकर देखें। प्रतिबिंब रेटिना के आगे या पीछे क्यों बनता है, और कौन-सा लेंस कितनी डायोप्टर से इसे ठीक करता है, सिमुलेशन में समझें।
कक्षा 12
प्रकाश का ध्रुवण: मैलस का नियम और ब्रूस्टर का नियम
ध्रुवक के पीछे विश्लेषक घुमाकर ग्राफ़ में I = I₀cos²θ देखें, फिर काँच पर प्रकाश डालकर ब्रूस्टर कोण खोजें। पोलरॉइड धूप का चश्मा, तीन फ़िल्टर की पहेली और हल किए सवालों के साथ।
कक्षा 12
संधारित्र का आवेशन और विसर्जन: RC समय स्थिरांक
प्रतिरोध के सहारे संधारित्र को आवेशित और विसर्जित करो। E, R और C बदलकर V = E(1 − e^(−t/RC)) और धारा का वक्र बनते देखो, 63% वाला समय स्थिरांक और संचित ऊर्जा निकालो।
कक्षा 10 · 12
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ: छड़ चुंबक, धारावाही तार और परिनालिका
छड़ चुंबक, सीधे धारावाही तार और परिनालिका की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ देखो। कंपास खींचो, धारा पलटो और B = μ₀I/2πr, B = μ₀nI व दाएँ हाथ का नियम सीखो।
कक्षा 12
एसी जनित्र
चुंबक के ध्रुवों के बीच कुंडली घुमाकर एसी जनित्र की साइन तरंग बनते देखिए। N, A, B और rpm बदलकर E₀ = NBAω और आरएमएस मान निकालिए, और जानिए मेन्स 50 Hz क्यों है।
कक्षा 10 · 12
ट्रांसफ़ॉर्मर
ट्रांसफ़ॉर्मर के प्राथमिक और द्वितीयक फेरे बदलकर देखिए वोल्टता कैसे बढ़ती-घटती है। Vs = Vp·Ns/Np, शक्ति संरक्षण, वास्तविक दक्षता और उच्च वोल्टता पर बिजली भेजने का कारण समझिए।
कक्षा 9 · 12
ऊष्मा का स्थानांतरण: चालन, संवहन और विकिरण
ताँबे, ऐलुमिनियम, काँच या लकड़ी की छड़ गरम करके Q/t = kAΔT/L देखें, बीकर में संवहन धाराओं को घूमते देखें, और T⁴ के अनुसार विकिरित शक्ति का बढ़ना जाँचें। सारणियों और हल किए सवालों के साथ।
कक्षा 12
प्रकाश-विद्युत प्रभाव: आइंस्टाइन का समीकरण और निरोधी विभव
निर्वात नली में सोडियम, जस्ते या ताँबे की पट्टिका पर किसी भी तरंगदैर्घ्य का प्रकाश डालें। देखें कि देहली आवृत्ति के नीचे इलेक्ट्रॉन क्यों नहीं निकलते, K = hf − φ निरोधी विभव कैसे तय करता है, और चमक सिर्फ़ धारा क्यों बदलती है।
कक्षा 10 · 12
मोटर प्रभाव: धारावाही तार पर बल और डीसी मोटर
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार रखने पर वह कैसे धक्का खाता है, खुद देखिए। B, I, L और कोण बदलिए, फ्लेमिंग के बाएँ हाथ के नियम की जाँच कीजिए, फिर विभक्त-वलय दिक्परिवर्तक वाली डीसी मोटर घुमाकर बल-आघूर्ण का ग्राफ़ देखिए।
कक्षा 11 · 12
गैस के अणु और अणुगति सिद्धांत: दाब, तापमान और चाल
डिब्बे में गैस के अणुओं की भागदौड़ देखिए। तापमान बढ़ाइए, गैस बदलिए, आयतन दबाइए और देखिए कि दीवारों पर टक्करों से मिला दाब PV = NkT से मेल खाता है। चाल की तुलना मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वक्र से कीजिए और वर्ग-माध्य-मूल चाल निकालिए।
कक्षा 12
अर्धचालक डायोड: p–n संधि, I–V वक्र और दिष्टकारी
p–n संधि पर बायस लगाकर देखिए कि अवक्षय परत कैसे सिकुड़ती या फैलती है, आवेश वाहक कैसे पार होते हैं और शॉकली I–V वक्र कैसा बनता है। सिलिकन और जर्मेनियम की तुलना, भंजन और अर्धतरंग दिष्टकारी।
कक्षा 10 · 12
रेडियोधर्मी क्षय: अर्द्ध-आयु, क्षय का नियम और भेदन क्षमता
240 नाभिकों को अनियमित ढंग से क्षय होते देखो, गिनती को N = N₀e^(−λt) पर चलते पाओ, ग्राफ़ से अर्द्ध-आयु निकालो और परखो कि α, β, γ कागज़, एल्युमिनियम और सीसे में कितना घुस पाते हैं।
कक्षा 12
बोर परमाणु: कक्षाएँ, ऊर्जा स्तर और हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम
हाइड्रोजन के इलेक्ट्रॉन को n = 1 से 6 कक्षाओं में कूदते देखो, 1/λ = R(1/n₁² − 1/n₂²) से फोटॉन का रंग निकालो, और ऊर्जा आरेख व स्पेक्ट्रम पट्टी पर लाइमन, बामर और पाशन श्रेणी समझो।
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वृत्त का क्षेत्रफल: सूत्र, उपपत्ति और हल किए प्रश्न
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ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
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समरूप त्रिभुज: स्केल गुणक, AA, SSS, SAS नियम और छाया से ऊँचाई
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निर्देशांक ज्यामिति: दूरी, मध्य-बिंदु, ढाल, विभाजन सूत्र और बिंदुपथ
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शांकव परिच्छेद: वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय
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फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
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अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
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सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
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