पूर्ण वर्ग का हल
- 1. x के गुणांक का आधाb / 2a = 6 / 2 = 3; (3)² = 9
- 2. पूर्ण वर्ग रूप मेंx² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4
- 3. शीर्ष(−3, −4)
- 4. मूलΔ = 6² − 4×1×5 = 16; x = −5, −1
नियंत्रण
मापन
- द्विघात व्यंजक
- x² + 6x + 5 = 0
- x के गुणांक का आधा
- 3
- खाली कोने का क्षेत्रफल
- 9
- पूर्ण वर्ग रूप
- (x + 3)² − 4
- शीर्ष
- (−3, −4)
- विविक्तकर, Δ
- 16
- मूल
- −5, −1
- मूलों का प्रकार
- दो भिन्न वास्तविक मूल
सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें
- कुछ छूने से पहले टाइलें देखें। सिमुलेशन x² + 6x + 5 पर खुलता है। बड़ा नीला वर्ग x² है, उसके पास की पट्टी 6x है और हरा खंड अचर पद 5 है। ▶ दबाने पर पट्टी आधी-आधी कटती है, एक भाग वर्ग के नीचे जाता है और एक खाली कोना दिखता है।
- “चरण” स्लाइडर को 0 से 4 तक खींचकर खुद आगे बढ़ें। चरण 1 में पट्टी बँटती है, चरण 2 में 9 क्षेत्रफल का खाली कोना भरता है, चरण 3 में पूर्ण वर्ग (x + 3)² बनता है और चरण 4 में छोटे आलेख पर मूल −5, −1 दिखते हैं।
- b को ऋणात्मक करें। पट्टी लाल हो जाती है, यानी ऋणात्मक टाइल। फिर भी कोने का क्षेत्रफल धनात्मक रहता है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। विषम b लें तो आधी पट्टियों की चौड़ाई भिन्न हो जाती है।
- c बदलें और आलेख के नीचे के दो छोटे वर्ग देखें। जब नारंगी (b/2)² वर्ग अचर से बड़ा होता है, परवलय x-अक्ष को काटता है। छोटा हो तो वक्र अक्ष के ऊपर रहता है और “कोई वास्तविक मूल नहीं” लिखा आता है।
- “x² का गुणांक a ≠ 1 रखें” पर टिक करने से अग्रणी गुणांक a जुड़ जाता है। तब टाइलें a से भाग देने के बाद की बनती हैं, और परीक्षा में पहली पंक्ति भी यही लिखनी होती है।
- “हल के चरण दिखाएँ” चालू रखें। चित्र के नीचे आपकी अपनी संख्याओं से आधा, कोना, पूर्ण वर्ग, शीर्ष और मूल की गणना आती रहेगी।
अल-ख़्वारिज़्मी ने सचमुच वर्ग पूरा किया था
लगभग 820 ईस्वी में बग़दाद के विद्वान अल-ख़्वारिज़्मी ने वह किताब लिखी जिसके नाम से “बीजगणित” (algebra) शब्द बना। उसके शुरुआती सवालों में एक है: एक वर्ग और 10 मूल मिलकर 39 के बराबर हैं। आज के चिह्नों में यह x² + 10x = 39 है। उनके पास न अक्षर थे न ऋणात्मक संख्याएँ, इसलिए वे चित्र बनाकर हल करते थे।
x भुजा का एक वर्ग खींचें। एक ओर और नीचे 5 चौड़ी दो पट्टियाँ जोड़ें, क्योंकि 10 का आधा 5 है। तीनों टुकड़ों का क्षेत्रफल 39 है, पर कोने में एक छोटा वर्ग छूटा है, भुजा 5, क्षेत्रफल 25। उसे चित्र में जोड़ें तो 39 में भी जोड़ना होगा। बड़े वर्ग का क्षेत्रफल 64 है, इसलिए भुजा 8।
भुजा x + 5 है, इसलिए x = 8 − 5 = 3। जाँचें: 3² + 10×3 = 39। ऋणात्मक उत्तर −13 तब नहीं लिया जाता था क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं होती, पर आज हम उसे भी रखते हैं। यह पृष्ठ उसी चित्र को चलता-फिरता बना देता है।
शुरू से: पूर्ण वर्ग व्यंजक
पूर्ण वर्ग यानी किसी चीज़ को उसी से गुणा करना। पहले संख्या: 25 = 5 × 5। बीजगणित में (x + 3) को स्वयं से गुणा करें तो x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9। बीच के दो 3x मिलकर एक 6x बन जाते हैं।
उत्तर को ध्यान से देखें तो नियम दिखता है। बीच का गुणांक कोष्ठक की संख्या का दुगुना है और अंतिम पद उस संख्या का वर्ग। इसे उलटकर पढ़ें तो विधि मिल जाती है: x के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ दें, व्यंजक पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
| वर्ग | विस्तार |
|---|---|
| (x + 1)² | x² + 2x + 1 |
| (x + 2)² | x² + 4x + 4 |
| (x + 3)² | x² + 6x + 9 |
| (x + 4)² | x² + 8x + 16 |
| (x + 5)² | x² + 10x + 25 |
जो शब्द काम आएँगे
यह तालिका पास रखें। अलग-अलग किताबों में यही बातें अलग नामों से मिलती हैं।
| पद | अर्थ |
|---|---|
| द्विघात समीकरण | ax² + bx + c = 0 रूप का समीकरण, जहाँ a ≠ 0 |
| मूल | x का वह मान जो समीकरण को सत्य करे, इसे हल या शून्यक भी कहते हैं |
| पूर्ण वर्ग | (x + h)² रूप का व्यंजक |
| पूर्ण वर्ग बनाने की विधि | x² + bx + c को (x + b/2)² और एक अचर के रूप में लिखना |
| शीर्ष | परवलय का मोड़ बिंदु, सबसे निचला या सबसे ऊँचा बिंदु |
| शीर्ष रूप | a(x + h)² + k, जहाँ शीर्ष (−h, k) है |
| विविक्तकर | Δ = b² − 4ac, जो बताता है कितने वास्तविक मूल हैं |
| सममिति अक्ष | शीर्ष से जाती ऊर्ध्वाधर रेखा x = −b/2a |
टाइलों का चित्र: सिमुलेशन में क्या दिखता है
x को एक अज्ञात लंबाई मानें। x भुजा के वर्ग का क्षेत्रफल x² है, नीली टाइल। x लंबी और 1 चौड़ी पट्टी का क्षेत्रफल x है। ऐसी b पट्टियाँ साथ रखें तो bx क्षेत्रफल की एक पट्टी बनती है, दूसरे रंग की। अचर c, c इकाई वर्गों का हरा खंड है।
टाइल गाढ़ी हो तो धनात्मक, लाल हो तो ऋणात्मक। b ऋणात्मक हो तो पूरी पट्टी लाल हो जाती है। लंबाई वही रहती है, रंग केवल चिह्न याद दिलाता है।
पट्टी को आधा काटें
पट्टी का क्षेत्रफल 6x है, यानी चौड़ाई 6 और लंबाई x। इसे लंबाई में काटकर 3 चौड़ी दो पट्टियाँ बनाएँ। एक वर्ग के दाएँ लगाएँ, दूसरी नीचे। ▶ दबाने पर दूसरी को घूमकर आते देखें।
खाली कोना
अब L-आकृति के दाएँ-नीचे एक खाँचा है। वह 3 भुजा का वर्ग है, क्षेत्रफल 3² = 9। इसे भरें तो चित्र x + 3 भुजा का पूर्ण वर्ग बन जाता है।
भरने में 9 लगा, इसलिए तत्समक में उसे लौटाना होगा: x² + 6x = (x + 3)² − 9।
अचर पद कहाँ जाता है
अचर 5 कभी वर्ग का हिस्सा नहीं था, वह साथ-साथ चलता है। अंत में x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4। सिमुलेशन में दाईं ओर के दो छोटे वर्ग कोने और अचर की तुलना करते हैं: कौन बड़ा है, इसी से तय होता है कि परवलय अक्ष के नीचे जाएगा या नहीं।
बीजगणित, चरण दर चरण
विधि को पाँच पंक्तियों में लिखें। उदाहरण x² + 6x + 5 = 0, सिमुलेशन का आरंभिक समीकरण।
चरण 1: x² का गुणांक 1 करें
यदि a ≠ 1 हो तो पूरे समीकरण को a से भाग दें। विद्यार्थी यही पंक्ति सबसे ज़्यादा भूलते हैं। हमारे उदाहरण में a = 1 है, इसलिए कुछ नहीं बदलता। अगले उदाहरण में a = 2 है, वहाँ सचमुच भाग देंगे।
चरण 2: x के गुणांक के आधे का वर्ग
6 का आधा 3 है, उसका वर्ग 9। यही खाली कोने का क्षेत्रफल है।
(b/2)² = (3)² = 9जो संख्या जोड़ेंगे और घटाएँगे
चरण 3: जोड़ें और घटाएँ
केवल 9 जोड़ने से मान बदल जाता है, इसलिए जोड़ते और घटाते दोनों हैं। तब पहले तीन पद पूर्ण वर्ग हो जाते हैं।
x² + 6x + 5 = (x² + 6x + 9) − 9 + 5मान अपरिवर्तित
चरण 4: कोष्ठक को वर्ग लिखें
कोष्ठक x + 3 का वर्ग है, इसलिए व्यंजक (x + 3)² − 4 बन जाता है।
x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4शीर्ष रूप
चरण 5: हल करें या शीर्ष पढ़ें
x² + 6x + 5 = 0 हल करने के लिए अचर को दाएँ ले जाएँ: (x + 3)² = 9 − 5 = 2²। दोनों ओर वर्गमूल लें, धन और ऋण दोनों चिह्न रखें, फिर 3 घटाएँ: x = −5, −1। शीर्ष (−3, −4) है, यानी वक्र का सबसे निचला बिंदु।
द्विघाती सूत्र कहाँ से आया
यह प्रसिद्ध सूत्र कोई जादू नहीं है। यह अक्षरों के साथ एक बार कर ली गई पूर्ण वर्ग की विधि है, ताकि दोबारा करनी न पड़े। नीचे की छह पंक्तियाँ देखें, हर पंक्ति पिछली से एक चाल में बनी है।
ax² + bx + c = 0कोई भी द्विघात समीकरण, a ≠ 0
x² + (b/a)x + c/a = 0a से भाग
x² + (b/a)x + (b/2a)² = (b/2a)² − c/aदोनों ओर (b/2a)² जोड़ना
(x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग, दायाँ पक्ष एक करना
x + b/2a = ± √(b² − 4ac) / 2aवर्गमूल लेकर दोनों चिह्न रखना
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2ab/2a घटाकर 2a हर में रखना: सूत्र तैयार
सिमुलेशन में खुद आज़माएँ
पाँच प्रयोग। हर एक में एक मिनट से कम लगता है और हर एक परीक्षा में पूछा जा सकता है।
- रीसेट करके c स्लाइडर 9 पर लाएँ। कोना और अचर बराबर हो जाते हैं, Δ = 0, और एक ही मूल −3 मिलता है। परवलय x-अक्ष को सिर्फ़ छूता है।
- c बढ़ाकर 13 करें। अब अचर कोने से बड़ा है। Δ = −16, वक्र अक्ष के ऊपर रहता है और मूल की जगह “कोई वास्तविक मूल नहीं” लिखा आता है।
- b = −6 करें। पट्टी लाल हो जाती है और कोष्ठक (x − 3)² बनता है। शीर्ष दाईं ओर खिसककर x = 3 पर पहुँचता है।
- b = 0 करें। काटने को पट्टी नहीं, कोना नहीं, और x² + c = 0 पहले से वर्ग है। यह सबसे आसान विशेष स्थिति है।
- a का टॉगल चालू करके a = 2 रखें। a से भाग के बाद टाइलें नए सिरे से बनती हैं, पर रीडिंग में मूल समीकरण ही रहता है। भाग देने से मूल नहीं बदलते, पर शीर्ष की ऊँचाई फिर a से गुणा होकर लौटती है।
हल किए हुए उदाहरण
नीचे की हर संख्या उसी कोड से निकाली गई है जो सिमुलेशन चलाता है, इसलिए स्क्रीन पर हर पंक्ति मिलाकर देख सकते हैं।
उदाहरण 1: x² + 6x + 5 = 0 हल करें
6 का आधा 3, वर्ग 9। अतः x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4। शून्य के बराबर रखने पर (x + 3)² = 2², यानी x + 3 = ± 2। इसलिए x = −5 या x = −1।
उदाहरण 2: बीच का पद ऋणात्मक
x² − 8x + 7 = 0 हल करें। −8 का आधा −4, कोष्ठक में उसी आधे का चिह्न आता है: (x − 4)²। कोना 16, इसलिए x² − 8x + 7 = (x − 4)² − 9। फिर (x − 4)² = 3², और x = 1 या x = 7।
उदाहरण 3: कोई वास्तविक मूल नहीं
x² + 4x + 9 = 0 हल करें। कोना 4 है और x² + 4x + 9 = (x + 2)² + 5। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि (x + 2)² को ऋणात्मक संख्या के बराबर होना पड़ रहा है: असंभव। कोई वास्तविक मूल नहीं, और Δ = −20 भी यही कहता है। शीर्ष (−2, 5) अक्ष के ऊपर है।
उदाहरण 4: x² का गुणांक 1 नहीं
2x² + 8x − 10 = 0 हल करें। पहले 2 से भाग: x² + 4x − 5 = 0। कोना 4, इसलिए x² + 4x − 5 = (x + 2)² − 9। फिर (x + 2)² = 3², अतः x = −5 या x = 1। शीर्ष रूप में 2x² + 8x − 10 = 2(x + 2)² − 18।
उदाहरण 5: मूल पूर्णांक नहीं
x² + 5x + 3 = 0 हल करें। 5 का आधा 5/2, वर्ग 25/4। इसलिए x² + 5x + 3 = (x + 5/2)² − 13/4। शून्य रखने पर (x + 5/2)² = 25/4 − 3, और x = (−5 ± √13) / 2। दशमलव में x ≈ −4.30 या x ≈ −0.70। दशमलव न माँगा गया हो तो करणी रूप में ही छोड़ें।
उदाहरण 6: न्यूनतम मान
x² − 6x + 13 का न्यूनतम मान क्या है? पूर्ण वर्ग बनाकर x² − 6x + 13 = (x − 3)² + 4। वर्ग शून्य से नीचे नहीं जाता, इसलिए न्यूनतम मान 4 है, जो x = 3 पर मिलता है।
उदाहरण 7: k का मान
k के किस मान के लिए x² + kx + 9 = 0 के मूल बराबर हैं? बराबर मूल का अर्थ है कोना अचर के बराबर: (k/2)² = 9, अतः k = ± 6।
| b = 6 वाला द्विघात व्यंजक | Δ = b² − 4ac | मूलों का प्रकार | मूल |
|---|---|---|---|
| x² + 6x + 5 | 16 | दो भिन्न वास्तविक मूल | −5, −1 |
| x² + 6x + 9 | 0 | दो बराबर मूल | −3 |
| x² + 6x + 13 | −16 | कोई वास्तविक मूल नहीं | — |
आम गलतियाँ
अंक यहीं कटते हैं। हर गलती के साथ उसका त्वरित उपाय है।
- a से भाग देना भूल जाना। a ≠ 1 हो तो अचर समेत पूरे समीकरण को भाग दें, वरना कोना गलत आएगा।
- चिह्न गलत लगाना। कोष्ठक x + b/2 है, x − b/2 नहीं। b ऋणात्मक हो तो कोष्ठक (x − कुछ)² बनता है और मूल x = + कुछ ± अंतर।
- कोना जोड़कर घटाना भूल जाना। समीकरण के एक पक्ष में (b/2)² जोड़ा तो दूसरे में भी जोड़ना होगा।
- b/2 की जगह b का वर्ग ले लेना। कोना (b/2)² है, b² नहीं।
- वर्गमूल लेते समय ± छोड़ देना। दोनों चिह्न एक-एक मूल देते हैं, एक खोया तो आधा उत्तर खोया।
- दायाँ पक्ष ऋणात्मक होने पर भी मूल लिख देना। वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर हो तो वास्तविक मूल नहीं होते।
एक समीकरण से आगे उपयोग
शीर्ष रूप ही असली लाभ है। x² + 6x + 5 का शीर्ष (−3, −4) है, यह (x + 3)² − 4 पढ़कर ही पता चल जाता है। धनात्मक गुणांक में परवलय ऊपर खुलता है और यह न्यूनतम मान है। ऋणात्मक गुणांक में नीचे खुलता है और यह अधिकतम मान है।
निश्चित बाड़ से अधिकतम क्षेत्रफल
एक किसान के पास 40 मीटर बाड़ है, आयत की एक भुजा x। क्षेत्रफल x(20 − x) = −x² + 20x। पूर्ण वर्ग बनाने पर −(x − 10)² + 100, इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है, x = 10 पर। यानी खेत वर्गाकार होना चाहिए।
वृत्त का समीकरण
यही चाल x² + y² + Dx + Ey + F = 0 को वृत्त में बदल देती है। x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 के लिए x और y दोनों में पूर्ण वर्ग बनाएँ: (x + 3)² + (y − 2)² = 25। केंद्र (3, −2) और त्रिज्या 5।
कलन और भौतिकी
1/(x² + bx + c) के समाकलन में पूर्ण वर्ग चाहिए। फेंकी गई गेंद की ऊँचाई h = −5t² + 20t + 1 कोष्ठक शून्य होने पर अधिकतम होती है। जहाँ भी कुछ ऊपर जाकर नीचे आता है, वहाँ एक शीर्ष होता है।
परीक्षा कोना
CBSE कक्षा 10 में द्विघात समीकरण अध्याय हर साल आता है, और “पूर्ण वर्ग बनाकर हल कीजिए” जैसे प्रश्न 2 से 3 अंक के होते हैं। अंक लिखने के क्रम पर मिलते हैं।
- a ≠ 1 हो तो “a से भाग” अलग पंक्ति में लिखें।
- उपयोग से पहले कोना (b/2a)² साफ़ लिखें।
- “= (x + …)² − …” पंक्ति ज़रूर दिखाएँ। विधि के अंक इसी पर मिलते हैं।
- दशमलव न माँगा हो तो मूल करणी में रखें, माँगा हो तो कितने स्थान तक, यह लिखें।
- मूलों की प्रकृति पूछी हो तो हल से पहले विविक्तकर Δ लिखें।
त्वरित पुनरावृत्ति
परीक्षा से पहले दीवार पर चिपकाने लायक सार।
- पूर्ण वर्ग: (x + h)² = x² + 2hx + h²।
- x² + bx को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (b/2)² जोड़ें।
- x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c।
- ax² + bx + c का शीर्ष: (−b/2a, c − b²/4a)।
- मूल: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a।
- Δ > 0 पर दो वास्तविक मूल, Δ = 0 पर दो बराबर मूल, Δ < 0 पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
- b ऋणात्मक हो तो पट्टी लाल, कोष्ठक में घटाव, पर कोना वही।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि क्या है?
x² + bx + c को (x + b/2)² और एक अचर के रूप में लिखना पूर्ण वर्ग बनाने की विधि है। (b/2)² जोड़कर और घटाकर x वाले पदों को पूर्ण वर्ग बनाया जाता है। x² + 6x + 5 का परिणाम (x + 3)² − 4 है।
हम (b/2)² क्यों जोड़ते हैं?
क्योंकि x² वर्ग के चारों ओर b/2 चौड़ी दो आधी पट्टियाँ लपेटने पर जो कोना खाली रहता है, उसका क्षेत्रफल (b/2)² है। उसे जोड़ने से वर्ग ठीक पूरा हो जाता है।
अगर a ≠ 1 हो तो क्या करें?
पहले सभी पदों को a से भाग दें। 2x² + 8x − 10 के लिए यह x² + 4x − 5 बनता है। पूर्ण वर्ग बनाने के बाद a से गुणा करने पर 2(x + 2)² − 18 मिलता है।
गुणनखंडन के बजाय यह कब बेहतर है?
जब मूल पूर्णांक न हों, जब शीर्ष चाहिए, या जब व्यंजक पूर्णांकों में गुणनखंडित न हो। गुणनखंडन तभी चलता है जब गुणनखंड दिख जाएँ।
इससे द्विघाती सूत्र कैसे सिद्ध होता है?
अक्षरों के साथ एक बार करें। a से भाग, दोनों ओर (b/2a)² जोड़ना और वर्गमूल लेना x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a दे देता है।
क्या द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल न हो सकता है?
हाँ। जब कोना (b/2a)² c/a से छोटा हो, दायाँ पक्ष ऋणात्मक होता है और वर्ग उसके बराबर नहीं हो सकता। x² + 4x + 9 एक उदाहरण है, Δ = −20।
परवलय का शीर्ष कैसे निकालें?
पूर्ण वर्ग बनाएँ। a(x + h)² + k रूप में शीर्ष (−h, k) है। x² + 6x + 5 का शीर्ष (−3, −4) है।
इस विषय पर और पढ़ाई
एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।
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SSC Mathematics: syllabus and preparation
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Class 9-10 Mathematics textbook
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SSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
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HSC Higher Mathematics: syllabus and preparation
Textbook
Class 9-10 Higher Mathematics textbook
Admission
Engineering admission test preparation
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English
Paragraph: Artificial Intelligence
Bangla
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা (बांग्ला में)
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कक्षा 10 · 11
फलनों का रूपांतरण: खिसकाना, खींचना और पलटना
x², |x|, √x, sin x या 2^x चुनिए और a, b, h, k के स्लाइडर खींचिए। देखिए ग्राफ़ कैसे खिसकता, खिंचता, सिकुड़ता और पलटता है, पीछे फीके मूल ग्राफ़ के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन और हल किए हुए प्रश्न।
कक्षा 11 · 12
अवकलज: स्पर्श रेखा की ढाल, छेदक से स्पर्श रेखा तक
x², x³, sin x, eˣ या 1/x पर बिंदु P खींचिए और अंतर h को शून्य की ओर घटाइए। देखिए छेदक कैसे स्पर्श रेखा बनती है और उसकी ढाल अवकलज, नीचे अवकलज का ग्राफ़ भी। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
रीमान योग और समाकलन: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
x², x³, sin x, eˣ या √x के नीचे के क्षेत्रफल को 100 तक पट्टियों में बाँटिए और बायाँ, दायाँ, मध्य बिंदु व समलंब योग की तुलना सटीक समाकलन से कीजिए। त्रुटि घटते देखिए। निःशुल्क सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सीमा और ε–δ परिभाषा: चित्र में समझिए
ε–δ परिभाषा से सीमा को आँखों से देखिए। फलन चुनिए, ε घटाइए और δ पट्टी को सिकुड़ते देखिए। बाएँ-दाएँ सीमा, छेद, sin x / x और छलाँग, जहाँ कोई δ नहीं चलता। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
त्रिविमीय सदिश: योग, डॉट गुणन और क्रॉस गुणन
दो त्रिविमीय सदिशों को खींचकर घुमाइए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, डॉट गुणन छाया और कोण बनकर, क्रॉस गुणन लंब तीर बनकर दिखेगा, जिसकी लंबाई क्षेत्रफल है। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
आव्यूह रूपांतरण: घूर्णन, परावर्तन, अपरूपण और सारणिक
2×2 आव्यूह बदलकर देखिए कि जाली, इकाई वर्ग और एक F-आकृति कैसे चलते हैं। î और ĵ कहाँ जाते हैं, सारणिक कैसे चिह्नित क्षेत्रफल है, और व्युत्क्रम। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 11 · 12
सम्मिश्र संख्याएँ: आर्गंड तल पर योग, गुणन, घात और मूल
आर्गंड तल पर दो सम्मिश्र संख्याएँ खींचिए। योग समांतर चतुर्भुज बनकर, गुणनफल घुमाव और खिंचाव बनकर, संयुग्मी, घात सर्पिल बनकर और इकाई के मूल दिखेंगे। मुफ़्त सिमुलेशन।
कक्षा 9 · 12
बाइनरी संख्या पद्धति: स्थानीय मान, रूपांतरण और जोड़
बिट पलटिए और देखिए दशमलव, बाइनरी, ऑक्टल व हेक्स साथ बदलते हैं। 2 से भाग, 3-4 बिट के समूह और कैरी वाला बाइनरी जोड़, हल किए उदाहरणों के साथ। मुफ़्त सिमुलेशन।
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